麻省理工学院 物理学系 8.231,固体物理I 习题4 问题1：一维态密度 在如下一维模型中，画出并仔细标记态密度作为能量的函数图象（无须计算)。 a)第四章图7的双原子线性链。 EC) b)色散关系曲线如图所示的单原子链。 问题2：三维态密度 (R】 % R L 1a 在三维固体振动中，一支声学波的色散关系曲线如上图所示。在布里渊区边界附近， 色散关系可近似表为下式 )计算布里渊区边界处声子对态密度的贡献。假设这支振动摸空间各向同性且布 里渊区边界处可用半径为π/a的球代替。 b)当△<eo时，这一支中有多么能量态在e。一△和eo之间？ 问题3：二维德秤模型 考虑原胞中只有一个原子的二维固体，利用德拜模型找到一个晶格热容的近似表达
麻省理工学院 物理学系 8.231，固体物理Ⅰ 习题#4 问题 1: 一维态密度 在如下一维模型中，画出并仔细标记态密度作为能量的函数图象（无须计算）。 a) 第四章图 7 的双原子线性链。 b) 色散关系曲线如图所示的单原子链。 问题 2: 三维态密度 在三维固体振动中，一支声学波的色散关系曲线如上图所示。在布里渊区边界附近， 色散关系可近似表为下式 2 0 A k a π ε ε ⎛ ⎞ =− − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a) 计算布里渊区边界处声子对态密度的贡献。假设这支振动摸空间各向同性且布 里渊区边界处可用半径为π a 的球代替。 b) 当 时，这一支中有多么能量态在 和 之间？ 0 Δ ε 0 ε −Δ 0 ε 问题 3: 二维德秤模型 考虑原胞中只有一个原子的二维固体，利用德拜模型找到一个晶格热容的近似表达
)用单位面积的原子数N/A,声速和波尔兹曼常量kg导出德拜波失k。及德拜温度 Θ0。 b)找到此模型的能态密度关系。细仔画出能态密度图线并标注。 ©)不要衍算，建立一个晶格对固体能量供献的表达式。 )找到一个热容量的表达式，用一个无量钢（但依赖于温度）的积分表达结果。在 低温极限下，热容怎样依赖于温度？ )不计算，说明低温极限下一维晶格的热容量怎样随温度变化。 问题4：三声子相互作用 考虑一晶格，满足w=VLK和w=V,K,其中V和Vr不依赖于K。下标L和 T分别表示纵振动和横振动。如果V>V?,证明正规三声子过程T+L→T不 能满足能量和波失守恒。 问题5：元激发的衰变 低温三维系统元激发的一支拥有各向同性色散关系如下 e(p)=cp(1-7p) 这里p为激发动量，c为光速，温度足够低使Yp满足远小于1。利用简单 的守恒关系证明Y的符号决定了激发能否衰变为一对能量更低的元激发。在这种 机制下哪种符号保证激发稳定。 问题6：热膨胀 假设声子频率随品格体积的下降而上升（实验己经证明），晶格热膨胀即建立在此 基础上。简单计算时假设晶格压缩时所有声子表现出相同的行为： dw(k)dv w(k) 其中正参量Y(与上题无关)为格林艾森常数。真空热平衡下晶体压力为零（无外 aF 作用下晶体保持自身的形状)。热力学表明p= T,其中F是固体总自由 av
a) 用单位面积的原子数 N A，声速和波尔兹曼常量 导出德拜波失 B k Dk 及德拜温度 Θ0 。 b) 找到此模型的能态密度关系。细仔画出能态密度图线并标注。 c) 不要衍算，建立一个晶格对固体能量供献的表达式。 d) 找到一个热容量的表达式，用一个无量钢（但依赖于温度）的积分表达结果。在 低温极限下，热容怎样依赖于温度？ e) 不计算，说明低温极限下一维晶格的热容量怎样随温度变化。 问题 4：三声子相互作用 考虑一晶格，满足 和 ，其中 和 不依赖于 。下标 和 分别表示纵振动和横振动。如果 ，证明正规三声子过程T L 不 能满足能量和波失守恒。 L v ωL = K v ωT T = K L v vT K L T L v v > T + →T 问题 5：元激发的衰变 低温三维系统元激发的一支拥有各向同性色散关系如下 ( ) ( )2 ε γ p = − cp p 1 这里 p 为激发动量 k G = ，c 为光速，温度足够低使 2 γ p 满足远小于 1。利用简单 的守恒关系证明 的符号决定了激发能否衰变为一对能量更低的元激发。在这种 γ 机制下哪种符号保证激发稳定。 问题 6：热膨胀 假设声子频率随晶格体积的下降而上升（实验已经证明），晶格热膨胀即建立在此 基础上。简单计算时假设晶格压缩时所有声子表现出相同的行为： ( ) ( ) d k dV k V ω γ ω = − 其中正参量 （与上题无关）为格林艾森常数。真空热平衡下晶体压力为零（无外 作用下晶体保持自身的形状）。热力学表明 γ F p T V ∂ = −∂ ，其中 F 是固体总自由
能。F可写为两项之和：F=(V)+F,(V,T)。中(V)是原子间相互作用的结 构能。如果原子静止在格点上（即没有自由度被热激发），晶体体积V令中(V)取 极小值。 () ℉，(V,T)是声子对自由能的贡献，表示为对所有声子振动摸的求和 F,(W,T)=∑F a)关系式F=-kgT In Z(V,T)连系了热力学和统计力学，其中Zs是单个振 动模的配分函数。证明平衡位置满足 8驰=k,∑16 ∂y Zs∂V )统计力学中正则系综满足Z=©5其中求和遍及子系统的全部状态， 对于本题就是声子振动模。证明平衡条件为 aΦ av =YU/V 这里U/V是单位体积声子振动模的内能。这个结果给出了热膨胀的等价表 述：温度T增高，声子能增加，p()的体积V增加。 118V c)线性膨胀系数定义为a三- p。如果Φ(V)用极小值处的泰勒展开， 3VaT 前几项近似如下 )=-%+号Kw- d)写出α的表达式。低温下α怎样依赖于温度？
能。F 可写为两项之和： () ( ) , F = + φ V F VT p 。 是原子间相互作用的结 构能。如果原子静止在格点上（即没有自由度被热激发），晶体体积V 令 取 极小值。 φ( ) V φ( ) V ( , F p V T ) 是声子对自由能的贡献，表示为对所有声子振动摸的求和 ( ) , p k k F VT F =∑ a) 关系式 Fk Bk = −kT Z VT ln , ( )连系了热力学和统计力学，其中 Zk 是单个振 动模的配分函数。证明平衡位置满足 1 k B k k Z k T V Z ∂φ ∂ = ∂ ∂ ∑ V b) 统计力学中正则系综满足 E kT n B n Z e− =∑ 其中求和遍及子系统的全部状态， 对于本题就是声子振动模。证明平衡条件为 U V p V φ γ ∂ = ∂ 这里U V p 是单位体积声子振动模的内能。这个结果给出了热膨胀的等价表 述：温度 T 增高，声子能增加， 的体积 φ( ) V V 增加。 c) 线性膨胀系数定义为 1 1 3 V p V T α ∂ ≡ − ∂ 。如果 用极小值处的泰勒展开， 前几项近似如下 φ( ) V ( ) ( )2 0 0 1 2 φ φ V KV =− + −V d) 写出 的表达式。低温下 怎样依赖于温度？ α α
问题7：零点能 在绝对零度下，L的晶格空间比L的大。利用低频声波在固体中的传播速度正比 于p么解释上述现象，其中ρ是固体密度。晶格空间差约0.07%。利用德拜模型 解释这一重大差别。假设T=0时，声子对晶格常数的贡献只有10-2
问题 7：零点能 在绝对零度下， 的晶格空间比 的大。利用低频声波在固体中的传播速度正比 于 6 Li 7 Li 1 2 ρ − 解释上述现象，其中 是固体密度。晶格空间差约 ρ 0 0.07 0 。利用德拜模型 解释这一重大差别。假设 T=0 时，声子对晶格常数的贡献只有 。2 10−