§3最短路问题 在实践中常遇到的一类网络问题是最短路问题。给定一个有向 赋权图D=(V,A)，对每一个弧a=(,)，相应有权o≥0，指 定D中的v,为发点，v,为终点。最短路问题就是要在所有飞，到，的路 中，求出一条总权数最小的路。这里权数可以是距离，也可以是时 间，或者是费用等等。 最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于 解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设 备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问 题
§3 最短路问题 在实践中常遇到的一类网络问题是最短路问题。给定一个有向 赋权图D=（V，A），对每一个弧a =（vi ,vj），相应有权ωij ≥0，指 定D中的vs 为发点，vt 为终点。最短路问题就是要在所有vs 到vt 的路 中，求出一条总权数最小的路。这里权数可以是距离，也可以是时 间，或者是费用等等。 最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于 解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设 备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问 题
3.1狄克斯拉(Dijkstra)算法 最短路问题可以化为线性规划问题求解，也可以用动态规划方 法求解，这里介绍一种有效算法一狄克斯拉(Dijkstra)算法，这一 算法是1959年首次被提出来的。该算法适用于每条弧的权数o,≥0 情形。算法的基本思路：从发点，出发，有一个假想的流沿网络一 切可能的方向等速前进，遇到新节点后，再继续沿一切可能的方向 继续前进，则最先到达终点，的流所走过的路径一定是最短的。为 了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予标号，表示： 到这些点的最短距离。对于假想流尚未到达的点给予T标号，表示v 到这些点的最短距离的估计值。具体作法如下： s1°标p(v,)=0,其余点标T(v)=+o; $2°由刚刚获得标号的v,点出发，改善它的相邻点v,的T标号，即 新的T(o)=min{老的T（y),p()+o} 若T(y)=p()+@,则记k(y)=(前点标记)； $3°找出具有最小T标号的点，将其标号改为p标号。若v,已获得p 标号，则已找到最短路，由k（,)反向追踪，就可找出v,到，的最 短路径，p（)就是，到：的最短距离。否则，转2°
3.1 狄克斯拉（Dijkstra）算法 最短路问题可以化为线性规划问题求解，也可以用动态规划方 法求解，这里介绍一种有效算法—狄克斯拉（Dijkstra）算法，这一 算法是1959年首次被提出来的。该算法适用于每条弧的权数ωij ≥0 情形。算法的基本思路：从发点vs 出发，有一个假想的流沿网络一 切可能的方向等速前进，遇到新节点后，再继续沿一切可能的方向 继续前进，则最先到达终点vt 的流所走过的路径一定是最短的。为 了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予p标号，表示vs 到这些点的最短距离。对于假想流尚未到达的点给予T标号，表示vs 到这些点的最短距离的估计值。具体作法如下： 1°标p（vs）=0，其余点标T（vi）=+∞; 2°由刚刚获得p标号的vi 点出发，改善它的相邻点vj 的T标号,即 新的T（vj）=min{老的T（vj），p（vi）+ ωij } 若T（vj）= p（vi）+ ωij ，则记k（vj ）=vi（前点标记）; 3°找出具有最小T标号的点，将其标号改为p标号。若vt 已获得p 标号，则已找到最短路，由k（vt）反向追踪，就可找出vs 到vt 的最 短路径，p（vt）就是vs 到vt 的最短距离。否则，转2°
例2求图7-13中v,到v的最短路。 5 图7-13 解：标p()=0,其余点标T()=+oo,i2,3,4,5,6,7,8, T(v2)=min{+oo,0+3}=3,k(v2)=v T（v,)=min{+oo,0+5}=5,k(v,）=v1 T(v4)=min{+oo,0+6}=6,k(y2)=v1 将具有最小T标号的2点的标号改为p标号：p(2)=3: T(v,)=min{5,3+1}=4,k(v3)=v T(v5)=min{+oo,3+7}=10,k(v,)=v2 T(v6)=min{+oo,3+4}=7,k(v6）=v2 目前，点v,具有最小T标号，将其标号改为p标号：p(v)=4:
例2 求图7-13中v1 到v8 的最短路。 v4 v2 3 2 6 5 v3 v5 v6 v7 v8 6 3 5 5 2 1 1 1 4 7 9 解：标p（v1）=0，其余点标T（vi）=+∞，i=2,3,4,5,6,7,8; T（v2）=min{+∞,0+3}=3, k（v2 ）=v1 T（v3）=min{+∞,0+5}=5, k（v3 ）=v1 T（v4）=min{+∞,0+6}=6, k（v2 ）=v1 将具有最小T标号的v2 点的标号改为p标号：p（v2）=3； T（v3）=min{5,3+1}=4, k（v3 ）=v2 T（v5）=min{+∞,3+7}=10, k（v5 ）=v2 T（v6）=min{+∞,3+4}=7, k（v6 ）=v2 目前，点v3 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v3）=4； v1 图7-13
p（,)=3 3大 p（,)=0 p（3)=4 6 5 5 T(v4)=min{6,4+1}=5,k(v4)=v; T(vs)=min{7,4+2}=6,k（6)=v 目前，点，具有最小T标号，将其标号改为p标号：p(v4)=5; T(6)=min{6,5+3}=6;T(v,)=min{+oo,5+5}=l0,k(,)=v4 目前，点，具有最小T标号，将其标号改为p标号：p()=6: T(v)=min{10,6+2}=8,k（v)=v6 T(v2)=min{10,6+1}=7,k(v2)=v6 T (vs)=min{+00,6+9)=15,k (vs)=v 目前，点v,具有最小T标号，将其标号改为p标号：p（,)=7: T(vg)=min{15,7+5}=l2,k(v)=v;p(vs)=8; T（)=min{12,8+6}=12,p(g)=12;反向追踪找最短路径
v4 v2 3 2 6 5 v3 v5 v6 v7 v8 6 3 5 2 1 1 1 4 v 9 1 7 p（v1）=0 p（v2）=3 p（v3）=4 T（v4）=min{6,4+1}=5, k（v4 ）=v3 T（v6）=min{7,4+2}=6, k（v6 ）=v3 目前，点v4 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v4）=5； T（v6）=min{6,5+3}=6; T（v7）=min{+∞,5+5}=10, k（v7 ）=v4 目前，点v6 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v6）=6； T（v5）=min{10,6+2}=8, k（v5 ）=v6 T（v7）=min{10,6+1}=7, k（v7 ）=v6 T（v8）=min{+∞,6+9}=15, k（v8）=v6 5 目前，点v7 具有最小T标号，将其标号改为p标号： p（v7）=7； T（v8）=min{15,7+5}=12, k（v8）=v7 ; p（v5）=8； T（v8）=min{12,8+6}=12, p（v8）=12；反向追踪找最短路径
最短路径为：V,→V2→V→6→→Vg: 因p(vg)=12,所以v→v的最短距离为12。 最短路问题不仅可以求解交通图中两点之间的最短距离，实际 中很多问题也可变为最短路问题加以求解。例如设备更新问题，厂 区合理布局问题等。兹举一例： 4例3（设备更新问题）某企业使用一台设备，在每年年底，企 业都要决策下年度是购买一台新设备呢？还是继续使用这台设备。 若购买新的，就要支付一笔购置费；如果使用旧设备，只要支付维 修费，而维修费随着设备的使用年限延长而增加。现根据以往统计 资料已经估算出设备在各年初的价格和不同使用年限的修理费用， 分别如表7-1、表7-2所示。 试确定一个五年内的设备更新计划，使五年内总支出最小。 3.2图上标示法 下面我们结合例3介绍求解最短路问题的图上标示法，它比狄克 斯拉算法更简洁
最短路径为：v1→v2→v3→v6→v7→v8 ； 因p（v8）=12，所以v1→v8 的最短距离为12。 最短路问题不仅可以求解交通图中两点之间的最短距离，实际 中很多问题也可变为最短路问题加以求解。例如设备更新问题，厂 区合理布局问题等。兹举一例： 例3（设备更新问题）某企业使用一台设备，在每年年底，企 业都要决策下年度是购买一台新设备呢？还是继续使用这台设备。 若购买新的，就要支付一笔购置费；如果使用旧设备，只要支付维 修费，而维修费随着设备的使用年限延长而增加。现根据以往统计 资料已经估算出设备在各年初的价格和不同使用年限的修理费用， 分别如表7-1、表7-2所示。 试确定一个五年内的设备更新计划，使五年内总支出最小。 3.2 图上标示法 下面我们结合例3介绍求解最短路问题的图上标示法，它比狄克 斯拉算法更简洁
表7-1 年份 一二三四五 购置费 11111212 13 表7-2 使用年限 0~11~22~33~44~5 年修理费 5 6 8 11 18 解：先根据表7-1、表7-2的数据画出设备更新费用网络图，如 图7-14所示。图中点v,表示第年开始，弧(，y,)表示设备第i年初 使用到第j年初，弧（，v)上的权数表示该期间设备所需的费用。 这样，求五年内设备最优更新方案便转化为求v,→。的最短路。 22 30 41 59 23 V216v3 17417三18 22 23 30 图7-14 41
年 份 一 二 三 四 五 购置费 11 11 12 12 13 表7-1 使用年限 0~1 1~2 2~3 3~4 4~5 年修理费 5 6 8 11 18 表7-2 解：先根据表7-1、表7-2的数据画出设备更新费用网络图，如 图7-14所示。图中点vi 表示第i 年开始，弧（vi ,vj）表示设备第i 年初 使用到第j 年初，弧（vi ,vj）上的权数表示该期间设备所需的费用。 这样，求五年内设备最优更新方案便转化为求v1→v6 的最短路。 v1 v2 v3 16 16 17 v4 17 v5 18 v6 22 30 41 59 22 30 41 23 31 23 图7-14
设d(v)表示点v到终点的最短距离，根据动态规划最优性原 理，最短路径中任何子路径也必然是最短的。因此有 d (v)=min {o;+d (v)) 注意，上式要对以，为起点的所有弧(，)进行计算。然后将计 算结果直接标在图中点v,的旁边，同时标出与点v最近的邻接点。 先从点v算起，逆向进行。对于点V:d()=18,→6 对于点v4:d(v4)=min{17+18,23}=23,v4→6： 对于点v:d(V3)=min{17+23,23+18,31}=31,y3→v6: 对于点，：d(2)=min(16+31,22+23,30+18,41}=41,2→v6; 对于点V:d(v) =min{16+41,22+31,30+23,41+18,59}=53,v,→v: 或V1→V4。 22 30 41 59 23 53 16+V2 41 163 3117V4 23 175 186 1→V3→V6 622 6 46 或 30 23 V1→V4→V6 41 21
设d（vi）表示点vi 到终点的最短距离，根据动态规划最优性原 理，最短路径中任何子路径也必然是最短的。因此有 d（vi）=min｛ωij +d（vj）｝ 注意，上式要对以vi 为起点的所有弧（vi ,vj）进行计算。然后将计 j 算结果直接标在图中点vi 的旁边，同时标出与点vi 最近的邻接点。 先从点v5 算起，逆向进行。 v1 v2 v3 16 16 17 v4 17 v5 18 v6 22 30 41 59 22 30 23 23 41 对于点v5 ：d（v5）=18，v5 →v6 ； 18 v5 →v6 对于点v4 ：d（v4）=min｛17+18,23｝=23，v4 →v6 ； 23 v4 →v6 对于点v3 ：d（v3）=min｛17+23,23+18,31｝=31，v3 →v6 ； 31 31 v3 →v6 对于点v2 ：d（v2）=min｛16+31,22+23,30+18,41｝=41，v2→v6 ； 41 v2 →v6 对于点v1 ：d（v1）=min｛16+41,22+31,30+23,41+18,59｝=53,v1→v3； 或v1 →v4。 53 v1 →v3→v6 或 v1 →v4→v6
