§4复合系统工作可靠性问题 某种工作系统由个部件串联组成，称部件正常工作问 的概率为部件的可靠性，称整个系统正常工作的概率为系 统的可靠性。如图： 部件1 部件2 部件n 在这样的串联系统中，只要有一个部件失灵， 整个系令 统就不能正常工作。为了提高系统工作的可靠性，可以给 各部件设置备用件，并且设计备用件自动投入装置，一旦 部件损坏，则备用件自动投入运行。显然，部件的备用件 越多，部件的工作可靠性就越大，从而，整个系统的工作 可靠性也就越大。但是备用件多了，整个系统的成本、重 量、体积都相应增大。而系统所允许的总成本、总重量、 总体积往往都是有限的，因此，复合系统工作可靠性问题 主要讨论在上述限制条件下，如何选择各部件的备用件数 量，使系统的工作可靠性最大。下面我们先研究这类问题 的数学模型
§4 复合系统工作可靠性问题 某种工作系统由n个部件串联组成，称部件正常工作 的概率为部件的可靠性，称整个系统正常工作的概率为系 统的可靠性。如图： 部件1 部件2 部件n 在这样的串联系统中，只要有一个部件失灵，整个系 统就不能正常工作。为了提高系统工作的可靠性，可以给 各部件设置备用件，并且设计备用件自动投入装置，一旦 部件损坏，则备用件自动投入运行。显然，部件的备用件 越多，部件的工作可靠性就越大，从而，整个系统的工作 可靠性也就越大。但是备用件多了，整个系统的成本、重 量、体积都相应增大。而系统所允许的总成本、总重量、 总体积往往都是有限的，因此，复合系统工作可靠性问题 主要讨论在上述限制条件下，如何选择各部件的备用件数 量，使系统的工作可靠性最大。下面我们先研究这类问题 的数学模型
设部件i装有u个备用件时，它正常工作的概率为p(u) 因此整个系统正常工作的概率为： P=Ip(u) 设装部件i的一个备用件费用为c元， 要求总费用不超 过C元，则这个问题只有 一个约束条件，它的静态模型为： max P=IIp.(u) cusC 这是一个非线性规划问题。象资源分配问题一样，可 以用动态规划方法求解这类间题。不过与以前的资源分配 问题不同，本间题的总效果不是等于各阶段效果的和，而 是各阶段效果的乘积。下面构造它的动态规划模型： 以向各部件分配备用件的顺序为阶段k=1,2, 以k阶段初拥有的未分配的费用数x为状态变量；决策 变量u表示部件k拥有的元件数，则+1C 记(xk)为部件k至部件最大工作可靠性，则 人(xk)=maXp(u)人1(X+1） k=n,n-1,,2,1
设部件i 装有ui个备用件时，它正常工作的概率为pi（ui）。 因此整个系统正常工作的概率为： = ( ) = n i P pi ui 1 设装部件i 的一个备用件费用为ci元，要求总费用不超 过C元，则这个问题只有一个约束条件，它的静态模型为： ( ) cu C P p u i n i i n i i i = = = 1 1 max 这是一个非线性规划问题。象资源分配问题一样，可 以用动态规划方法求解这类问题。不过与以前的资源分配 问题不同，本问题的总效果不是等于各阶段效果的和，而 是各阶段效果的乘积。下面构造它的动态规划模型： 以向各部件分配备用件的顺序为阶段 k=1，2，…，n; 以k阶段初拥有的未分配的费用数xk为状态变量；决策 变量uk表示部件k拥有的元件数，则 xk+1=xk-ckuk 记fk（xk）为部件k至部件n最大工作可靠性，则 fk（xk）= max｛pk (uk ) ·fk+1（xk+1）｝ fn+1（xn+1）=1 k=n,n-1,…,2,1
例6某工厂设计一种电子设备，由D1,D2,D3串联组 成。已知三种元件的单价和可靠性如下表所示， 要求设计 中所使用的费用不超过105元。试问应如何设计， 可使设 备的可靠性最大？ 元件 单价ck(元） 可靠性pk D 30 0.9 D2 15 0.8 D; 20 0.5 解：按元件种类分成三个阶段，k=1,2,3;设状态 变量x表示从元件D到D3允许使用的费用；决策变量u为 部件D所使用的并联元件个数；则Xk+1=XC山k 用可靠 性作为指标，则部件的可靠性为1-(1-pk)。 记(xk)为部件D至部件D3的最大工作可靠性，则 「东（xk)=max{[1-(1-pk)u]f+1(X+1） f(x4)=1 k=3,2,1
例6 某工厂设计一种电子设备，由D1，D2，D3串联组 成。已知三种元件的单价和可靠性如下表所示，要求设计 中所使用的费用不超过105元。试问应如何设计，可使设 备的可靠性最大？ 元 件 单价 ck（元） 可靠性 pk D1 30 0.9 D2 15 0.8 D3 20 0.5 解：按元件种类分成三个阶段，k=1，2，3；设状态 变量xk表示从元件Dk到D3允许使用的费用；决策变量uk为 部件Dk所使用的并联元件个数；则 xk+1=xk-ckuk；用可靠 性作为指标，则部件的可靠性为1-（1-pk）uk 。 记fk（xk）为部件Dk至部件D3的最大工作可靠性，则 fk（xk）= max｛[1-（1-pk）uk] ·fk+1（xk+1）｝ f4（x4）=1 k=3,2,1
k=3x3={105-(30+15)}, {105-(30+15×2)} {105-(30+15×3))或(105-(30×2+15) =60,45,30 5(30)=0.5 u3(30)=1 5(45)=1-(1-0.5)2=0.75 山3(45)=2 5(60)=1-(1-0.5)3=-0.875 山(60)=3 k=2x2={105-30},{105-(30×2)}=75,45 5(45)=0.85(30)=0.8×0.5=0.4 2(45)=12 [1-(1-0.8)3]5(30) 0.992×0.5 五(75)=max1-(1-0.8)2]5(45) =max 0.96×0.75 0.85(60) 0.8×0.875 =max{0.496,0.72,0.7}=0.72 2(75)=2 k=1X1=105 f(105)=max{[1-(1-0.9)2]5(45),0.95(75)} =max{0.99×0.4,0.9×0.72} =max{0.396,0.648}=0.648 u1(105)=1 最优设计方案：D=1(个)；D2=2(个)；D,=2(个狼 最大可靠性为0.648，总费用100元
k=3 x3 =｛105-（30+15）｝，｛105-（30+15×2）｝， ｛105-（30+15×3）｝或｛105-（30×2+15）｝ =60，45，30 f3（30）=0.5 u3（30）=1 f3（45）=1-（1-0.5）2=0.75 u3（45）=2 f3（60）=1-（1-0.5）3=0.875 u3（60）=3 k=2 x2 =｛105-30｝，｛105-（30×2）｝=75,45 f2（45）=0.8·f3（30）=0.8×0.5=0.4 u2（45）=1 [1-（1-0.8）3]·f3（30） 0.992×0.5 f2（75）=max [1-（1-0.8）2]·f3（45）=max 0.96×0.75 0.8·f3（60） 0.8×0.875 =max｛0.496,0.72,0.7｝=0.72 u2（75）=2 k=1 x1=105 f1（105）=max｛[1-（1-0.9）2]·f2（45）,0.9·f2（75）} =max｛0.99×0.4,0.9×0.72｝ =max｛0.396,0.648｝=0.648 u1（105）=1 最优设计方案：D1=1（个）；D2=2（个）；D3=2（个） 最大可靠性为0.648，总费用100元