8.514凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#3 玻色凝聚 1.准粒子 考虑T=0的玻色气，并在其上添加一个p≠0的准粒子。准粒子态可以通过在非理想玻 色气基态上作用准粒子算符得到： ）=6loy (1) 其中b。=cosh0,a。-sinh0,a。 一个准粒子中包含多少粒子呢？为了寻找答案，我们利用原始粒子的粒子数算符 N=∑aa,并计算差值 Np=(1111,）-01N10) (2) (注意：a,O〉≠0，而是b,0〉=0)将结果用Bogoliubov角日，来表述。比较准粒子能量 高和低时的情况，并对结果进行解释。 2.超流的朗道判据 一个速度为v的超流体的性质是在非零动量p=v态上有宏观数目的粒子占据。这个 多体态可以通过对固定态的推广得到： Φ，）=exp(WF(x)i,-(x)a》，)=exp(方prx) (3) )由这个态开始，考虑期望值（Φ，|H-N|Φ，〉，通过改变中使能量最小化，得到 超流态的化学势u。u如何依赖于超流速度v? b)考虑超流态的元激发（准粒子）。将玻色气哈密顿量对α，a展开到二阶，得到 H=E+公c-+2 2xI4F)io,.+号uor-+5iaal） (4) 为了将这个哈密顿量对角化，我们把具有动量k和2p-k的态组合起来 b =cosho a -sinh b=cosh oai -sinhoazp (5) 寻找可以将哈密顿量对角化的参数日，，并得到准粒子的散射关系E(k)(提示：不要陷入冗 长的计算一结果可以通过对固定的BEC态做小修正得到。) 计算会使准粒子能量变负的临界速度v。。Landau说明了如果速度v<v。,超流可以无
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#3 玻色凝聚 1. 准粒子 考虑 T=0 的玻色气，并在其上添加一个 p ≠ 0的准粒子。准粒子态可以通过在非理想玻 色气基态上作用准粒子算符得到： 0 ˆ 1 + p = bp （1） 其中bp p ap p ap cosh ˆ sinh ˆ ˆ = θ − θ + + 一个准粒子中包含多少粒子呢？为了寻找答案，我们利用原始粒子的粒子数算符 ∑ + = k N ak ak ˆ ˆ ˆ ，并计算差值 | 0 ˆ |1 0 | ˆ N p = 1p | N p − N （2） （注意： ˆ 0 ≠ 0 p a ，而是 0 0 ˆ bp = ）将结果用 Bogoliubov 角θ p 来表述。比较准粒子能量 高和低时的情况，并对结果进行解释。 2. 超流的朗道判据 一个速度为 v 的超流体的性质是在非零动量 p = mv 态上有宏观数目的粒子占据。这个 多体态可以通过对固定态的推广得到： exp( ( ( ) ˆ ( ) ˆ )) + Φv = p − ap V φ x a φ x ， ( ) exp( px) i x h φ = φ （3） a) 由这个态开始，考虑期望值 Φv H − uN Φv | ˆ | ，通过改变φ 使能量最小化，得到 超流态的化学势u 。u 如何依赖于超流速度 v？ b) 考虑超流态的元激发（准粒子）。将玻色气哈密顿量对 + ak ak , 展开到二阶，得到 ∑ ∑≠ − + − + ≠ + = + − + + + 0 2 2 2 2 0 (0) 2 0 ( ) 2 1 ( 2 | | ) k k p k k p k k H E ε k u λ φ ak ak λ φ a a φ a a （4） 为了将这个哈密顿量对角化，我们把具有动量 k 和 2p-k 的态组合起来 + bk = k ak − k a2 p−k cosh ˆ sinh ˆ ˆ θ θ ， bk k ak k a p−k + + = − 2 cosh ˆ sinh ˆ ˆ θ θ （5） 寻找可以将哈密顿量对角化的参数θ k ，并得到准粒子的散射关系 E(k)（提示：不要陷入冗 长的计算——结果可以通过对固定的 BEC 态做小修正得到。） 计算会使准粒子能量变负的临界速度 c v 。Landau 说明了如果速度 c v < v ，超流可以无
8.514凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#3 耗散的持续，这可以解释超滤4H中观察到的临界速度现象。在E(k)>0时，准粒子不能 自发出现，而当v>ⅴ，时超流会造出大量的准粒子，这样就出现了耗散。计算非理想玻色气 的临界速度y。。 c)你能够从Galilean变换的角度来解释b)部分中超流准粒子散射关系的结果吗？注意 微观哈密顿量在从固定到移动参考系的变换，x'=x+vt,t'=1,中是不变的。证明对一个 频率为o波矢为k的元激发，此变换的结果为o'=o-k,k'=k。准粒子能量在Galilean 变换下如何改变呢？ 3.凝聚体的损耗 )对于T=0的非理想玻色气，只有一部分的粒子处于凝聚状态。由于相互作用导致的 凝聚体的减少叫做“凝聚体损耗”。(4H是一个极端情况，其中超过90%的粒子不处于凝 聚体中。)为了估计弱相互作用电子气中的损耗，计算基态上总密度的期望值 n=i。+V-l∑nk,ie=aàe (6) 及≠0 第一项给出了凝聚体密度n。=(a访ào)，而第二项给出了正常流体的密度。计算损耗 (n-no)/n对于相互作用参数2的依赖。 b)考虑场算符的关联R(x,x)=(0|中*(x)(x)川O)。证明它与粒子数分布的关系为 R(x,x)=∑(O|nI0e(-。描述R(x,x)随距离x-x'的变化。计算x=x及 |x-x'→∞时的值。估计出R(O)到R(o)的转变发生的尺度5，这就是所谓的BEC特征 尺度。 4.玻色气的热力学 为了获得玻色凝聚体的热力学量，我们可以将整个体系视作满足玻色统计的无相互作用 Bogoliubov准粒子。系统的热力学势是 Q=-TInz=T[In(1-e-ncu))d'k (2)1 E(k)=((k)(s()(k)+2an) (7) 其中g0)(k)=方2k2/2m。 )证明在极低温T<T,=n和极高温T,<T≤Tc时热力学势有简单的解析结
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#3 耗散的持续，这可以解释超滤 He 4 中观察到的临界速度现象。在 E(k) > 0 时，准粒子不能 自发出现，而当 c v > v 时超流会造出大量的准粒子，这样就出现了耗散。计算非理想玻色气 的临界速度 c v 。 c) 你能够从 Galilean 变换的角度来解释 b)部分中超流准粒子散射关系的结果吗？注意 微观哈密顿量在从固定到移动参考系的变换， x′ = x + vt,t′ = t ，中是不变的。证明对一个 频率为ω 波矢为 k 的元激发，此变换的结果为ω′ = ω − kv, k′ = k 。准粒子能量在 Galilean 变换下如何改变呢？ 3. 凝聚体的损耗 a) 对于 T=0 的非理想玻色气，只有一部分的粒子处于凝聚状态。由于相互作用导致的 凝聚体的减少叫做“凝聚体损耗”。（ He 4 是一个极端情况，其中超过 90%的粒子不处于凝 聚体中。）为了估计弱相互作用电子气中的损耗，计算基态上总密度的期望值 ∑≠ − = + 0 1 0 ˆ ˆ ˆ k n n V nk ， nk ak ak ˆ ˆ ˆ + = （6） 第一项给出了凝聚体密度 0 0 0 n aˆ aˆ + = ，而第二项给出了正常流体的密度。计算损耗 (n − n0 )/ n 对于相互作用参数λ 的依赖。 b) 考虑场算符的关联 ( ) | 0 ˆ ( ) ˆ R(x, x′) = 0 | x x′ + φ φ 。证明它与粒子数分布的关系为 ∑ − ′ ′ = k ik x x k R x x n e ( ) ( , ) 0 | | 0 。描述 R(x, x′) 随距离 x − x′ 的变化。计算 x = x′ 及 | x − x′ |→ ∞时的值。估计出 R(0)到 R(∞) 的转变发生的尺度ξ ，这就是所谓的 BEC 特征 尺度。 4. 玻色气的热力学 为了获得玻色凝聚体的热力学量，我们可以将整个体系视作满足玻色统计的无相互作用 Bogoliubov 准粒子。系统的热力学势是 ∫ − Ω = − = − 3 3 ( ) (2 ) ln ln(1 ) π β d k T z T e E k ， ( ) ( )( ( ) 2 ) (0) (0) E k = ε k ε k + λn （7） 其中 (k) k / 2m (0) 2 2 ε = h 。 a) 证明在极低温T << Tλ ≡ λn 和极高温Tλ << T ≤ TBEC 时热力学势有简单的解析结
8.514凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#3 果。（提示：对于高温和低温，通过略去eO(k)或者n来简化E(k)的形式。） b)在以上了两个极限温度下计算熵，比热，正常流体密度(T)。与理想玻色气进行比 较
8.514 凝聚态和原子物理中的多体现象 习题#3 果。（提示：对于高温和低温，通过略去 ( ) (0) ε k 或者λn来简化 E(k) 的形式。） b) 在以上了两个极限温度下计算熵，比热，正常流体密度 n(T) 。与理想玻色气进行比 较