常微分方程08春棋拟试题 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1,方程业=-少满足初值解存在且唯一的区域是. dx 2.二阶线性方程y”+2y'+y=0的基本解组是. 3.积分方程y(x)=1+2sy(s)ds的解是. 0 4.如果函数组y(x),,(x)在区间I是线性相关，那么它们的朗斯基行列式W(x)在区间I上. 5.∫(x,)有界是保证方程少=化，)初值解惟一的条件。 dx 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6.方程的求+2x+x=e'的任一解的图像是三维空间(t,x,x)中的(). (A)一个曲面(B)一条曲线(C)一族曲面(D)一族曲线 7,方程业=-少+10. dx (A)有奇解y=±1(B)有奇解y=1(C)无奇解(D)有奇解y=-1 8.方程y=y+√下的通解是(). (A)y=Cx(B)y=c√R (C)y=cx2 (D)y=ex+c 9.相平面上的一条轨线对应平面自治系统的()积分曲线. (A)无穷条(B)一条(C)二条(D)三条 10.方程y"+x2y+y=x2e的任一解的最大存在区间一定是(). (A)(-0,0)(B)(-0,+o)(C)[0,+∞)(D)[1,+∞) 三、计算题（每小题8分，共40分） n.业=0y2- dx 2 12.(x+y)dx-(x-y)dy=0 13.=上+ dx x y 14.(x3+y2+x2)dr+x2ydy=0 15.yy"-y2=y2 sinx y
1 常微分方程 08 春模拟试题 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．方程 d 2 1 d y y x = − 满足初值解存在且唯一的区域是． 2．二阶线性方程 y y y + + = 2 0 的基本解组是． 3．积分方程 0 ( ) 1 2 ( )d x y x sy s s = + 的解是． 4．如果函数组 1 2 y x y x ( ), ( ) 在区间 I 是线性相关，那么它们的朗斯基行列式 W (x) 在区间 I 上． 5． ( , ) y f x y 有界是保证方程 d ( , ) d y f x y x = 初值解惟一的条件． 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．方程的 2 et x x x + + = 的任一解的图像是三维空间 ( , , ) t x x 中的（）． （A）一个曲面（B）一条曲线（C）一族曲面（D）一族曲线 7.方程 d 2 1 1 d y y x = − + （）． （A）有奇解 y =1 （B）有奇解 y = 1 （C）无奇解（D）有奇解 y = −1 8．方程 y xy y = + 的通解是（）． （A） y cx = （B） y c x = （C） 2 y cx = （D） y cx c = + 9．相平面上的一条轨线对应平面自治系统的（）积分曲线． （A）无穷条 （B）一条（C）二条（D）三条 10．方程 2 2e x y x y xy x + + = 的任一解的最大存在区间一定是（）． （A） ( ,0) − （B） ( , ) − + （C） [0, ) + （D） [1, ) + 三、计算题（每小题 8 分，共 40 分） 11. d 1 2 ( 1) d 2 y y x = − 12. ( )d ( )d 0 x y x x y y + − − = 13. 2 d d y y x x x y = + 14． 3 2 2 2 ( )d d 0 x xy x x x y y + + + = 15． 2 2 yy y y x − = sin
四、计算题（本题共15分） dx =x+y 16. dr di =4x+y 五、证明题（本题共15分） 17.设y(x)是[0，+oo)上的连续可微函数，且满足lim(y'(x)+y(x)=0.求证limy(x)=0. 常微分方程08春棋拟试题参考解答 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1.满足|yk1的条形区域 2.e-,xe- 3.y=e 4.恒等于零 5.充分 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6.B7.C8.D9.A10.B 三、计算题（每小题8分，共40分） 11.解当y≠1时，分离变量积分得 ∫，2=j+G C. 1-Ce y+1 解得通解 1+Ce* y= 1-Ce* 12.解方程改写成 d少-r+y dx x-y 1+ dx 1- 令上=u,则y=u+x山，代入得 2
2 四、计算题（本题共 15 分） 16． d d d 4 d x x y t y x y t = + = + 五、证明题（本题共 15 分） 17．设 y x( ) 是 [0, + ) 上的连续可微函数，且满足 lim ( ( ) ( )) 0 x y x y x →+ + = ．求证 lim ( ) 0 x y x →+ = ． 常微分方程 08 春模拟试题参考解答 一、填空题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1．满足 | | 1 y 的条形区域 2． e , e x x x − − 3． 2 e x y = 4．恒等于零 5．充分 二、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 6．B7．C8．D9．A10．B 三、计算题（每小题 8 分，共 40 分） 11．解当 y 1 时，分离变量积分得 2 1 2 d d 1 y x C y = + − 1 1 ln 1 y x C y − = + + ， 1 e 1 y x C y − = + 解得通解 1 e 1 e x x C y C + = − 12．解方程改写成 d d 1 d d 1 y x y x x y y y x x y x + = − + = − 令 y u x = ，则 y u xu = + ，代入得
du_1+4-u dx 1-u 即xd-1+r dx 1-u 分离变量积分，得 i加=可n arctanu--In(+)=Inx|+C 原方程通积分为 arctan=ln√R+yF+C 13.解方程两端乘y,得 、 =-y2+x2 dx x 令广=：，则2少-止，代入得 dx dx 1 dz 1 =二z+x2 2dx x -22+2x2 dx x 齐次通解z=Cx2 令非齐次解为z=C(x)x2,代入得 C(x)=2x+C 即z=Cx2+2x3, 原方程通解为y=±VCx2+2x 14.解M=2y=aN ay 方程是全微分方程，取(x,%)=(0,0) 原方程的通积分为 ∫(x3+xy2+x2)dr=C 即2x+xy+x=C 1 4 15.解方程改写成 3
3 d 1 d 1 u u x u x u + = − − 即 2 d 1 d 1 u u x x u + = − 分离变量积分，得 = + − u x u u u d 1 d 1 1 2 1 2 arctan ln(1 ) ln | | 2 u u x C − + = + 原方程通积分为 2 2 arctan ln y x y C x = + + 13．解方程两端乘 y ，得 d 1 2 2 d y y y x x x = + 令 2 y z = ，则 d d 2 , d d y z y x x = 代入得 2 2 1 d 1 2 d d 2 2 .................................................4 d z z x x x z z x x x = + = + 分 齐次通解 2 z Cx = 令非齐次解为 2 z C x x = ( ) ，代入得 C x x C ( ) 2 = + 即 2 3 z Cx x = + 2 ， 原方程通解为 2 3 y Cx x = + 2 14．解 2 M N xy y x = = 方程是全微分方程，取 0 0 ( , ) (0,0) x y = 原方程的通积分为 3 2 2 0 ( )d x x xy x x C + + = 即 1 1 1 4 2 2 3 4 2 3 x x y x C + + = 15．解方程改写成
0y”-y2 -sinx=0 即 有1 +cosx=C ydx 积分，得通积分 Inly+sinx=Cx+C2 四、计算题（本题共15分） 16.解特征方程为 |A-元E卡 1-元1 41-2 =(2-3)(2+1)=0 特征根1=3，乙=-1 入=3对应的特征向量为 2】 入=-1对应的特征向量为 2 原方程组的通解为 e3 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 19.证明由己知条件y(x)满足方程 y'(x)+y(x)=a(x) 这里lima(x)=0 而该方程过(xo,)的任一解y(x)为 y(x)=ye+e[a(s)eds a(s)eds 于是m-您。六+m Y40 ex-to
4 2 2 sin 0 yy y x y − − = 即 cos 0 y x y + = 有 1 1 d cos d y x C y x + = 积分，得通积分 1 2 ln | | sin y x C x C + = + 四、计算题（本题共 15 分） 16．解特征方程为 1 1 | | ( 3)( 1) 0 4 1 A E − − = = − + = − 特征根 1 2 = = − 3, 1 1 = 3 对应的特征向量为 1 2 2 = −1 对应的特征向量为 1 2 − 原方程组的通解为 3 1 2 3 e e 2e 2e t t t t x C C y − − = + − 五、证明题（每小题 10 分，本题共 20 分） 19．证明由已知条件 y x( ) 满足方程 y x y x x ( ) ( ) ( ) + = 这里 lim ( ) 0 x x →+ = 而该方程过 0 0 ( , ) x y 的任一解 y x( ) 为 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) e e ( )e d x x x x x s x x y x y s s − − − − − = + 于是 0 0 0 0 0 ( )e d lim ( ) lim lim e e x s x x x x x x x x x s s y y x − →+ →+ →+ − − = +
=0+lim a(x)e e- =lim a(x)=0
5 0 0 ( )e 0 lim e x x x x x x − →+ − = +lim ( ) 0 x x →+ = =