MIT开放式课件 http:/ocw.mit.ed▣ 18.02多变量微积分 2007年秋 关于引用这些资料的信息或使用条款，请参阅：htp:ocw.mit.cdu/terms
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18.02习题8 07年11月1日，星期四，下午12：45前应交 练习A(12分) 只交划线部分习题：其它的供更多练习用. 第21讲10月25日，星期四向量场与平面上的线积分 阅读：注释V1;15.21023-1028 作业：4A/1bd,2abc,3abcd,4;4B/1abcd,2ab 第22讲10月26日，星期五路径无关性与保守场 阅读：15.3到1033页 作业：4C/1,2,3 第23讲10月30日，星期二梯度场与势函数 阅读：注释V2(并参考15.3) 作业：4C/5a(用V2的第一种方法)，5b(用第二种方法)，6ab(用两种方法). 练习B(15分) 说明：尝试自己解决每一题的每一部分.若与他人合作，解答必须独立地写，查 阅上学期资料是不允许的.每个题目都有应做完的日期， 写下你请教或与之商议的人的姓名及所用资源. 1(星期四，3分) 考虑向量场F=(xy+与y),并令C是y=fw图形上从G,fx》到 (x2,f(x》的一段（设x0的梯度场（注：此公 式在x=0时无意义). b)设C是右半平面x>0内连接A(x,片，B(x2,y2)的光滑曲线.将∫F.d矿用A,B
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的极坐标(5,8)，(2,82)表示 c)用定义直接计算线积分F.与F.,其中C是单位圆从(，o)到 (-1,0)的上半部分. )(星期二)证明户的旋度在平面上任一有定义的点为零（不仅在右半平面 x>0). e)(星期二)利用a)-d)的结果判断，户在其定义域内是保守（路径无关）的吗？ 在右半平面x>0内保守吗？证明你的结果 注：事实上，户=7日处处成立，但极角不是单值可微函数（如果试一下，你会发 现只有加上2π的倍数后才可以).这就是在)和b)部分只考虑右半平面的原因. 任何其它使日能以连续方式明确定义的区域也同样合适. 3(星期二，4分：2+2) )计算疗=r(xi+)的旋度（其中r=√x2+y2,从求，5的表示开始）. b)有可能的话，求势函数g使F=Vg(提示：求具形式g=g)的势函数，其中 r=√x2+y2,注意对某个负的n公式可能不成立)
²³´ ❛♣❛ PrP ❜④❝❃❞☎❝✗❜⑤❝⑥❞ ⑦ ⑦ θ θ ÌÍA Z4ÎÅÏÈÐÑ7 ⑨⑧ ⑩✶❶✞❷ ⋅ ❸ ❹ ❹ F ⑨❺ ⑩❏❶✞❷ ⋅ ❸ ❹ ❹ % 4 A Ú4 3&'g4ÛY4 QX4ÜÝÞß% ⑩ ❹ ¾ Æbcàá «uÜÝA L,âãI% ❽ = ∇θ ❾ ääå %æ²½Óªç kl3èÝwo)%éê ë5ìI ❿π ílîïçð4 Añ¾Y4òW48 5n ¿ÀGHóôA Öõ<= θ öðÇ÷quøÎů°ùúûüA &'g% - , +¼+ Y4ÐÑ ➀ ➀ ➄ ➅➇➆➉➈s➊✗➋ ➃ ➁ ➂ = + ➌ Õi3<Ò ➍ ➍ ➎ ➏ ➐ = + %¤ý ➒➔➓ ➑ ➎→➎ ÌÍþ4 A W4çö%ýjkl ➣ ↔ = ∇➣ ➌ 3Í,ý£ ➁↕➂ ➣ = ➣➛➙ jkl%<Ò ➙ = ➜➍ + ➝➍ %LÄ ➞ Âçöå 4 A