§4单服务台排队系统模型(MWMM) 本节将讨论输入为普阿松流，服务时间为负指数分布的单服务 台排队系统模型。因为这类模型都符合生灭过程，所以可以将生灭 过程的结论搬过来应用。 ◆ 下面分几种类型来讨论。 4.1M/M/1/oo/oo模型 ◆ 该模型是指顾客按普阿松流到达，到达速率为入，服务时间服 从负指数分布，服务速率为山，单个服务台，系统对顾客无限制， 顾客源也无限制，先到先服务的服务系统。其系统状态是无限的， 即=0,1,2，..。图10—4表示系统的状态转移图。 图10一4
§4 单服务台排队系统模型（M/M/1） 本节将讨论输入为普阿松流，服务时间为负指数分布的单服务 台排队系统模型。因为这类模型都符合生灭过程，所以可以将生灭 过程的结论搬过来应用。 下面分几种类型来讨论。 4.1 M/M/1/∞/∞模型 该模型是指顾客按普阿松流到达，到达速率为λ ，服务时间服 从负指数分布，服务速率为μ ，单个服务台，系统对顾客无限制， 顾客源也无限制，先到先服务的服务系统。其系统状态是无限的， 即n=0，1，2，…。图10—4表示系统的状态转移图。 0 1 2 n-1 n n+1 λ λ λ λ λ λ λ μ μ μ μ μ μ μ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 图10—4
因为对所有状态n,n=入，4n,所以 C=(Nu)=pm (n=1,2,..》 Pn=CnPo-p"Po, 1 P0= 00 C. 1=1-P ∑p 拉三0 Pn=(1-p)p" 这里p=μ<1是单位时间顾客平均到达率与平均服务率的比值，反映 了服务机构的忙碌或利用程度，称为服务强度或服务的忙期。因为 p≥时，系统内顾客数会越来越多，系统无法进入稳定状态，所以 设p<1。 下面推导服务系统的其它指标： Ls=nP=(1-pn匹(1-p)p pp -ppp n=0 三 1p2pu-元 L2n-P2R-l。（1-)L,p=l.M =1 4-元
Cn =（λ/μ）n=ρ n （n=1,2, …） Pn = CnP0=ρ nP0， P0= =1-ρ 因为对所有状态n ，λn =λ，μn =μ，所以 = = = n 0 n n 0 ρ 1 C 1 n Pn =(1-ρ)ρ n 这里ρ=λ/μ＜1是单位时间顾客平均到达率与平均服务率的比值,反映 了服务机构的忙碌或利用程度,称ρ为服务强度或服务的忙期。因为 ρ≥1时，系统内顾客数会越来越多，系统无法进入稳定状态，所以 设ρ＜1。 下面推导服务系统的其它指标： Ls= =(1-ρ) =(1-ρ)ρ = = Lq= =Ls-（1-P0）=Ls-ρ=Ls-λ/μ = n=0 nPn n=0 nρn μ λ λ − = − = − = − − • • 1 ρ ρ ρ 1 ρ ρ 1 ρ 1 ρ ρ 1 2 1- 1 dρ d − = • n 0 ρ n dρ 1 ρ ρ d n =0 ρ n dρ d = − = = = n 1 n n 1 n n 1 n-1Pn nP P − − = − μμ λ λ μ λ μλ λ 2
Wj-L:MA- u-元 W。LgA= u-入 下面再计算：顾客在系统中停留时间超过的概率是多少？假定 顾客来到系统时，系统中已有个人，则该顾客在系统中的停留时 间应该是系统对前个顾客的服务时间加上对他的服务时间。若分 别用T,T2,,Tn表示前个顾客的服务时间，Tm+1表示对该顾客 的服务时间，令Sn+1=T+T2+..+Tn+Tn+1,则Sn+/满足n+1阶爱尔朗 分布，参数为u。 可以证得其密度函数为∫(S+)=片e-: p (S)=(ted 顾客在系统中停留时间小于的概率 P (W<i)=2 ，P(S)=高p)p j暘ed u(1-p)e4 dt=∫du-jee-t1dt=l-e-a n=0 n!
Ws =Ls /λ= Wq =Lq /λ= μλ 1 − μμ −λ λ 下面再计算：顾客在系统中停留时间超过t的概率是多少？假定一个 顾客来到系统时，系统中已有n个人，则该顾客在系统中的停留时 间应该是系统对前n个顾客的服务时间加上对他的服务时间。若分 别用T1，T2，…，Tn表示前n个顾客的服务时间, Tn+1 表示对该顾客 的服务时间，令Sn+1 =T1+ T2 +…+Tn+Tn+1 ，则Sn+1满足n+1阶爱尔朗 分布，参数为μ。 可以证得其密度函数为 f（Sn+1）= P｛Sn+1 ≤t｝= 顾客在系统中停留时间小于t的概率 P｛W≤t｝= PnP｛Sn+1≤t｝= (1-ρ)ρ n ( ) n μt μt e n! μ − ( ) t − 0 n μt μt t n! μ e d n=0 n=0 ( ) t − 0 n μt μt t n! μ e d ( ) (μ-λ)t t 0 t μ t λ t 0 n μ t μ1- e t μ- e e t e n! μ t − − − = − = = = − ρ λ 1 n 0 ρ d d
即W服从参数为uA的负指数分布。 所以顾客在系统中停留时间大于的概率 P {W>t)=1-P (W<t}=e-(A) 例1某超级市场，顾客按普阿松流来到唯一的收款合。已知平 均每小时来到20人，记价收款时间服从负指数分布，平均每个顾客 需2.5分钟，试求该超级市场收款台的有关运行指标。 解：根据题意，这是MWMW1/oo/oo模型， =20/60=1/3,u=1/2.5,p=W=5/6 系统有关指标计算如下： (1)P。=1-p=1-5/6=1/6,忙期概率为1-Po=p=5/6 2)系统内顾客平均值L。= ·=1/3÷(1/2.5-1/3)=5(人) 3排队等待顾客平均值L,:M455/6-4.167(人) (4)每个顾客在系统内平均逗留时间 W。=Ls八=5÷(1/3)=15（分钟） (⑤)每个顾客在队列中平均逗留时间W。W。-1u=12.5(分钟)
即W服从参数为μ-λ的负指数分布。 所以顾客在系统中停留时间大于t的概率 P｛W＞t｝=1-P｛W≤t｝=e -（μ-λ）t 例1 某超级市场，顾客按普阿松流来到唯一的收款台。已知平 均每小时来到20人，记价收款时间服从负指数分布，平均每个顾客 需2.5分钟，试求该超级市场收款台的有关运行指标。 解：根据题意，这是M/M/1/∞/∞模型， λ＝20/60=1/3，μ＝1/2.5，ρ＝λ/μ＝5/6 系统有关指标计算如下： ⑴ P0=1-ρ=1-5/6=1/6，忙期概率为 1-P0=ρ=5/6 ⑵系统内顾客平均值 Ls= =1/3÷（1/2.5-1/3）=5（人） ⑶排队等待顾客平均值Lq =Ls-λ/μ=5-5/6=4.167 （人） ⑷每个顾客在系统内平均逗留时间 Ws =Ls /λ=5÷（1/3）=15（分钟） ⑸每个顾客在队列中平均逗留时间Wq = Ws-1/μ=12.5（分钟） μ λ λ −
4.2MWMI1/NWoo模型 在实际生活中经常会碰到队长有限制的服务系统，如医院规定 每天挂100个号，那么第100个以后到达者会自动离开服务系统：理 发店内等待的座位都满员时，后来的顾客就会离开，等等。因为队 长有限制，所以系统的状态只能取0,1,2，，这些值。系统状 态转移图如图10一5所示。 图10-5 ， 入m{0, 当n=0,1,2,N-1 当≥N 4n=u, n=1,2,.…,N _(/)n=p,对n=0,1,2,…,N C0, 对n>N 于是，P=N =1-p pm Pn=C,Po-p"Po0.1.2...N n=0
4.2 M/M/1/N/∞模型 在实际生活中经常会碰到队长有限制的服务系统，如医院规定 每天挂100个号，那么第100个以后到达者会自动离开服务系统；理 发店内等待的座位都满员时，后来的顾客就会离开，等等。因为队 长有限制，所以系统的状态只能取0，1，2，…，N这些值。系统状 态转移图如图10—5所示。 0 1 2 N-1 N μ μ μ μ μ ● ● ● ● ● ● 图10—5 λ λ λ λ λ λ， 当n=0,1,2, …,N-1 0, 当n≥N λn = μn =μ， n=1,2, …,N （λ/μ）n=ρn ， 对n=0,1,2, …,N 0 ， 对n＞N Cn = 于是，P0= ，Pn = CnP0=ρn N+1 P0，对n=0,1,2, …,N = − − = ρ ρ ρ 1 1 1 n 0 n N
由此 L= nPa= n- 1-p 1-0N+20 dpn 1-p d ∑p” 1-p 1-oN1 ed 1-o 1-p N+1dp 1-0 (N+1)pN+1 1-0 N+1 与MWMW1/oo/oo模型中的Ls比较，两个表达式第一项相同，差别 是多 了一项：(N+1pN+ 1-0N+i 由于p<1，容易看出：在队长受限制情况下，系统中顾客数一定小 于队长不受限制时系统中的顾客数；另外当N→o时，L。一 与队长不受限制时系统中的顾客平均数完全一致。因此，队长不受 限制系统可看作队长受限制系统的一种特例。 为了计算系统其它各项指标，先要引进有效输入率的概念。 因为在队长受限制的情况下，当到达的顾客数心时，新来的顾客
由此 Ls= = = N n 0 nPn ( ) − − = − = − + + + + = = ρ -ρ ρ -ρ ρ ρ ρ -ρ ρ ρ ρ -ρ ρ n 0 n n 0 n 1 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 1 1 1 1 dρ d dρ d dρ d N 1 N 1 1 N 1 1 + + − + − − = ρ ρ ρ ρ 与M/M/1/∞/∞模型中的Ls比较，两个表达式第一项相同，差别 是多了一项： N 1 N 1 1 N 1 + + − + ρ ρ 由于ρ＜1 ，容易看出：在队长受限制情况下，系统中顾客数一定小 于队长不受限制时系统中的顾客数；另外当N→∞时，Ls→ ， 与队长不受限制时系统中的顾客平均数完全一致。因此，队长不受 限制系统可看作队长受限制系统的一种特例。 为了计算系统其它各项指标，先要引进有效输入率λeff 的概念。 因为在队长受限制的情况下，当到达的顾客数n≥N时，新来的顾客 ρ ρ 1−
会自动离去。因此虽然顾客以平均为入的速率来到服务系统，但由 于WO,真正进入服务系统的顾客平均输入率却是小于的入f· Aer=XnPn=1P斤A(1-PN 0 n=0 可以验证 ef=u(1-Po） 由此可以算得：Lg=Ls(1-Po)=Ls入er/u Wg=Ls八ef Wg=Lg/Aent=Ws-1lu 例2某个单人理发店，备有六张椅子供顾客等待理发。当椅子 坐满时，后来的顾客不再进入而自动离去。已知平均每小时到达3 名顾客，每名顾客理发时间平均是15分钟。试求 (1)顾客无需等待就可理发的概率； (2)店内顾客平均数； (3)有效到达率； (④)需要等待的顾客平均数； (5)顾客在店内平均逗留时间； (6)顾客等待理发的平均时间；
会自动离去。因此虽然顾客以平均为λ的速率来到服务系统，但由 于λN=0，真正进入服务系统的顾客平均输入率却是小于λ的λeff 。 λeff = =λ（1-PN） 可以验证 λeff =μ（1-P0） = − = = N N 1 λ λ n 0 n n 0 nPn P 由此可以算得： Lq =Ls-（1-P0）=Ls-λeff /μ Ws =Ls /λeff Wq =Lq /λeff =Ws-1/μ 例2 某个单人理发店，备有六张椅子供顾客等待理发。当椅子 坐满时，后来的顾客不再进入而自动离去。已知平均每小时到达3 名顾客，每名顾客理发时间平均是15分钟。试求 ⑴顾客无需等待就可理发的概率； ⑵店内顾客平均数； ⑶有效到达率； ⑷需要等待的顾客平均数； ⑸顾客在店内平均逗留时间； ⑹顾客等待理发的平均时间；
(⑦)有百分之几的顾客因客满而自动离去。 解：这个问题可以归结为MM1/7/oo模型， =3（人/小时)，=4（人/小时），据此可以求出： (1)顾客无需等待就可理发的概率：Po 1-p 1-3/4 1-pN+1 1-3/4)8 ≈0.2778 (2)店内顾客平均数： N+10N+1 i品。 3/4 8×3/4)8 ≈2.11（人) (3)有效到达率： 1-pN+1 1-3/4 1-3/4)8 入er4(1-P)=4×(1-0.2778)≈2.89 (人/小时) (4)需要等待的顾客平均数： Lg=Ls(1-Po)≈2.11-1+0.28=1.39（人） (5)顾客在店内平均逗留时间： Wg=Ls小er=2.11÷2.89≈0.73（小时）=43.8（分） (6)顾客等待理发的平均时间： W。=W、-1/u=43.8-15=28.8(分) (7)P7=p7Po=(3/4)7X0.2778≈0.037=3.7%
⑺有百分之几的顾客因客满而自动离去。 解：这个问题可以归结为M/M/1/7/∞模型， λ=3（人/小时），μ=4（人/小时），据此可以求出： ⑴顾客无需等待就可理发的概率：P0= ≈0.2778 ⑵店内顾客平均数： Ls ≈2.11（人） ⑶有效到达率： λeff =μ（1-P0）=4×（1-0.2778）≈2.89（人/小时） ⑷需要等待的顾客平均数： Lq =Ls-（1-P0）≈2.11-1+0.28=1.39（人） ⑸顾客在店内平均逗留时间： Ws =Ls /λeff =2.11÷2.89≈0.73（小时）=43.8（分） ⑹顾客等待理发的平均时间： Wq=Ws-1/μ =43.8-15=28.8（分） ⑺ P7=ρ7P0=（3/4）7×0.2778≈0.037=3.7% 8 1 3/4 1 3/4 − − = − − ρN+1 ρ 1 1 8 8 N 1 N 1 1 3/4 8 3/4 1 3/4 3/4 1 N 1 1 − − − = − + − − = + + ρ ρ ρ ρ
4.3M/M/1/oo/m模型（顾客源有限） 现在来分析顾客源有限的排队问题。这类排队问题的主要特征 是顾客总数是有限的，如只有m个顾客。每个顾客来到系统中接受 服务后仍回到原来的总体，还有可能再来。这类问题在工业生产中 遇到的较多，最典型的例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 台机器，当机器发生故障时即停下来等待修理，修好后再投入使 用，且仍然可能再发生故障。类似的例子还有m个打字员共用一台 打字机，m个终端共用一台打印机等等。 关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考 虑的，而在有限源的情形下，必须按每一顾客来考虑。假定每个顾 客来到服务系统的时间间隔均服从参数为入的负指数分布，则表示 单个顾客的平均到达率（其含义是指单位时间内该顾客来到系统请 求服务的次数)。当顾客总数为m,而系统内有个顾客时，顾客 总的平均到达率为(-n)入，因此顾客源有限的排队模型也可以用生灭 过程的状态转移图来表示如下：
4.3 M/M/1/∞/m 模型（顾客源有限） 现在来分析顾客源有限的排队问题。这类排队问题的主要特征 是顾客总数是有限的，如只有m个顾客。每个顾客来到系统中接受 服务后仍回到原来的总体，还有可能再来。这类问题在工业生产中 遇到的较多，最典型的例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m台机器，当机器发生故障时即停下来等待修理，修好后再投入使 用，且仍然可能再发生故障。类似的例子还有m个打字员共用一台 打字机，m个终端共用一台打印机等等。 关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考 虑的，而在有限源的情形下，必须按每一顾客来考虑。假定每个顾 客来到服务系统的时间间隔均服从参数为λ的负指数分布，则λ表示 单个顾客的平均到达率（其含义是指单位时间内该顾客来到系统请 求服务的次数）。当顾客总数为m ，而系统内有n个顾客时，顾客 总的平均到达率为(m-n)λ,因此顾客源有限的排队模型也可以用生灭 过程的状态转移图来表示如下：
图10—6 m (m-0入 (m-2)M 2 ∫(m-n)M,当n=0,1,2,,m m10, 当n>m 4n=u,=1,2,,m -2-2…_（m-n+1(m-n+22…m-1八m2 C=T nun- mm-少-m-n哈n厂当n=2m Cn=0,当n>m P-CPo-n n=1,2,,m
0 1 2 m-1 m μ μ μ μ μ ● ● ● ● ● ● mλ (m-1)λ 2λ λ 图10—6 (m-n)λ，当n=0,1,2, …, m 0， 当n＞m μn =μ， n=1,2, …, m λn = Cn = ( ) , n 1,2, ,m. μ λ m n ! m! μ λ m m 1 m n 1 μ m n 1 λ m n 2 λ m 1 λ mλ n n n = − = − − + = − + − + − = 当 n n-1 1 n - 1 n - 2 0 μμ μ λ λ λ Cn =0 , 当n＞m 于是，P0= ( ) − = = = m n 0 n μ λ m n! m! 1 n 0 Cn 1 Pn = CnP0= 0 n=1,2, …, m n P μ λ m n! m! − (m-2)λ
