5.3MWM/C/ool/模型 这里顾客总体（顾客源）是有限数m,且m>C,和单服 务台情形一样，设每个顾客的平均到达率为入，【 即每个顾 客在单位时间内来到服务系统的平均次数为。该排队模 型的状态转移图如下： m入 (m-1)M (m-2)M(m-c+2)M (m-c+1)A (m-c)A 2A m 2 3u (C-1)u Cu Cu Cu 图10一10 这里 (m-n)八，当n=0,1,2,,m 0, 当n>m nu, 当n=1,2,,C Un Cu,当n=C+l,,m ml 入-入m-2…0 m"ChY,当=1,2， nln-1…1 l
5.3 M/M/C/∞/m模型 这里顾客总体(顾客源)是有限数m ，且m＞C，和单服 务台情形一样，设每个顾客的平均到达率为λ ，即每个顾 客在单位时间内来到服务系统的平均次数为λ。该排队模 型的状态转移图如下： 0 1 2 m-1 m μ 2μ λ mλ (m-1)λ C-1 C 3μ (C-1)μ Cμ ● ● ● ● ● ● ● ● Cμ Cμ 2λ Cμ (m-2)λ (m-c+2)λ (m-c+1)λ (m-c)λ 图10—10 λn = nμ，当n=1,2, …, C Cμ，当n=C+1, …,m μn = Cn = = n n-1 1 n-1 n-2 0 μμ μ λλ λ 这里 (m-n)λ，当n=0,1,2, …, m 0， 当n＞m ( ) ( ) ( ) ( ) = + + − = − , 1, 2, , . μ λ ! ! ! , 1,2, , . μ λ ! ! ! - n C C m m n CC m n C m n n m n n c n 当 当
n=1,2,,m P.-ylsc.+. 因此 Lg->(n-c)P. 有效到达率Aer=.P=兰(m-n儿PA(m-Ls) Ls-Lg+Aem/u-Lg+A(m-Ls)/u 即 Ls=(uLg+Am)/(u+) Ws=Ls小ef Wa-LqlNef 例6设有三名工人负责照管20台自动机床。当机床 需要加料、发生故障或刀具磨损时，就自动停车，等待 工人照管。设平均每台机床每小时停车一次，又设每台 机床停车时，需要工人平均照管的时间为0.1小时。以上 两项时间均服从负指数分布，试计算该系统的各项指标。 解：这里C=3,m=20,Wu=0.1,列表计算如下：
Pn= CnP0 n=1,2, …, m = + = = + m n c c 1 n n 0 P 1 Cn C 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − + − = = = + c n m n c n n n c m n CC m m n n m 0 1 μ λ - ! ! ! μ λ ! ! ! 1 因此 Lq 有效到达率 λeff = =λ(m-Ls ) Ls =Lq+λeff /μ=Lq+λ(m-Ls )/μ 即 Ls = (μLq+λm)/(μ+λ) Ws =Ls /λeff Wq =Lq /λeff 例6 设有三名工人负责照管20台自动机床。当机床 需要加料、发生故障或刀具磨损时，就自动停车，等待 工人照管。设平均每台机床每小时停车一次，又设每台 机床停车时，需要工人平均照管的时间为0.1小时。以上 两项时间均服从负指数分布，试计算该系统的各项指标。 解：这里C=3，m=20，λ/μ=0.1,列表计算如下： =( ) = m n c n-c Pn =( ) = = m m m-n n 0 n n 0 λ nPn λ P
正照管 等待照管 空闲的 机床数 机床数 工人数 (n-c)Pn nPn 0 0 3 0.13625 0 1 0 2 0.27250 0.27250 2 2 0 1 0.25888 0.51776 3 3 0 0 0.15533 0 0.46599 4 3 1 0 0.08802 0.08802 0.35208 5 3 2 0 0.04694 0.09388 0.23470 3 3 0 0.02347 0.07041 0.14082 7 3 又 0 0.01095 0.04380 0.07665 89 3 5 0 0.00475 0.02375 0.03880 3 6 0 0.00190 0.01140 0.01710 3 7 0 0.00070 0.00490 0.00700 11 3 8 0 0.00023 0.00184 0.00253 3 9 0 0.00007 0.00063 0.00084 因为n>12时，Pn<0.5×105,故忽略不计。 由上表计算的数 值可得： 系统中平均等待工人照管的机床数 Lg2n3)Pn=0.33863
n 正照管 机床数 等待照管 机床数 空闲的 工人数 Pn (n-c)Pn nPn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.13625 0.27250 0.25888 0.15533 0.08802 0.04694 0.02347 0.01095 0.00475 0.00190 0.00070 0.00023 0.00007 — — — 0 0.08802 0.09388 0.07041 0.04380 0.02375 0.01140 0.00490 0.00184 0.00063 0 0.27250 0.51776 0.46599 0.35208 0.23470 0.14082 0.07665 0.03880 0.01710 0.00700 0.00253 0.00084 因为n＞12时，Pn＜0.5×10-5 ,故忽略不计。由上表计算的数 值可得： 系统中平均等待工人照管的机床数 Lq ( ) 0.33863 20 = = n=3 n-3 Pn
停车的机床总数（包括正在照管与等待照管数） LnP=2.12677 有效到达率ef=m-Ls)=20-2.12677=17.87323 逗留时间 W、=Ls/八er-2.12677÷17.87323=0.12(小时) W。=W。-1=0.12-0.1=0.02(小时)
停车的机床总数（包括正在照管与等待照管数） Ls 有效到达率 λeff =λ(m-Ls )=20-2.12677=17.87323 逗留时间 Ws =Ls /λeff =2.12677÷17.87323=0.12（小时) Wq =Ws-1/μ=0.12-0.1=0.02（小时） 2.12677 20 = = n=0 nPn
56MWG/1排队系统 前两节讨论的模型是建立在生灭过程的基础上的，即假定到 达和服务时间均为负指数分布的情况。但假定服务时间服从负指 数分布往往与实际情况有较大出入。这里讨论M/G/1排队系统， 即输入为普阿松流，服务时间为任意分布，具有单服务台的排队 系统。 *现在假定顾客平均到达率为)，服务时间的期望值为1/，方 差为2，则可以证明：当=μ<1时，系统可以达到稳定状态， 模型的几个主要参数的表达式如下： PEdiio2 Ls 21-p) (1) Lq-LsP (2) W。LgA (3) W。=Wg+l/w (4)
§6 M/G/1排队系统 前两节讨论的模型是建立在生灭过程的基础上的，即假定到 达和服务时间均为负指数分布的情况。但假定服务时间服从负指 数分布往往与实际情况有较大出入。这里讨论M/G/1排队系统， 即输入为普阿松流，服务时间为任意分布，具有单服务台的排队 系统。 现在假定顾客平均到达率为λ，服务时间的期望值为1/μ，方 差为σ 2 ，则可以证明：当ρ=λ/μ＜1时，系统可以达到稳定状态， 模型的几个主要参数的表达式如下： P0=1-ρ， Ls （1） Lq =Ls-ρ （2） Wq =Lq /λ （3） Ws =Wq+1/μ （4） 2(1 ρ ) ρ λ σ ρ 2 2 2 − + = +
6.1普阿松输入和定长服务时间的排队系统 当一个服务机构提供固定服务项目，服务时间偏差 很小时，可以近似看作服务时间是定长分布。 定长分布2=0，代入前述公式得以下结果： Ls=P+2(1-p) 12 L,=Lgp=2-p24-) 入 W。-D2-yW,=W,+1h 在服务时间为负指数分布的情沉下，σ2=12，代入公式(1)有 从公式可以看出，顾客等待的平均时间要比定长分布的大一倍，服 务机构的效率差不多降低一倍。在平均服务时间1/一定的情况下， 从公式(1)还可以看出，Ls,Lg,Wg,W均随o的增加而增加， 即服务时间分布的偏差越大，工作指标就越差，而对每个顾客的服 务时间越接近，系统的工作指标就越好。定长分布的σ2=0，所以它 的L,和W最小
6.1 普阿松输入和定长服务时间的排队系统 当一个服务机构提供固定服务项目，服务时间偏差 很小时，可以近似看作服务时间是定长分布。 定长分布σ 2 =0，代入前述公式得以下结果： 2(1 ρ ) ρ ρ 2 − Ls = + ， Lq= Ls-ρ Wq ，Ws =Wq+ 1/μ ( ) 2μ (μ λ ) λ 2 1 ρ ρ 2 2 − = − = ( ) 2μ (μ λ ) λ 2λ 1 ρ ρ 2 − = − = 在服务时间为负指数分布的情况下，σ 2=1/μ 2 ，代入公式（1）有 Lq =Ls-ρ ，Wq ( ) ( ) (1 ρ ) ρ 2 1 ρ μ ρ λ 2 1 ρ ρ λ σ 2 2 2 2 2 2 2 − = − + = − + = ( ) μ (μ λ ) λ λ 1 ρ ρ 2 − = − = 从公式可以看出，顾客等待的平均时间要比定长分布的大一倍，服 务机构的效率差不多降低一倍。在平均服务时间1/μ一定的情况下， 从公式（1）还可以看出，Ls，Lq，Wq，Ws均随σ 2的增加而增加， 即服务时间分布的偏差越大，工作指标就越差，而对每个顾客的服 务时间越接近，系统的工作指标就越好。定长分布的σ 2 =0，所以它 的Lq和Wq最小
6.2输入为普阿松流，服务时间为爱尔朗分布的排队系统 假定T,T2,,T,是k个相互独立、具有相同分布的负 指数分布，其概率密度为： 几t)=kueu 则T=T+T2+..+T就是一个具有参数的爱尔朗分布，其概率密度为 f()= 由此，如果服务机构对顾客进行的服务不是一项，而是按顺序进行 的项工作，又假定其中每一项服务的持续时间都是具有相同分布 的负指数分布，则总的服务时间服从爱尔朗分布。 爱尔朗分布的期望和方差为：E(T)=1/4,D(T=1/k2 它有两个参数k与4，由不同的值，可以得到不同的爱尔朗分布。 当=1时，既是负指数分布，=0时，即为定长分布。 在单个服务台情况下，将σ2=1/代入前述公式(1) —(4)， 可得 2t。2p2+2 .12 21-p) -21-p)
6.2输入为普阿松流，服务时间为爱尔朗分布的排队系统 假定T1 , T2 , …, Tk ,是k个相互独立、具有相同分布的负 指数分布，其概率密度为： f(t)=kμe -kμt 则T=T1+T2+…+Tk就是一个具有参数kμ的爱尔朗分布，其概率密度为： ( ) ( ) ( ) 0 1 ! , 1 − = − − t t k kμ f t k kμ t k k e 由此，如果服务机构对顾客进行的服务不是一项，而是按顺序进行 的k项工作，又假定其中每一项服务的持续时间都是具有相同分布 的负指数分布，则总的服务时间服从爱尔朗分布。 爱尔朗分布的期望和方差为: E(T)=1/μ, D(T)= 1/kμ2 它有两个参数k与μ,由不同的k值,可以得到不同的爱尔朗分布。 当k=1时，既是负指数分布，k=∞时，即为定长分布。 在单个服务台情况下,将σ 2=1/ kμ2代入前述公式（1）—（4）, 可得: ( ) ( ) ( ) μ (μ λ ) λ k k ρ ρ k k ρ kμ λ ρ ρ ρ λ σ − + = − + = − + = − + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 Lq
w整j ,2 Ws=Wg+1/μ Ls=AWs 例7某单人裁缝店做西服，每套需经4个不同的工序，4个工序 完成后才开始做另一套。每一工序的时间服从负指数分布，期望值 为2小时，顾客到来服从普阿松分布，平均订货率为5.5套/周（设一 周6天，每天8小时)。问一顾客为等到做好一套西服期望时间有多 长？ 解：顾客到达率=5.5套/周；设为平均服务率（单位时间做完 的套数)，则1/u为平均每套所需的时间；1/4u为平均每工序所需的 时间；由题设14u=2小时，所以，u=1/8套/小时=6套/周。 设T为做好一套西服所需的时间，则 E(T=1/u=8小时；D(T)=1/u2=114×62;p=5.5/6 L。=p+Lg=5.5/6+[(5.5/6)2+(5.5)21(4×62]÷[2(1-5.5/6]=7.2188 顾客为等到做好一套西服的期望时间 Ws=L/λ=7.2188/5.5=1.3（周）
Wq μ (μ λ ) λ k k − + = 2 1 Ws =Wq+ 1/μ Ls =λWs 例7 某单人裁缝店做西服，每套需经4个不同的工序，4个工序 完成后才开始做另一套。每一工序的时间服从负指数分布，期望值 为2小时，顾客到来服从普阿松分布，平均订货率为5.5套/周（设一 周6天，每天8小时）。问一顾客为等到做好一套西服期望时间有多 长？ 解：顾客到达率λ= 5.5套/周；设μ为平均服务率（单位时间做完 的套数），则1/μ为平均每套所需的时间；1/4μ为平均每工序所需的 时间；由题设1/4μ=2小时，所以，μ=1/8套/小时=6套/周。 设T为做好一套西服所需的时间，则 E(T)=1/μ=8小时； D(T)= 1/kμ2=1/4×6 2 ；ρ =5.5/6 Ls =ρ+Lq=5.5/6+[(5.5/6)2+(5.5)2 /(4×6 2 )] ÷[2(1-5.5/6]=7.2188 顾客为等到做好一套西服的期望时间 Ws= Ls /λ=7.2188/5.5=1.3(周)
