麻省理工学院 物理系 物理学8.033 2003年10月9日 测验1 姓名■ 1.完成下面6个问题。 2.每个问题均为17分。 3.闭卷考试：但允许带一页笔记（常用公式）。 4.如果可能，解题时先给出公式。 5.最后一步代入数据。 问题 得分 等级 1 2 3 4 5 6 总分
麻省理工学院 物理系 物理学 8.033 2003 年 10 月 9 日 测验 1 姓名 1． 完成下面 6 个问题。 2． 每个问题均为 17 分。 3． 闭卷考试；但允许带一页笔记（常用公式）。 4． 如果可能，解题时先给出公式。 5． 最后一步代入数据。 问题 得分 等级 1 2 3 4 5 6 总分
问题1 坐标系S中两事件与{x,y,c1}相应的坐标分别为A:{0,0,0}:B:{6,6,7},且0。 (a)计算A,B两事件时空间隔的平方。这里描述的是类时还是类空分离？ ds2=dx2+dy2-c2t2=36+36-49=72-49=23>0 因为空间项比时间项要大，故这两事件是类空分离的。国际认可的另一表示法常用负数表示 类时间隔。 (b)与在参考系S'中以速度下=v文+v,少运动相对应的类空间隔是多少？ 因为在所有的洛仑兹变换下，时空间隔不变，故d2=23。 (c)求出一满足x”>x8的坐标系S”(包括速度和坐标方向)。 为简化计算，我们设在0时坐标系位于原点。这使得事件A的值在所有参考系和坐标轴下 均为0。因此B事件在坐标系S”内的x值必须为负。当坐标系沿x轴正方向运动时即可得 出上述结果。由xB的变换我们可得出最小运动速度 XB=Y(XB-BCIB)1g时 求S"。 如果我们按与（℃）部分相同的方法来求解，我们会发现变换速度大于c。然而，如果坐标 系S"沿着与x轴夹角45度方向运动，B事件比A事件先发生。（注意，S"的这种移动不是 唯一的！)在实验室坐标系中，我们可知事件B坐标为6V2,0,7}。故题中的变换是： c18=Y(c1B-BB)<0 →B=4=7 (<1) XB 6v2
问题 1 坐标系 S 中两事件与{ } x, y, ct 相应的坐标分别为 A：{0,0,0}；B：{6,6,7}，且 z=0。 （a） 计算 A，B 两事件时空间隔的平方。这里描述的是类时还是类空分离？ 因为空间项比时间项要大，故这两事件是类空分离的。国际认可的另一表示法常用负数表示 类时间隔。 （b） 与在参考系 S′中以速度v v x v y x y = ˆ + ˆ r 运动相对应的类空间隔是多少？ 因为在所有的洛仑兹变换下，时空间隔不变，故 23 2 ds = 。 （c） 求出一满足 A B x′′ > x′′ 的坐标系 S′′ （包括速度和坐标方向）。 为简化计算，我们设在 t=0 时坐标系位于原点。这使得事件 A 的值在所有参考系和坐标轴下 均为 0。因此 B 事件在坐标系 S′′ 内的 x 值必须为负。当坐标系沿 x 轴正方向运动时即可得 出上述结果。由 B x 的变换我们可得出最小运动速度 ′′ = ( − ) t′′′时 求 S′′′。 如果我们按与（c）部分相同的方法来求解，我们会发现变换速度大于 c。然而，如果坐标 系 S′′′沿着与 x 轴夹角 45 度方向运动，B 事件比 A 事件先发生。(注意，S′′′的这种移动不是 唯一的！) 在实验室坐标系中，我们可知事件 B 坐标为{6 2,0,7}。故题中的变换是： ′′ = ( − ) < 0 B B B ct γ ct βx ( 1) 6 2 7 ⇒ = = < B B x ct β
问题2 我们知道“速度”可以用下列四个矢量描述： Ymx;Ym4y:Yu；和YnC, 式中 1 Yu= V1-u/c2-4/c2-/e 由洛仑兹变换求出Y和Y,c(例如，在坐标系S中的值)。假设坐标系S'沿￡方向向右 移动，其性质由速度阝和相应的y。来刻画。用坐标变换来计算S系下的，值，并将其与 课堂上所得的在△x'和△1'变换下的结果相比较。 洛仑兹变换的第一个式子Y4:=Yg(Yu.-Pc) 洛仑兹变换的第四个式子Yc=YB(yc-Puux) 将两式相除可得 =Yw,-B以S=-B c Yuc-Byux c-Bux 4=4-v 1B悲 问题3 普通多普勒效应的频率变化由下式给出： v'=yv(1-Bcos8)。 式中，y'是指在S中观测到的频率，频率y和角度O是在S中的观测值，S是沿+文方 向运动且速度为B的坐标系。（日=0对应着沿+x方向向右运动。） (a)分别写出在B的最低阶下，多普勒变换下的源接近观测者和远离观测者时的频率表 达式，并指出各个符号分别对应什么物理量
问题 2 我们知道“速度”可以用下列四个矢量描述： u ux γ ； u uy γ ； u uz γ ；和 cu γ ， 式中 2 2 2 2 2 2 1 1 u c u c u c x y z u − − − γ = 由洛仑兹变换求出 u ux γ ′ ′ 和 cu γ ′ （例如，在坐标系 S′ 中的值）。假设坐标系 S′ 沿 xˆ 方向向右 移动，其性质由速度 β 和相应的 β γ 来刻画。用坐标变换来计算 S′系下的ux ′ 值，并将其与 课堂上所得的在 ∆x′ 和 ∆t′变换下的结果相比较。 洛仑兹变换的第一个式子 u ( u c) u x u x βγ u γ γ γ ′ ′ = β − 洛仑兹变换的第四个式子 ( ) u u uux γ c γ γ c βγ ′ = β − 将两式相除可得 x x u u x x u x u c u u c c u u c c u β β γ βγ γ βγ − − = − − = ′ c u u v u x x x − β − ′ = 1 问题 3 普通多普勒效应的频率变化由下式给出： ν ′ = γν (1− β cosθ ) 。 式中，ν ′是指在 S′中观测到的频率，频率ν 和角度θ 是在 S 中的观测值， S′是沿 + xˆ 方 向运动且速度为 β 的坐标系。（θ =0 对应着沿 + xˆ 方向向右运动。） （a） 分别写出在 β 的最低阶下，多普勒变换下的源接近观测者和远离观测者时的频率表 达式，并指出各个符号分别对应什么物理量
接近（远离）的源有0=0（π），因此： v'=v(1干B) y里有B的二次项，忽略这个二次项可得： v'≈v(1干) (b)如图所示，一激光器以速度ⅴ向右运动。其激光束沿坐标系S的-)方向发射。设 激光束频率在与激光器静止的坐标系中为y',求在坐标系S中观测到的发射频率。 (答案必须包括B的所有阶。)指出该结果（例如，非经典行为下）的意义。 由于时间膨胀这种纯粹的相对论效应，我们可得，当日=3π/2，开普勒变换表现为一个简 单的关系式。 y'=yw→V=- Laser beam in S (c)如果静止在坐标系S内的一激光器发射一频率为V且沿+)方向传播的激光束，那 么在参考系S内的观测者测得该激光束的频率y是多少？如果是横向多普勒效应， 则y应小于y。试解释为什么说本例不是横向多普勒效应的情况。 这里(b)部分中的表达式仍然成立： v'=rv(>v) 因为在参考系S′内的观测者测得该激光束的角度与运动方向不垂直，所以不是(b)部分的 横向多普勒效应的情况。换句话说，这里实际上是指在S内的一阶经典多普勒蓝移，再加 上时间膨胀
接近（远离）的源有θ = 0(π ) ，因此： ν ′ = γν (1m β) γ 里有 β 的二次项，忽略这个二次项可得： ν ′ ≈ν (1m β) （b） 如图所示，一激光器以速度 v 向右运动。其激光束沿坐标系 S 的 − yˆ 方向发射。设 激光束频率在与激光器静止的坐标系中为ν ′，求在坐标系 S 中观测到的发射频率。 （答案必须包括 β 的所有阶。）指出该结果（例如，非经典行为下）的意义。 由于时间膨胀这种纯粹的相对论效应，我们可得，当θ = 3π 2 ，开普勒变换表现为一个简 单的关系式。 ν ′ = γν ⇒ γ ν ν ′ = （c） 如果静止在坐标系 S 内的一激光器发射一频率为ν 且沿 + yˆ 方向传播的激光束，那 么在参考系 S′内的观测者测得该激光束的频率ν ′是多少？如果是横向多普勒效应， 则ν ′应小于ν 。试解释为什么说本例不是横向多普勒效应的情况。 这里（b）部分中的表达式仍然成立： ν ′ = γν (>ν ) 因为在参考系 S′内的观测者测得该激光束的角度与运动方向不垂直，所以不是（b）部分的 横向多普勒效应的情况。换句话说，这里实际上是指在 S′ 内的一阶经典多普勒蓝移，再加 上时间膨胀
问题4 如图所示，双胞胎A,B静止于坐标系S中的点(x,y)=(O,R)处。B乘坐火箭沿半径为R 的大圆形轨道运动。火箭加速度为常数a,速度为u=al。沿“轨道”行驶一圈经过A。这里 的，a和1均为坐标系S中的测量值。A相对于坐标系S静止。在A看来，B行驶一圈的 时间为T。当B经过旅行回到A点时，两人通过各自的手表来比较这一过程所用去的时间。 求完成圆周旅行后，B的年龄的一般表达式(T')。该式必须只含有因子，T和c,而没 有R。如果a=8msec-2(=800 cm-sec-2)且T=3×10'sec(~1年)，则T'/T是多少。 r=∫r-∫Vh-g=y腰a 2c g-08 子=p4v1=0+05n-108别=125p24+04网=08 几个有用的积分： ∫-xd=-2-x)欢 ∫-xdk=--x+sin() 3 2 ∫+--∫+r在-++m国
问题 4 如图所示，双胞胎 A，B 静止于坐标系 S 中的点(x, y) = (0, R)处。B 乘坐火箭沿半径为 R 的大圆形轨道运动。火箭加速度为常数 a，速度为 u=at。沿“轨道”行驶一圈经过 A。这里 的 u，a 和 t 均为坐标系 S 中的测量值。A 相对于坐标系 S 静止。在 A 看来，B 行驶一圈的 时间为 T。当 B 经过旅行回到 A 点时，两人通过各自的手表来比较这一过程所用去的时间。 求完成圆周旅行后， B 的年龄的一般表达式（T ′）。该式必须只含有因子 a，T 和 c，而没 有 R。如果 a=8m· 2 sec− （=800cm· 2 sec− ）且 T=3×107 sec（~1 年），则T ′ T 是多少。 几个有用的积分： 3 2 (1 ) 3 2 1− xdx = − − x ∫ sin ( ) 2 1 1 2 1 2 2 1 x x x x dx − − = − − + ∫ 3 2 (1 ) 3 2 1+ xdx = − x ∫ sinh ( ) 2 1 1 2 1 2 2 1 x x x x dx − + = + + ∫
问题5 如下闵科夫斯基图表示的是一参考系S'以B=5/7且相应的值y=7√24≈1.4向右运 动。图中各轴标记的每一小段是指各自参考系的1.0个单位。试在图上画出在下列几种情况 下所对应的图线，并指出哪几条线是平行的。图解比较相对论预言下的值。 (a)一静止于参考系S中的时钟在参考系S'中的观测者看来会变慢。画出该时钟的世界线。 ct ct' 蓝线：S系内的常数c'的线。 红线：S系内的时钟世界线。 cdt'=1.43 cdt=1 X (b)一静止于参考系S′中的时钟在参考系S中的观测者看来会变慢。画出该时钟的世界线。 ct ct' ct'=2.0 蓝线：S系内的常数ct的线。 ct=2.8 红线：S系内的时钟世界线。 (c)光的多普勒效应
问题 5 如下闵科夫斯基图表示的是一参考系 S′ 以 β = 5/ 7 且相应的值γ = 7 24 ≈ 1.4 向右运 动。图中各轴标记的每一小段是指各自参考系的 1.0 个单位。试在图上画出在下列几种情况 下所对应的图线，并指出哪几条线是平行的。图解比较相对论预言下的值。 （a）一静止于参考系 S 中的时钟在参考系 S′中的观测者看来会变慢。画出该时钟的世界线。 （b）一静止于参考系 S′中的时钟在参考系 S 中的观测者看来会变慢。画出该时钟的世界线。 （c）光的多普勒效应
ct' ct=2.45 x=2.45 ct=l X x=1 这三条绿线（对应为光线）被参考系S的△x=1和△1=1分隔开来。然而，如图所示，在S 系中的x'轴上和C1'轴上，这些线相隔2.45个单位。这种增加正对应于多普勒变换里的 1'1+B 元1-B =6=244 类似地，有 '1-1 +B6 =0.41 因为频率与时间成反比，所以我们看到图上的时间轴也同样有2.44的比率。 问题6 一汽车沿直线从A点向B点运动。其耗油量的比率由下面的表达式给出： dv R=C1+C2v+C32+C," (加仑每小时) 式中C为常数，v为汽车的速度。用变积分（特别是，适当欧拉方程）求出汽车行驶一段恒 定距离时油耗最少时的速度。[提示：你可以在空间中建立两个固定点之间的积分，以便独 立变量是x而非1。]
这三条绿线（对应为光线）被参考系 S 的 ∆x = 1和 ∆t = 1分隔开来。然而，如图所示，在 S′ 系中的 x′ 轴上和ct′ 轴上，这些线相隔 2.45 个单位。这种增加正对应于多普勒变换里的 6 2.44 1 1 = = − + = ′ β β λ λ 类似地，有 0.41 6 1 1 1 = = + − = ′ β β ν ν 因为频率与时间成反比，所以我们看到图上的时间轴也同样有 2.44 的比率。 问题 6 一汽车沿直线从 A 点向 B 点运动。其耗油量的比率由下面的表达式给出： 式中 C 为常数，v 为汽车的速度。用变积分（特别是，适当欧拉方程）求出汽车行驶一段恒 定距离时油耗最少时的速度。[提示：你可以在空间中建立两个固定点之间的积分，以便独 立变量是 x 而非 t。]
耗油量= Rdt C+C2v+C3v2+Cxv- 耗油量= +C2+Ca0+C4 dx f(,v';x) 因此欧拉方程表示为： d(or_o=o kam厂a -号+C-4c.)=0 dx 因此 此结果与空间位置无关。因此，通过以上所设的积分我们便可以很容易求出这个速度
因此欧拉方程表示为： = 0 ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ′ ∂ v f v f dx d 3 ( ) 4 0 2 1 ⇒ − + − C = dx d C v C 因此 3 1 C C v = 此结果与空间位置无关。因此，通过以上所设的积分我们便可以很容易求出这个速度