图的理论研究已经有几百年的历史，但将它广泛地应用于 工程技术和生产管理那还是近几十年的事。例如，各种通讯网 络和计算机网络的优化设计，交通网络的合理分布及大型工程 项目的计划管理都需要运用图论网络分析方法才能有效地解决。 此外，它在化学、物理学、控制论、信息论、系统工程等方面 都有很重要的应用。因此图论是运筹学一个十分重要的分支。 图论的奠基人是欧拉，他于1736年发表了图论方面的第一 篇论文，其中讨论了下述著名的七桥问题
图的理论研究已经有几百年的历史，但将它广泛地应用于 工程技术和生产管理那还是近几十年的事。例如，各种通讯网 络和计算机网络的优化设计，交通网络的合理分布及大型工程 项目的计划管理都需要运用图论网络分析方法才能有效地解决。 此外，它在化学、物理学、控制论、信息论、系统工程等方面 都有很重要的应用。因此图论是运筹学一个十分重要的分支。 图论的奠基人是欧拉，他于1736年发表了图论方面的第一 篇论文，其中讨论了下述著名的七桥问题
哥尼斯堡城中有一条河叫波雷格尔河，河中有两个岛屿， 共建有七座桥（见图7-1）。城中居民都喜欢来这里散步，并提 出这样一个问题：一个散步者能否经过每座桥一次且仅一次， 再回到原来的出发点。 B B 图7-1 图7-2 当时，很多人都探讨了这个问题，苦思不得其解。问题被 提到数学家欧拉那里，欧拉将此问题归结为如图7-2所示图形的 笔画问题，即能否从某一点开始，一笔不重复地画出这个图 形，最后回到原出发点。欧拉否定了这个可能性，原因是图中 每一个点相关联的都是奇数条线
哥尼斯堡城中有一条河叫波雷格尔河，河中有两个岛屿， 共建有七座桥（见图7-1 ）。城中居民都喜欢来这里散步，并提 出这样一个问题：一个散步者能否经过每座桥一次且仅一次， 再回到原来的出发点。 A B C D 当时，很多人都探讨了这个问题，苦思不得其解。问题被 提到数学家欧拉那里，欧拉将此问题归结为如图7-2所示图形的 一笔画问题，即能否从某一点开始，一笔不重复地画出这个图 形，最后回到原出发点。欧拉否定了这个可能性，原因是图中 每一个点相关联的都是奇数条线。 ● ● ● A ● B C D 图7-1 图7-2
在当代，随着科学技术的发展以及电子计算机的出现和) 泛应用，使图论的理论与应用得到了进一步发展。比如将庞大 的工程系统用图来描述，可以解决大型项目的计划与管理问题。 本章将介绍图与网络的基本概念和应用。 §1图与网络的基本概念 在实际生活中，人们为了反映一些对象及它们之间的关系， 常常画出各种各样的示意图。例如图7-3表示a城到g城的交通图 图中的b、c、d、e、f表示中途经由的城市，二城之间的联线表 示二城间的公路。 通常，人们用点代表研究 的对象（如城市、球队等 等)，用点之间的连线表 示两个对象之间的特定关 系（如两城之间的公路或 图7-3 两个球队之间的比赛等)
在当代，随着科学技术的发展以及电子计算机的出现和广 泛应用，使图论的理论与应用得到了进一步发展。比如将庞大 的工程系统用图来描述，可以解决大型项目的计划与管理问题。 本章将介绍图与网络的基本概念和应用。 §1 图与网络的基本概念 在实际生活中，人们为了反映一些对象及它们之间的关系， 常常画出各种各样的示意图。例如图7-3表示a城到g城的交通图， 图中的b、c、d、e、f 表示中途经由的城市，二城之间的联线表 示二城间的公路。 a b c d e f g 图7-3 通常，人们用点代表研究 的对象（如城市、球队等 等），用点之间的连线表 示两个对象之间的特定关 系（如两城之间的公路或 两个球队之间的比赛等）
般，称由一些点和一些边组成的集合为图，记作G(V,E) 其中V是点的集合，E是边的集合。图G中所含的点的个数，般起 作G)；所含的边的个数，一般记作G): 图论中的图与一般的投影图是完全不同的概念。图论中的图是 反映对象之间的关系，在一般情况下，图中点的相对位置如何，点 之间连线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不重要。 一条联结点，y,∈V的边记作e=[,y],称，y为e的端点，称e 为，？的关联边。在图中具有同一条关联边的点称为相邻点，具有 公共端点的边称为相邻边。 某个边的两个端点相同，则称该边为还（如图7-4中的e)。若 两点之间有多于一条边相关联，则称这些边为多重边（如图7-4中 的e,e2)。一个无环、无多重边的图称为简单图，一个无环、但 有多重边的图称为多重图。点v的关联边个数称为点v的次，记作 d(v)。如图7-4中d(v)=4,d(v2)=3, d()=4,d(v4)=1,d(V)=4。 e2 称次为1的点为悬挂点，悬挂点所 e 关联的边为悬挂边。图7-4中的v为悬 e 挂点，e,为悬挂边。 06 图7-4
一般，称由一些点和一些边组成的集合为图，记作G=（V，E）， 其中V是点的集合，E是边的集合。图G中所含的点的个数，一般记 作p(G)；所含的边的个数，一般记作q(G)。 图论中的图与一般的投影图是完全不同的概念。图论中的图是 反映对象之间的关系，在一般情况下，图中点的相对位置如何，点 之间连线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不重要。 一条联结点vi ,vj∈V的边记作e =[vi ,vj ]，称vi ,vj 为e 的端点，称e 为vi ,vj 的关联边。在图中具有同一条关联边的点称为相邻点，具有 公共端点的边称为相邻边。 某个边的两个端点相同，则称该边为环（如图7-4中的e8）。若 两点之间有多于一条边相关联，则称这些边为多重边（如图7-4中 的e1， e2 ）。一个无环、无多重边的图称为简单图，一个无环、但 有多重边的图称为多重图。点v 的关联边个数称为点v 的次，记作 d(v ）。如图7-4中d(v1）=4，d(v2）=3， d(v3）=4，d(v4）=1，d(v5）=4。 称次为1的点为悬挂点，悬挂点所 关联的边为悬挂边。图7-4中的v4 为悬 挂点，e7 为悬挂边。 · · · · · v1 v2 v v3 5 v4 e1 e2 e3 e4 e5 e e 7 8 e6 图7-4
定理1图G=(V,E)中，所有点的次数之和等于边数的两倍。 这是显然的，因为在计算各点的次时，每条边都被用了两次。 次为奇数的点，称为奇点；次为偶数的点，称为偶点。 定理2任一图中，奇点的个数必为偶数。 证明：设V和V2分别是图中奇点和偶点的集合，q为G中边的 个数，则 dw,=∑do,tΣdo,=2q v.EV v∈V, 因为，do,)是偶数，所以d,)也是偶数，从而中奇点个数必为 偶数个。 链：图G中，点边交错序列{)，如果满足e[,, e[2,V3],, 则称这个点边交错序列为，到的链。 圈：=饭的链称为圈。 连通图：图G中，若任何两点之间，至少有一条链，则称G为连 通图，否则称为不连通图
定理1 图G=（V，E）中，所有点的次数之和等于边数的两倍。 这是显然的，因为在计算各点的次时，每条边都被用了两次。 次为奇数的点，称为奇点；次为偶数的点，称为偶点。 定理2 任一图中，奇点的个数必为偶数。 证明：设V1和V2分别是图中奇点和偶点的集合，q 为G中边的 个数，则 因为 是偶数，所以 也是偶数，从而中奇点个数必为 偶数个。 (v ) (v ) (vi ) q v i v i v i i i d d d 2 v v1 v 2 = + = ( ) i v v i v 2 d ( ) i v v i v1 d 链：图G中，点边交错序列｛vi1ei1vi2ei2…vik ｝,如果满足ei1=[vi1，vi2]， ei2=[vi2，vi3]，…，则称这个点边交错序列为vi1 到vik 的链。 圈：vi1= vik 的链称为圈。 连通图：图G中，若任何两点之间，至少有一条链，则称G为连 通图，否则称为不连通图
子图：设有图G=(V,E1),G2=(V2,E2),如果 V1sV2,EsE2,则称G1是G,的子图。 如果V1cV2,EcE2,则称G 是G,的真子图；如果V,=V2,E∈E,则称G1是G2的部分图。例如 图7-5中，(b)是(a)的真子图， (c)是(a)的部分图。 V1 V V, 0 (a) (b) (c) 图7-5
子图：设有图G1 =（V1，E1），G2 =（V2，E2），如果 则称G1是G2的子图。如果 则称G1 是G2的真子图；如果 则称G1是G2的部分图。例如 图7-5中，（b）是（a）的真子图，（c）是（a）的部分图。 V V ,E E , 1 2 1 2 V V ,E E , 1 2 1 2 V V ,E E , 1= 2 1 2 · · · · · v1 v2 v3 v4 v5 · · · · · · · · v1 ·v1 v2 v2 v3 v4 v v4 5 v5 （a） （b） （c） 图7-5
在很多实际问题中，事物之间的联系是有方向的。例如交 通图中两点之间的单行路。我们把这种带有方向的线叫作弧， 记作a=（,y)，其中，y,分别是弧a的起点和终点。称由一些 点和弧组成的集合为有向图，记作D=(V,A),A是弧集。如 图7-6是有向图。 a a a a a a d a6 89 a10 a a12 图7-6 路：有向图D=(V,A)中，点弧交错序列{4a2.) 如果满足a,[u,v2,a2[2,, 则称这个点弧交错序列 为，到的路。 回路：=v的路称为回路。 如图7-6中{a,a,b,a4,e,a1,g}是a到g的一条路； {e,a11,g,a12,f,a1o,e}是一条回路
在很多实际问题中，事物之间的联系是有方向的。例如交 通图中两点之间的单行路。我们把这种带有方向的线叫作弧， 记作a=（ vi ,vj ），其中vi ,vj 分别是弧a的起点和终点。称由一些 点和弧组成的集合为有向图，记作D=（V，A），A是弧集。如 图7-6是有向图。 a b c d e f g 图7-6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 路：有向图D=（V，A）中，点弧交错序列｛vi1ai1vi2ai2…vik ｝, 如果满足ai1=[vi1，vi2]， ai2=[vi2，vi3]，…，则称这个点弧交错序列 为vi1 到vik 的路。 回路：vi1= vik 的路称为回路。 如图7-6中｛a,a1,b,a4,e,a11,g｝是a到g的一条路； ｛e,a11,g,a12,f,a10,e｝是一条回路