第一章线性规划与单纯形法 ·§6线性规划应用举例 由于线性规划的理论与计算方法比较成熟，所以，对具体问题， 只要能建立起线性规划模型，计算是不成问题的，重要的是建立模 型。根据实际问题建立线性规划数学模型是本章的重点内容之一。 建立线性规划模型，一般要经过以下三个步骤： 1.设变量：每一个实际问题往往都归结为求一个最佳方案，为 了寻找最优方案，首先需要设定一组决策变量，用以表示待求方案。 2.列条件：每一个实际问题在解决时都要受到一定条件的制约， 因此，模型中要把各种制约因素用决策变量的线性等式或不等式表 示出来。 3.定目标：就是把所要达到的最优目标用决策变量的线性函数 求极值表示出来。 下面通过几个实例来说明建立线性规划模型的步骤和技巧
第一章 线性规划与单纯形法 •§6 线性规划应用举例 由于线性规划的理论与计算方法比较成熟，所以，对具体问题， 只要能建立起线性规划模型，计算是不成问题的，重要的是建立模 型。根据实际问题建立线性规划数学模型是本章的重点内容之一。 建立线性规划模型，一般要经过以下三个步骤： 1.设变量：每一个实际问题往往都归结为求一个最佳方案，为 了寻找最优方案，首先需要设定一组决策变量，用以表示待求方案。 2.列条件：每一个实际问题在解决时都要受到一定条件的制约， 因此，模型中要把各种制约因素用决策变量的线性等式或不等式表 示出来。 3.定目标：就是把所要达到的最优目标用决策变量的线性函数 求极值表示出来。 下面通过几个实例来说明建立线性规划模型的步骤和技巧
例10某工厂生产A、B两种产品，均需经过两道工序，每生产 一吨产品A需要经过第一道工序2小时，第二道工序3小时，每生 产一吨产品B需要经过第一道工序3小时，第二道工序4小时，可 供利用的第一道工序工时为12小时，第二道工序工时为24小时。 生产产品B的同时产出副产品C,每生产一吨产品B,可同时得 到2吨产品C而毋需外加任何费用。这副产品C一部分可以盈利，剩 下的只能报废。 出售产品A每吨能盈利400元、产品B每吨能盈利1000元，每销 售一吨副产品C能盈利300元，而剩余要报废的则每吨损失为200元。 经市场预测，在计划期内产品C最大销量为5吨。试列出本问题的线 性规划模型，决定A、B两种产品的产量，使工厂总的盈利为最大。 解：我们这样来设置决策变量： X1(吨)一产品A的产量； 2(吨)一产品B的产量： X3(吨)一产品C的销售量； X(吨)一产品C的报废量：
例10 某工厂生产A、B两种产品，均需经过两道工序，每生产 一吨产品Ａ需要经过第一道工序２小时，第二道工序３小时，每生 产一吨产品Ｂ需要经过第一道工序３小时，第二道工序４小时，可 供利用的第一道工序工时为12小时，第二道工序工时为24小时。 生产产品B的同时产出副产品C，每生产一吨产品B，可同时得 到2吨产品C而毋需外加任何费用。这副产品C一部分可以盈利，剩 下的只能报废。 出售产品A每吨能盈利400元、产品B每吨能盈利1000元，每销 售一吨副产品C能盈利300元，而剩余要报废的则每吨损失为200元。 经市场预测，在计划期内产品C最大销量为5吨。试列出本问题的线 性规划模型，决定A、B两种产品的产量，使工厂总的盈利为最大。 解：我们这样来设置决策变量： x1（吨）—产品A的产量； x2（吨）—产品B的产量； x3（吨）—产品C的销售量； x4（吨）—产品C的报废量；
例11（下料问题）某厂接受了一批加工订货，须加工100套钢 架，每套由长2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一根组成。而现在仅有 一批7.4米的棒料毛坯，问应如何下料，可使所用的棒料根数最少？ 解 本例的各种截料方案如下表所示： 下料 方案 根数 2 3 4 5 6 7 8 长度 2.9(米) 1 2 0 0 0 0 2.1(米) 0 2 2 3 1.5(米) 3 2 0 3 1 0 4 合计 7.47.3 7.2 7.16.6 6.5 6.3 6 料头 00.10.20.30.80.91.11.4 设按第种截料方案下料的棒料毛坯根数为X,=1,2,,8
例11（下料问题）某厂接受了一批加工订货，须加工100套钢 架，每套由长2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一根组成。而现在仅有 一批7.4米的棒料毛坯，问应如何下料，可使所用的棒料根数最少？ 解 本例的各种截料方案如下表所示： 下 料 方 案 根 数 长 度 1 2 3 4 5 6 7 8 2.9（米） 1 2 0 1 0 1 0 0 2.1（米） 0 0 2 2 1 1 3 0 1.5（米） 3 1 2 0 3 1 0 4 合 计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 6.5 6.3 6 料 头 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1 1.4 设按第i种截料方案下料的棒料毛坯根数为xi ,i=1,2, …,8
例12根据四种食物所含维生素A、B、C的成分及食物的市场 价格调查，按照医生提出的对每个人每天所需的营养要求，可得下 面的表格： (表中营养含量为每公斤含量) 营养 食物种类 含量 甲 乙 丙 丁 最 低 营养成分 要量 维生素A(国际单位) 1000 1500 1750 3250 4000 维生素B (毫克) 0.6 0.27 0.68 0.3 维生素C (毫克) 17.5 7.5 0 30 30 单 价 (元/kg) 0.8 0.5 0.9 1.5 问怎样采购食物才能在保证营养要求的前提下花费最省？ 解：设每天采购甲、乙、丙、丁四种食物分别为x1,X2,X3,飞4(kg)
例12 根据四种食物所含维生素A、B、C的成分及食物的市场 价格调查，按照医生提出的对每个人每天所需的营养要求，可得下 面的表格：（表中营养含量为每公斤含量） 营养 食物种类 含量 营养成分 甲 乙 丙 丁 每 天 最 低 需要量 维生素A（国际单位） 1000 1500 1750 3250 4000 维生素B （毫克） 0.6 0.27 0.68 0.3 1 维生素C （毫克） 17.5 7.5 0 30 30 单 价 （元/kg） 0.8 0.5 0.9 1.5 问怎样采购食物才能在保证营养要求的前提下花费最省？ 解：设每天采购甲、乙、丙、丁四种食物分别为x1 , x2 , x3 , x4（kg)
例13（投资问题）某部门在今后五年内考虑给下列颜目投资， 已知：项目A,从第一年到第四年初需要投资，并于次年泰回收本 利115%；项目B,第三年初需要投资，到第五年末能@梦利125% 但规定最大投资额不超过4万元：项目C,第二年初需要资，到第 五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3就；顶 五年内每年初都可投资，于当年末归还，并加利息6%翻 该部门现有资金10万元，问应如何确定这些项目的投资，衡到 第五年末拥有资金本利总额最大？ 解 这是个连续投资问题，按投资的时间要求，设各年初投 资额如亦表所示： 年份 二三 四五 X X3 X6 Xo X1 X X X5 X8 X10X11
例13 （投资问题） 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资， 已知：项目A，从第一年到第四年初需要投资，并于次年末回收本 利115%；项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%， 但规定最大投资额不超过4万元；项目C，第二年初需要投资，到第 五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；项目D， 五年内每年初都可投资，于当年末归还，并加利息6%. 该部门现有资金10万元，问应如何确定这些项目的投资，使到 第五年末拥有资金本利总额最大？ 解： 这是个连续投资问题，按投资的时间要求，设各年初投 资额如下表所示： 项目 年份 一 二 三 四 五 A x1 x3 x6 x9 B x7 C x4 D x2 x5 x8 x10 x11
例14某工厂有三个车间生产同一种产品。每件产铺4个零件 1和3个零件2组成。这两种零件需耗用两种原材料。已两种原 材料的供应量分别为300kg和500kg。由于三个车间拥有被备及工 艺条件不同，每个工班原材料耗用量和零件产量也同具体如不 表所示。 问三个车间应各开多少工班，才能使该产配套数达 最大2 项目 每班用料数(kg) 每班产量（件数 车间 A材料 B材料 零件1 零件2 车间 8 6 7 二车间 5 9 6 9 三车间 3 8 8 4 解设x1,x2,X分别为一、二、三叁个车间所开工班数，则 这三个森间所生产的零件1总数为7x+6x+8x,零件2总数为 5付9志 要注意的是，本例的目的不是生产各种零件的总数最 是要筋品的配套数最大。因此，目标函数应为 mamn距0x,+6x,+8x)/4,(5x+9x,+4x)/3] 这个目数不是线性函数，可以通过恰当的变换将其变为线性函 数：令y +6x+8x3)/4,(5x1+9x2+4x3)/3]
例14 某工厂有三个车间生产同一种产品。每件产品由4个零件 1和3个零件2组成。这两种零件需耗用两种原材料。已知这两种原 材料的供应量分别为300㎏和500㎏。由于三个车间拥有的设备及工 艺条件不同，每个工班原材料耗用量和零件产量也不同，具体如下 表所示。问三个车间应各开多少工班，才能使该产品的配套数达到 最大？ 项目 车间 每班用料数（㎏） 每班产量（件数） A材料 B材料 零件1 零件2 一车间 二车间 三车间 8 5 3 6 9 8 7 6 8 5 9 4 解：设x1 , x2 , x3分别为一、二、三叁个车间所开工班数，则 这三个车间所生产的零件1总数为 7x1+6x2+8x3，零件2总数为 5x1+9x2+4x3。要注意的是，本例的目的不是生产各种零件的总数最 多，而是要求产品的配套数最大。因此，目标函数应为 maxZ=min[（7x1+6x2+8x3）/4,（5x1+9x2+4x3）/3] 这个目标函数不是线性函数，可以通过恰当的变换将其变为线性函 数：令y= min[（7x1+6x2+8x3）/4,（5x1+9x2+4x3）/3]
令y=min[(7x1+6x2+8x3)/4,(5x+9x2+4x) 则此式与下面两个不等式等价： （7x,+6x+8x)/42y,(5x+9x2+4x)/32 于是，本例的线性规划模型可以列出为： maxZ-y 7x1+6X2+8x3-4y20 5x1+9x2+4x33y20 8x1+5x2+3x≤300 6x1+9x2+8x,≤500 X1X2,X3y20
令y= min[（7x1+6x2+8x3）/4,（5x1+9x2+4x3）/3] 则此式与下面两个不等式等价： （7x1+6x2+8x3）/4≥y, （5x1+9x2+4x3）/3 ≥y 于是，本例的线性规划模型可以列出为： maxZ=y 7x1+6x2+8x3 -4y≥0 5x1+9x2+4x3 -3y≥0 8x1+5x2+3x3 ≤300 6x1+9x2+8x3 ≤500 x1 ,x2 ,x3 ,y≥0
本章作业 。 P26:4(1):5(1) 。P27:8 P29:11
本 章 作 业 • P26: 4（1）;5（1） • P27: 8 • P29: 11
