麻省理工学院 电子工程和计算机科学 6.011:通信，控制和信号处理导论 2005,春季期末考试试卷 星期二，5月18日9：00上午-12：00中午 名字： 答疑时间： ● 考试为闭卷考试，可以携带六张8)×T的双面笔记，不允许携带计算器。 ● 我们希望看到你们能完成考试的80%，而不是非常差劲地完成100%。 ●在推理中务必保持整洁和准确并展示相关工作。 ●如果我们无法阅读，我们不能/将不会评分。请写得整齐明了。 ● 只交答题卷。在评分中不考虑其他页。你可能想首先在试卷的空白处或者草纸上进行计 算，然后把你想要我们看到的工作转到答题卷上。如果你需要额外的草纸请让我们知道。 问题 成绩 1(20分) 2(24分) 3(20分) 4(36分) 总分(100分)
麻省理工学院 电子工程和计算机科学 6.011：通信，控制和信号处理导论 2005，春季期末考试试卷 星期二，5 月 18 日 9：00 上午－12：00 中午 名字： 答疑时间： z 考试为闭卷考试，可以携带六张 '' 1 '' 8 11 2 × 的双面笔记，不允许携带计算器。 z 我们希望看到你们能完成考试的 80％，而不是非常差劲地完成 100％。 z 在推理中务必保持整洁和准确并展示相关工作。 z 如果我们无法阅读，我们不能/将不会评分。请写得整齐明了。 z 只交答题卷。在评分中不考虑其他页。你可能想首先在试卷的空白处或者草纸上进行计 算，然后把你想要我们看到的工作转到答题卷上。如果你需要额外的草纸请让我们知道。 问题 成绩 1（20 分） 2（24 分） 3（20 分） 4（36 分） 总分（100 分）
问题1(20%) 一个稳定的LTI滤波器的频响为 He）=1 1 1- 其输入为广义平稳的离散时间序列w[,其功率谱密度S(em)=9。求系统的输出刊。 1(a)(5分)求系统输入输出的一阶差分方程，并求出系统单位抽样响应hn],(请认真， 其他问题会与之相关)。作为检查，计算∑[可，并和你的期望比较。系统是因果的吗？
问题 1 （20％） 一个稳定的 LTI 滤波器的频响为 ( ) 1 1 1 2 j j H e e Ω − Ω = − 其输入为广义平稳的离散时间序列 w[i] ，其功率谱密度 ( ) 9 j ww S e Ω = 。求系统的输出 y n[ ]。 1（a）（5 分）求系统输入输出的一阶差分方程，并求出系统单位抽样响应 h n[ ]，（请认真， 其他问题会与之相关）。作为检查，计算∑h n[ ] ，并和你的期望比较。系统是因果的吗？
1(b)(5分)求y[的均值Ey[n=4,和自相关函数E{y[m+ny[n]}=R,[m。 请写出自相关函数的结果，不要写成积分或者求和的形式。如果结果正确，y[]的方差为 12:请验证。 你或许会发现下面的几何级数公式会有用： 1+a++a-=1-a 1-a
1（b）（5 分）求 y[i]的均值 E yn { [ ]} = μ y 和自相关函数 E{ym nyn R m [ + = ] [ ]} yy [ ]。 请写出自相关函数的结果，不要写成积分或者求和的形式。如果结果正确， y n[ ] 的方差为 12；请验证。 你或许会发现下面的几何级数公式会有用： 1 1 1 1 m m a a a a − − ++ + = −
1(c)(5分)求y[·]的一步因果预测器的线性最小均方误差(LMMSE)。该预测器使用k≤n 时yk]的所有值得到y[n+1]的LMMSE估计[n+],做这道题的一种方法是使用(a) 中输入一输出方程去推测这个预测器的形式，然后利用LMMSE估计的正交特性验证你的推 测。另一种方法是设计一个合适的因果维纳滤波器。 使用以上任一种方法去求预测器时，列出主要计算步骤，【如果你时间充裕，这里还有附加 的3分，用其他方法求预测器，然后检查是否得到了相同的答案】 使用以上任一种方法求出预测器的最小均方误差(MMSE),MMSE的正确结果能大于12 吗？
1（c）（5 分）求 y[i]的一步因果预测器的线性最小均方误差（LMMSE）。该预测器使用 k n ≤ 时 y k[ ]的所有值得到 y n[ +1]的 LMMSE 估计 y n ˆ[ +1]，做这道题的一种方法是使用（a） 中输入－输出方程去推测这个预测器的形式，然后利用 LMMSE 估计的正交特性验证你的推 测。另一种方法是设计一个合适的因果维纳滤波器。 使用以上任一种方法去求预测器时，列出主要计算步骤，【如果你时间充裕，这里还有附加 的 3 分，用其他方法求预测器，然后检查是否得到了相同的答案】 使用以上任一种方法求出预测器的最小均方误差（MMSE），MMSE 的正确结果能大于 12 吗？
1(c)(接上)：如果时间充裕，在这一页你可以做附加题
1（c）（接上）：如果时间充裕，在这一页你可以做附加题
问题2(24分) 设接收信号为： r(n]=Ap(n]+v(n] 其中A是由发射机选择的一个随机变量：接收机仅仅知道A均值4和方差o,假设A与 广义平稳(wSS)白噪声过程v[不相关，己知噪声强度是o?,即，Sn(em)=o?。同 样将p]看作能量有限的已知信号。 s=∑p2[川 用f[表示接收滤波器的单位采样响应，我们定义： B=∑f[r-川=A(∑f网p-川+∑f[-=a4+" 其中 a=∑f[n川p-n] v-∑f[n[-n 且 F=∑f[川 2(a)(4分)求出V的均值和方差，并求A和V的互协方差o4r。你的答案可以用o,和 F表示
问题 2 （24 分） 设接收信号为： r n Ap n v n [ ] = + [ ] [ ] 其中 A 是由发射机选择的一个随机变量；接收机仅仅知道 A 均值 μ A 和方差 2 σ A ，假设 A 与 广义平稳（WSS）白噪声过程v[i] 不相关，已知噪声强度是 2 σ v ，即， ( ) j 2 vv v S e σ Ω = 。同 样将 p[i]看作能量有限的已知信号。 [ ] 2 n ε = ∑ p n 用 f [n] 表示接收滤波器的单位采样响应，我们定义： [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] n B f n r n A f n p n f n v n aA V =−∞ = −= −+ − = + ∑ ∑∑ 其中 α = − ∑ f [np n ] [ ] V f nv n = ∑ [ ] [− ] 且 [ ] 2 n F fn = ∑ 2（a）（4 分）求出V 的均值和方差，并求 A 和V 的互协方差σ AV 。你的答案可以用σ v 和 F 表示
2(a)(6分)求出B的均值和方差，以及A和B的互协方差OB,相关系数P4B,使用问 题参数和上述介绍的符号表示答案
2（a）（6 分）求出 B 的均值和方差，以及 A 和 B 的互协方差σ AB ，相关系数 ρ AB ，使用问 题参数和上述介绍的符号表示答案
2(c)(4分)用观测B写出A的LMMS估计器，即求下式中的y和4 A=YB+u 最小化[（4-门 同样，使用问题参数和上述介绍的符号表示答案
2（c）（4 分）用观测 B 写出 A 的 LMMS 估计器，即求下式中的γ 和 μ A B ˆ = γ + μ 最小化 ( )2 E AA ⎡ ⎤ ˆ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 。同样，使用问题参数和上述介绍的符号表示答案
2(d)(10分)2(c)中的估计器的最小均方误差(MMSE)可以表示为如下形式： o(1-p2a) 请使用问题参数和上述介绍的符号表示。注意，题中如何选择滤波器f[川]的只影响a,F。 要求你的表达式可以显示出当a/F尽可能大时，可以最小化MMSE
2（d）（10 分）2（c）中的估计器的最小均方误差（MMSE）可以表示为如下形式： ( ) 2 2 1 σ ρ A AB − 请使用问题参数和上述介绍的符号表示。注意，题中如何选择滤波器 f [ ] n 的只影响 a F, 。 要求你的表达式可以显示出当 2 a F/ 尽可能大时，可以最小化 MMSE
2(d)接上：柯西一斯瓦兹不等式可以被表示成： a2 ≤ F 当且仅当满足以下公式时取等号 f[n]=cp[-川 对于非零常数c,不失一般性，这里取为1。注意使用f[n=p[-n,我们得到a=6=F。 使用上面条件，重写最小均方误差(MMSE)的表达式和2(c)中LMMSE估计器中的Y,4, 使用8,44，O,0A表示
2（d）接上：柯西－斯瓦兹不等式可以被表示成： 2 a F ≤ ε 当且仅当满足以下公式时取等号 f [n cp n ] = [− ] 对于非零常数c ，不失一般性，这里取为1。注意使用 f [n pn ] = [− ] ，我们得到α = = ε F 。 使用上面条件，重写最小均方误差（MMSE）的表达式和 2（c）中 LMMSE 估计器中的γ ,μ ， 使用 ,,, AvA ε μσσ 表示