1.一维热传导方程写作： OT ,02T 0x2+f =v 其中v是热扩散率(=pc)以及∫是由于温度变化产生的热量(=g/pc,9是体积热产生率)。 (a)将其写为具有均匀区间△x的笛卡尔网格时间步的隐式差分方程（又名后向欧拉），并 把所有左侧的新温度（时间步+1）和右侧的旧温度（时间步）进行重新组合。 (b)对于下面的温度无限定期阵列，假设f==0,通过计算一个网格傅立叶数 (FoM=v△t/△x2)为10的下一个时间步，表明了该算法的稳定性。 …8°10°8°10°… 初始温度=o,重复温度的无限阵列 1
1. 一维热传导方程写作： 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 ＝𝜈𝜈 𝜕𝜕2𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑥𝑥2＋f, 其中 v 是热扩散率（＝k/𝜌𝜌𝜌𝜌）以及 f 是由于温度变化产生的热量（＝𝑞𝑞̇/𝜌𝜌𝜌𝜌, 𝑞𝑞̇是体积热产生率）。 （a） 将其写为具有均匀区间∆x的笛卡尔网格时间步的隐式差分方程（又名后向欧拉），并 把所有左侧的新温度（时间步 n+1）和右侧的旧温度（时间步 n）进行重新组合。 （b） 对于下面的温度无限定期阵列，假设 f＝𝑞𝑞̇＝0，通过计算一个网格傅立叶数 （Fo𝑀𝑀 = 𝑣𝑣∆𝑡𝑡/∆𝑥𝑥2）为 10 的下一个时间步，表明了该算法的稳定性。 ⋯ 8° 10° 8° 10° ⋯ 初始温度 t＝𝑡𝑡0，重复温度的无限阵列 1
解答 (a)对于Tn=Tlx=xk=tn,利用相应的隐式时间步差分方程替换PDE: a1-边=V-1a1-2t7n出十无n1 △t (△x)2 然后重新整理就很简单： （+2)r1一0i-41+7++=T+4以 (b)如果我们把单元格起始8时间步为n的温度标记为T4n,同理10°为TB,n,然后对于时间步 叶1我们需要解决两个联立方程： (1+2FOM)TAn+1-FOM(TBn+1+TBn+1)=TAn (1+2FOM)TBn+1-FOM(TAn+1+TAn+1)=TBn F0M=10,方程变为： 21 TAn+1-20TB.n+1=TAn 21 TB.n+1-20TAn+1=TB.n 将第一式增加21倍，第二式增加20倍，则： 441TAn+1-420TB,n+1+420TBn+1-400TAn+1=21TAn+20T8,n 4+1=248+2010=8976 41 对应项： TBn+1=208+2110=9.0240 41 于是尽管对于一个很长的时间步来说，运算法则是稳定的，而温度靠拢其长期的稳定的状 态值为9°。 2
解答 （a）对于𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑛𝑛 = 𝑇𝑇|𝑥𝑥=𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑡𝑡=𝑡𝑡𝑛𝑛 ,利用相应的隐式时间步差分方程替换 PDE： 𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑛𝑛+1—𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑛𝑛 ∆𝑡𝑡 ＝v 𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑛𝑛+1−2𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑛𝑛+1+𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑛𝑛+1 (∆𝑥𝑥)2 ＋𝑓𝑓𝑖𝑖,𝑛𝑛+1 然后重新整理就很简单： (1 + 2 𝑣𝑣∆𝑡𝑡 (∆𝑥𝑥)2)𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑛𝑛+1－ 𝑣𝑣∆𝑡𝑡 (∆𝑥𝑥)2(𝑇𝑇𝑖𝑖−1,𝑛𝑛+1＋𝑇𝑇𝑖𝑖+1,𝑛𝑛+1)＝𝑇𝑇𝑖𝑖,𝑛𝑛＋𝑓𝑓𝑖𝑖,𝑛𝑛+1∆𝑡𝑡 （b）如果我们把单元格起始 8°时间步为 n 的温度标记为𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛，同理 10°为𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛，然后对于时间步 n+1 我们需要解决两个联立方程： (1 + 2Fo𝑀𝑀) 𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛+1－Fo𝑀𝑀(𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛+1 + 𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛+1)＝𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛 (1 + 2Fo𝑀𝑀) 𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛+1－Fo𝑀𝑀(𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛+1 + 𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛+1)＝𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛 Fo𝑀𝑀=10，方程变为： 21 𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛+1－20𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛+1＝𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛 21 𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛+1－20𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛+1＝𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛 将第一式增加 21 倍，第二式增加 20 倍，则： 441 𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛+1－420𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛+1＋420 𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛+1－400𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛+1＝21𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛＋20𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛 𝑇𝑇𝐴𝐴,𝑛𝑛+1＝21.8°＋20.10° 41 ＝8.976° 对应项： 𝑇𝑇𝐵𝐵,𝑛𝑛+1＝20.8°＋21.10° 41 ＝9.024° 于是尽管对于一个很长的时间步来说，运算法则是稳定的，而温度靠拢其长期的稳定的状 态值为 9°。 2
1.单程双线道路上汽车法定流量 课堂上，我们讨论了连续交通流的问题，以汽车密度（汽车数量每单位长度）和流量Q(汽车通 过单元点每单位时间)，其中Q=pu,u为车速。守恒方程为： ap aQ=0 成+成 在这里，使用以下两个交通定律你会将法定流量Q派生出一个ρ的函数： L1法定速度限定为c于是有u≤c。 L2最小法定车距-L(L为单量车长度)与速度成正比例关系，心u,其中x为常量， 速度分离单元（米每小时）的法定需要英尺测量得到。 问题任务： (a)写出对于每种定律函数p关于Q的表达式。 (b)描述以P为函数的Q的允许值，展示作为Q(p)的法定窗口两个区域间的重复部分。 (c)什么是汽车的堵塞密度，何处Q=0？ (d)讨论连续和粒子方法对于交通流量建模的相对效用，特别考虑在波士顿多车道高速公 路上驾驶者伴随的不愉快以及尊重法规的各种程度。（好的，我们可以忽略此部分。） 1.单程双线道路上汽车法定流量：解答 (a)对于Ll,我们有Q=pu以及u≤c,于是Q表达式为： Q≤pc 对于L2,我们同样有Q=pu。这次，d2tu→u≤d/π，于是替换d的表达式为： 共 Q=pu≤'。 (b)Q(p)法定窗口如： 插入描述三角形的顶点(0,0)，(1/(xc+L),c/(tc+L)),(1/L,0)。 (c)L1在p=0有Q=0,很明显很有堵塞。L2当p=1/儿时有Q=0,即为堵塞密度：一辆 车每距离L,于是两辆车间距离为0。 (d)(此处插入随笔) 1
1.单程双线道路上汽车法定流量 课堂上，我们讨论了连续交通流的问题，以汽车密度𝜌𝜌(汽车数量每单位长度)和流量 Q(汽车通 过单元点每单位时间)，其中 Q＝𝜌𝜌𝜌𝜌，u 为车速。守恒方程为： ∂𝜌𝜌 ∂𝑡𝑡 + ∂𝑄𝑄 ∂𝑥𝑥 = 0 在这里，使用以下两个交通定律你会将法定流量 Q 派生出一个 ρ 的函数： L1 法定速度限定为 c 于是有 u≤c。 L2 最小法定车距 d= 1 ρ − 𝐿𝐿（L 为单量车长度）与速度成正比例关系，d≥ 𝜏𝜏𝜏𝜏，其中𝜏𝜏为常量， 速度分离单元（米每小时）的法定需要英尺测量得到。 问题任务： （a） 写出对于每种定律函数𝜌𝜌关于 Q 的表达式。 （b） 描述以ρ为函数的 Q 的允许值，展示作为 Q（𝜌𝜌）的法定窗口两个区域间的重复部分。 （c） 什么是汽车的堵塞密度，何处 Q＝0？ （d） 讨论连续和粒子方法对于交通流量建模的相对效用，特别考虑在波士顿多车道高速公 路上驾驶者伴随的不愉快以及尊重法规的各种程度。（好的，我们可以忽略此部分。） 1.单程双线道路上汽车法定流量：解答 （a） 对于 L1，我们有 Q＝𝜌𝜌𝜌𝜌以及 u≤c，于是 Q 表达式为： Q≤ 𝜌𝜌c 对于 L2，我们同样有 Q＝𝜌𝜌𝜌𝜌。这次，d≥ 𝜏𝜏𝜏𝜏 ⇒u≤ 𝑑𝑑/𝜏𝜏，于是替换 d 的表达式为： u≤ 1 𝜌𝜌−𝐿𝐿 𝜏𝜏 ， Q＝𝜌𝜌𝜌𝜌 ≤ 1−𝐿𝐿𝜌𝜌 𝜏𝜏 。 （b）Q（𝜌𝜌）法定窗口如： 插入描述三角形的顶点（0,0），（1/(𝜏𝜏𝑐𝑐 + 𝐿𝐿),c/(𝜏𝜏𝜏𝜏 + 𝐿𝐿)），（1/L,0）。 （c）L1 在𝜌𝜌＝0有 Q＝0，很明显很有堵塞。L2 当𝜌𝜌＝1/𝐿𝐿时有 Q＝0，即为堵塞密度：一辆 车每距离 L，于是两辆车间距离为 0。 （d）（此处插入随笔） 1