
试卷代号:1086 座位号口口 中央广播电视大学2004一2005学年度第二学期“开放本科”期末考试 数学与应专业实变函数试题 2005年7月 题 总 分 分 数 一、单项选择题(本题共18分,每小题3分) 1.设M= 7=0 A.仅闭非开型集合 B.仅开非闭型集合 C.既开且闭型集合 D.非开非闭型集合 2.设EcR",0∈R",若对o的任何邻域N(x0,6),N(o,6)∩E≠O,则x0是E 的(). A.聚点 B.内点 C.孤立点 D.以上都不对 3.设E是[0,1]中的无理点全体组成的集合,则(). A.mE=1 B.mE=0 C.E是不可测集 D.以上都不对 4.设mE=0,∫(x)是E上任一实值函数,则f(x)是E上的(). A.连续函数 B.可测函数 C.简单函数 D.不可测函数 第1页共6页
第 1 页 共 6 页 试卷代号:1086 座位号□□ 中央广播电视大学 2004—2005 学年度第二学期“开放本科”期末考试 数学与应专业实变函数试题 2005 年 7 月 题 号 一 二 三 总 分 分 数 一、单项选择题(本题共 18 分,每小题 3 分) 1.设 M= ) 1 , 1 ( n n n − = ),则 M 是( ). A.仅闭非开型集合 B.仅开非闭型集合 C.既开且闭型集合 D.非开非闭型集合 2.设 E R n,x0∈R n,若对 x0 的任何邻域 N(x0,δ),N(x0,δ)∩E≠ ,则 x0 是 E 的( ). A.聚点 B.内点 C.孤立点 D.以上都不对 3.设 E 是[0,1]中的无理点全体组成的集合,则( ). A.mE=1 B.mE=0 C.E 是不可测集 D.以上都不对 4.设 mE=0,f(x)是 E 上任一实值函数,则 f(x)是 E 上的( ). A.连续函数 B.可测函数 C.简单函数 D.不可测函数

5.设n(x)}在E上依测度收敛于∫(x),则(). A.{fn(x)}在E上几乎处处收敛于∫(x) B.f(x)}在E上一致收敛于f(x) C.存在{(x)的子列{∫(x)}在E上几乎处处收敛于∫(x) D.f(x)在E上连续 [x2,xEPo 6.设f(x)= x3,xe0,1]NB。 ,其中Po是康托集,则[f(x)dr=(). 0,1 A.1 D. 二、填空题(本题共18分,每小题3分) 1.设4=分n=,2,…则m4= 月 2.设4=行方一小则 n 3.设∫(x)在E上可测,则f(x)在E上可积是f(x)在E上可积的 条件. 4.设mE<十∞,{f!n(x)}与f(x)分别是E上的可测函数列与可测函数,若imn(x) 刀→g0 =∫(x)a.e.于E,则f(x)}在E上 收敛于∫(x). 5.设E是开区间(0,3)中的无理点全体组成的集合,则mE= x2,x是[0,2中小于的无理数 6.设f(x)={x,x[0,2中大于的无理数,则[f(x)dr= 0,21 0,x是[0,2]中的有理数 三、计算题与证明题(本题共64分,第1小题12分,其余小题各13分) 1.设E是平面上的不可列无限集合,则可以找到以原点为中心的一个圆,它包含E中不可 列个点, 2.证明0∈E的充分必要条件是任何邻域N(x0,6),都有N(x0,6)∩E≠0. 3.证明:若m*E=0,则E为可测集。 4.设E是R上有界可测集,∫(x)是E上几乎处处有限的函数,证明∫(x)在E上是可测 第2页共6页
第 2 页 共 6 页 5.设{fn(x)}在 E 上依测度收敛于 f(x),则( ). A.{fn(x)}在 E 上几乎处处收敛于 f(x) B.{fn(x)}在 E 上一致收敛于 f(x) C.存在{fn(x)}的子列{ kn f (x)}在 E 上几乎处处收敛于 f(x) D.f(x)在 E 上连续 6.设 f(x)= 0 3 0 2 , [0,1] \ , x x P x x P ,其中 P0 是康托集,则 [0,1] f (x) dx=( ). A.1 B. 2 1 C. 3 1 D. 4 1 二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 1.设 An=[ n 1 ,1](n=1,2,…),则 n n A → lim =__________. 2.设 A={1, 2 1 , 3 1 ,…, n 1 ,…},则=__________. 3.设 f(x)在 E 上可测,则 f(x)在 E 上可积是|f(x)|在 E 上可积的__________条件. 4.设 mE<+∞,{f↓n(x)}与 f(x)分别是 E 上的可测函数列与可测函数,若 n n f → lim (x) =f(x)a.e.于 E,则{fn(x)}在 E 上__________收敛于 f(x). 5.设 E 是开区间(0,3)中的无理点全体组成的集合,则 mE=__________. 6.设 f(x)= 是 中的有理数 中大于 的无理数 是 中小于 的无理数 0, [0,2] , [0,2] 1 , [0,2] 1 2 x x x x x ,则 [0,2] f (x) dx=__________. 三、计算题与证明题(本题共 64 分,第 1 小题 12 分,其余小题各 13 分) 1.设 E 是平面上的不可列无限集合,则可以找到以原点为中心的一个圆,它包含 E 中不可 列个点. 2.证明 x0∈ E 的充分必要条件是任何邻域 N(x0,δ),都有 N(x0,δ)∩E≠ . 3.证明:若 m*E=0,则 E 为可测集. 4.设 E 是 R1 上有界可测集,f(x)是 E 上几乎处处有限的函数,证明 f(x)在 E 上是可测

函数的充分必要条件是存在R!上的连续函数列{n(x)},使得lim=fm(x)=∫(x)a.e.于 E 5.设mE<+∞,∫(x)是E上处处有限的非负可测函数,令 Em=E[n-1≤f(x)<n],n=1,2,… 证明∫(x)在E上非负可积的充要条件是级数∑n·mEn收敛. 第3页共6页
第 3 页 共 6 页 函数的充分必要条件是存在 R1 上的连续函数列{fn(x)},使得 n→ lim =fn(x)=f(x)a.e.于 E. 5.设 mE<+∞,f(x)是 E 上处处有限的非负可测函数,令 En=E[n-1≤f(x)<n],n=1,2,… 证明 f(x)在 E 上非负可积的充要条件是级数 n=1 n ·mEn 收敛.

试卷代号:1086 中央广播电视大学2004一2005学年度第二学期“开放本科”期末考试 数学与应专业实变函数试题答案及评分标准 (供参考) 2005年7月 一、单项选择题(本题共18分,每小题3分) 1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 二、填空题(本题共18分,每小题3分) 1.(0,1) 3.充分必要 4.依测度 5.3 6.11 6 三、计算题与证明题(本题共64分,第1小题12分,其余小题各13分) 1.证:用反证法.若以原点为中心的任何一个圆都包含E中至多可列个点,则令E表示以 原点为中心、以n为半径的圆,那么E∩Em(n=1,2,…)是至多可列集.从而E=U(E nEm)也是至多可列的.与题设矛盾. …12分 2.证:必要性.设0∈E,N(0,6)为和的任意邻域,由于E=EUE',所以0∈E 或和∈E'· 若和∈E,则显然有N(x0,6)∩E≠⑦. 若和∈E',则和为E的聚点,由聚点定义知,N(,6)中含有E的无穷多个点,当然 有N(xo,6)nE≠0. 第4页共6页
第 4 页 共 6 页 试卷代号:1086 中央广播电视大学 2004—2005 学年度第二学期“开放本科”期末考试 数学与应专业实变函数试题答案及评分标准 (供参考) 2005 年 7 月 一、单项选择题(本题共 18 分,每小题 3 分) 1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 1.(0,1) 2.{0,1, 2 1 , 3 1 ,…, n 1 ,…} 3.充分必要 4.依测度 5.3 6. 6 11 三、计算题与证明题(本题共 64 分,第 1 小题 12 分,其余小题各 13 分) 1.证:用反证法.若以原点为中心的任何一个圆都包含 E 中至多可列个点,则令 En 表示以 原点为中心、以 n 为半径的圆,那么 E∩En(n=1,2,…)是至多可列集.从而 E= n=1 (E ∩En)也是至多可列的.与题设矛盾. …………12 分 2.证:必要性.设 x0∈ E ,N(x0,δ)为 x0 的任意邻域,由于 E =E∪E′,所以 x0∈E 或 x0∈E′. 若 x0∈E,则显然有 N(x0,δ)∩E≠ . 若 x0∈E′,则 x0 为 E 的聚点,由聚点定义知,N(x0,δ)中含有 E 的无穷多个点,当然 有 N(x0,δ)∩E≠ .

充分性,假设对任意邻域N(xo,8),恒有N(0,6)∩E≠O,若0∈E,则∈EcE, 若x和EE,取x'∈N(0,6)∩E,则x'卡x0,于是,由定理2.1.1可知x↓0∈E'CE. …13分 3.证:对任意点集T,显然成立着 m*T≤m*(TnE)十m*(TnCE) 另一方面,因为m*E=0,而(TnE)cE.所以m*(TnE)≤m*E,于是m*(TnE)=0.又 因为T>TOCE,所以m*T≥m*(TnCE).从而 m*T2m*(TnE)+m*(TOCE) 总之,m*T=m*(TnE)十m*(TnCE).故E是可测集. …13分 4.证:必要性:假设∫(x)为可测函数,由鲁金定理,对任意自然数n,存在闭集FmcE 和R上的连续函数On(x),使得在Fn上有∫(x)=On(x),且m(BFn)0,有E[f(x)-pm(x)|≥]cFm 所以 mEW(x)-pn(x)l≥o]≤m(BFa)<L-0(no) 故pa(x)→f(x),由黎斯定理知,存在子列{p(x)},使得 mnpg(x)=f(x)a.e.于E 令f众(x)=p(x)(k=1,2,…),则有imf众(x)=f(x)a.e.于E. 充分性:设limn(x)=∫(x)a.e.于E.方(x)为R上的连续函数.因此f(x)在R F- 上皆为可测函数,从而(x)在E上也可测.由定理4.2.5知∫(x)是E上的可测函数. 13分 5.证:显然有E=UEn.由定理5.4.6有 J。/wd=2ed 又由Em的定义可知 (n-1)·mEn≤∫,fxdr≤n·mEa 第5页共6页
第 5 页 共 6 页 充分性,假设对任意邻域 N(x0,δ),恒有 N(x0,δ)∩E≠ ,若 x0∈E,则 x0∈E E , 若 x0 E,取 x′∈N(x0,δ)∩E,则 x′≠x0,于是,由定理 2.1.1 可知 x↓0∈E′ E . …………13 分 3.证:对任意点集 T,显然成立着 m*T≤m*(T∩E)+m*(T∩ E) 另一方面,因为 m*E=0,而(T∩E) E.所以 m*(T∩E)≤m*E,于是 m*(T∩E)=0.又 因为 T T∩ E,所以 m*T≥m*(T∩ E).从而 m*T≥m*(T∩E)+m*(T∩ E) 总之,m*T=m*(T∩E)+m*(T∩ E).故 E 是可测集. …………13 分 4.证:必要性:假设 f(x)为可测函数,由鲁金定理,对任意自然数 n,存在闭集 Fn E 和 R1 上的连续函数 n(x),使得在 Fn 上有 f(x)= n(x),且 m(E\Fn)< n 1 .从而 E[|f(x)- n(x)|≠0] E\Fn 于是,对任意σ>0,有 E[|f(x)- n(x)|≥σ] E\Fn 所以 mE[|f(x)- n(x)|≥σ]≤m(E\Fn)< n 1 →0(n→∞) 故 n(x) f(x),由黎斯定理知,存在子列{ k n (x)},使得 k→ lim k n (x)=f(x)a.e.于 E 令 fk(x)= k n (x)(k=1,2,…),则有 k→ lim fk(x)=f(x)a.e.于 E. 充分性:设 k→ lim fn(x)=f(x)a.e.于 E.fn(x)为 R1 上的连续函数.因此 fn(x)在 R1 上皆为可测函数,从而 fn(x)在 E 上也可测.由定理 4.2.5 知 f(x)是 E 上的可测函数. 13 分 5.证:显然有 E= n=1 En.由定理 5.4.6 有 E f (x) dx= n=1 En f (x) dx 又由 En 的定义可知 (n-1)·mEn≤ En f (x) dx≤n·mEn

交a-E2人ot交aE 三naE.E≤d2amE. 因mE<+o,所以∫fx)d<+∞的充要条件是∑n·mEn收敛. …13分 第6页共6页
第 6 页 共 6 页 n=1 (n-1)·mEn≤ n=1 En f (x) dx≤ n=1 n·mEn n=1 n·mEn-mE≤ E f (x) dx≤ n=1 n·mEn 因 mE<+∞,所以 E f (x) dx<+∞的充要条件是 n=1 n·mEn 收敛. …………13 分