样题 麻省理工学院 机械工程系 2.12机器人导论 期中考试 2004年10月27日 下午2：30-4：30 闭卷。允许有两页草稿，说明解答思路。 不得提交多个答案，要注明哪个是正确答案。 题一 下图是查尔斯划船比赛中使用的机器人机械臂。为了简化问题，只考虑平面 运动。假定这个双连杆机械臂和桨仅有水平面上的运动。桨可以相对桨座自由转 动，机器人将桨从桨座上拉动一段距离d。机器人端点通过E点与桨相连，T连接点 没有摩擦力。水平力作用在桨叶上，与桨座的距离为D。假定水的阻力与桨垂直。 桨座针对基本坐标系的坐标为(x0,y0)r,基本坐标系建议在机械臂的第一个关节 上。假设没有摩擦力、没有重力。使用图中的符号，回答下列问题。 a).求出机器人端点的坐标xe,e,用关节角度01、02，的函数表示出来，根据关节角 度微分端点坐标，得出雅可比矩阵。 b).设角度a为桨与x轴的夹角。求出用a的函数表示的端点坐标xe,e。在哪种情况 下，角度ā成为整个系统的广义坐标？ c).根据虚功原理可以看出，为抵消水的阻力f而施加在桨上的关节力矩τ！、τ2， 应当满足下述关系： d f= Dsin()E sin(0-a)+sin(0-a) d).用直流电机驱动机器人的两个关节。设Km为第一台电机的常数，Km2为第二台 电机的常数。产生关节力矩t1、T的总功率损失如下： 式中的1、n是电机的齿轮齿数比。（注意：第二台电机固定在底座上，输出的力 矩传递给第二个关节，与2.12实验室机械手相似。) ).求出两台电机功率损失最小的最佳关节力矩t1、T2的值P1os,此时结构受到的 水阻力f为：A=45°，8=135°，a=0。假设连杆尺寸为 4=6五4=D
样题 麻省理工学院 机械工程系 2.12 机器人导论 期中考试 2004年10月27日 下午2：30– 4：30 闭卷。允许有两页草稿，说明解答思路。 不得提交多个答案，要注明哪个是正确答案。 题一 下图是查尔斯划船比赛中使用的机器人机械臂。为了简化问题，只考虑平面 o o 运动。假定这个双连杆机械臂和桨仅有水平面上的运动。桨可以相对桨座自由转 动，机器人将桨从桨座上拉动一段距离d。机器人端点通过E点与桨相连，T连接点 没有摩擦力。水平力f作用在桨叶上，与桨座的距离为D。假定水的阻力与桨垂直。 桨座针对基本坐标系的坐标为 x0 , y0T ，基本坐标系建议在机械臂的第一个关节 上。假设没有摩擦力、没有重力。使用图中的符号，回答下列问题。 a). 求出机器人端点的坐标xe , ye，用关节角度θ1 、θ2 ,的函数表示出来，根据关节角 度微分端点坐标，得出雅可比矩阵。 b). 设角度α为桨与x轴的夹角。求出用α的函数表示的端点坐标xe , ye。在哪种情况 下，角度α成为整个系统的广义坐标？ c). 根据虚功原理可以看出，为抵消水的阻力f而施加在桨上的关节力矩τ1 、τ2， 应当满足下述关系： d). 用直流电机驱动机器人的两个关节。设Km1为第一台电机的常数，Km2为第二台 电机的常数。产生关节力矩τ1 、τ2的总功率损失如下： 式中的r1 、r2是电机的齿轮齿数比。（注意：第二台电机固定在底座上，输出的力 矩传递给第二个关节，与2.12实验室机械手相似。） e). 求出两台电机功率损失最小的最佳关节力矩τ1 、τ2 的值Ploss，此时结构受到的 水阻力f为： 。假设连杆尺寸为 ， 2
电机常数与齿轮齿数比的无因次乘积分别为nKm1=1,2Km2=0.5。 D Xe 机器人 d e 端点 桨 万向节 桨叶 桨座 01 关节1 图1二自由度划船机器人 题二 下图是一个有三个旋转副的机械臂。坐标系O1固定在底座连杆上，端点的笛卡尔坐标 分别为xe,:,2e。关节角度01是连杆轴OA(轴)与x轴连线OB'的夹角，点B是点B在xy平 面上的投影。点B上还有另一个坐标系B-w,、w轴平行于y平面，轴平行于z轴。第二 个关节的轴AB是水平的，关节角02是is轴与直线BD的夹角。关节角03是关节轴CD与直 线BD和连杆3即直线DE的夹角。连杆尺寸分别为OA(,AB-(1,BD=(,ndDE=L,。 (为了说明动态结构，虽然用点C和点D分别表示，但实际上是同一个点，即直线CD的长 度为零。) 2
电机常数与齿轮齿数比的无因次乘积分别为r1Km1 1, r2 Km 2 0.5。 D f x e 机器人 d ye 端点 万向节 桨 桨座 桨叶 xo 2 y 2 1 1 关节1 2 关节 2 1 yo x 图1 二自由度划船机器人 题二 下图是一个有三个旋转副的机械臂。坐标系O xyz固定在底座连杆上，端点的笛卡尔坐标 分别为xe , ye , ze。关节角度θ1 是连杆轴OA（z轴）与x轴连线OB’的夹角，点B’是点B在xy平 面上的投影。点B上还有另一个坐标系B-uvw，u、w轴平行于xy平面，v轴平行于z轴。第二 个关节的轴AB是水平的，关节角θ2是is u轴与直线BD的夹角。关节角θ3 是关节轴CD与直 线BD和连杆3即直线DE的夹角。连杆尺寸分别为 。 （为了说明动态结构，虽然用点C和点D分别表示，但实际上是同一个点，即直线CD的长 度为零。） 2
还需要注意的是，OAB=ABD=90。。回答下列问题。 Xe F ye E F Ze F: 关3 连杆 Ve 03 关拉 A 连 连杆 关节101 B 0 61 图1三自由度机器人的动态结构 a).求出端点E针对坐标系B-w的坐标，即图中的le、Ve。 b).求出端点相对于坐标系O1xz的坐标xe,,z。 ©).对于给定的端点位置，逆动态问题会有多少个解？画出具有相同端点坐标的不同结构的 示意图。 d).求出关节速度xe,,ze对端点速度61，日2,03的3x3雅各比矩阵。 c关节角度为8=0,8=4,8=90时，作用在端点上的力分别为5=10牛顿，F =0,F:=0。假定，=C,求出施加在端点上的力分别为F=10牛顿，F,=0,F =0时，相应的关节力矩。讨论结果的物理意义。 下题为附加题。在时间富裕的情况下完成。 ).求解典型条件下的雅可比矩阵，求出适用于各种结构的关节角度。画出一个结构的示意 图，确定端点在哪个方向上可以非零速度移动。 3
还需要注意的是，OAB ABD 90o 。回答下列问题。 x e F x ye E Fy v z e F z z 关节2 关节3 C 3 连杆3 ve θ3 u D A 连杆1 关节1 θ1 θ2 连杆2 θ2 ue B 连杆0 w O y x θ1 B’ 图1 三自由度机器人的动态结构 a). 求出端点E针对坐标系B-uvw的坐标，即图中的ue、ve 。 b). 求出端点相对于坐标系O xyz的坐标xe , ye , ze。 c). 对于给定的端点位置，逆动态问题会有多少个解？画出具有相同端点坐标的不同结构的 示意图。 d). 求出关节速度xe , ye , ze对端点速度θ1 , θ2 , θ3的3x3雅各比矩阵。 e). 关节角度为 时，作用在端点上的力分别为Fx 10牛顿，Fy 0，Fz 0。假定 ，求出施加在端点上的力分别为Fx 10牛顿，Fy 0，Fz 0时，相应的关节力矩。讨论结果的物理意义。 下题为附加题。在时间富裕的情况下完成。 f). 求解典型条件下的雅可比矩阵，求出适用于各种结构的关节角度。画出一个结构的示意 图，确定端点在哪个方向上可以非零速度移动。 3