试卷代号：1086 座位号口口 中央广播电视大学2004一2005学年度第二学期“开放本科”期末考试 数学与应专业实变函数试题 2005年7月 题 总 分 分 数 一、单项选择题（本题共18分，每小题3分） 1.设M= 7=0 A.仅闭非开型集合 B.仅开非闭型集合 C.既开且闭型集合 D.非开非闭型集合 2.设EcR",0∈R",若对o的任何邻域N(x0,6),N(o,6)∩E≠O,则x0是E 的(). A.聚点 B.内点 C.孤立点 D.以上都不对 3.设E是[0,1]中的无理点全体组成的集合，则(). A.mE=1 B.mE=0 C.E是不可测集 D.以上都不对 4.设mE=0,∫(x)是E上任一实值函数，则f(x)是E上的(). A.连续函数 B.可测函数 C.简单函数 D.不可测函数 第1页共6页
第 1 页 共 6 页 试卷代号：1086 座位号□□ 中央广播电视大学 2004—2005 学年度第二学期“开放本科”期末考试 数学与应专业实变函数试题 2005 年 7 月 题 号 一 二 三 总 分 分 数 一、单项选择题（本题共 18 分，每小题 3 分） 1．设 M＝ ) 1 , 1 ( n n n − = ），则 M 是（ ）． A．仅闭非开型集合 B．仅开非闭型集合 C．既开且闭型集合 D．非开非闭型集合 2．设 E R n，x0∈R n，若对 x0 的任何邻域 N（x0，δ），N（x0，δ）∩E≠ ，则 x0 是 E 的（ ）． A．聚点 B．内点 C．孤立点 D．以上都不对 3．设 E 是[0，1]中的无理点全体组成的集合，则（ ）． A．mE＝1 B．mE＝0 C．E 是不可测集 D．以上都不对 4．设 mE＝0，f（x）是 E 上任一实值函数，则 f（x）是 E 上的（ ）． A．连续函数 B．可测函数 C．简单函数 D．不可测函数
5.设n(x)}在E上依测度收敛于∫(x),则(). A.{fn(x)}在E上几乎处处收敛于∫(x) B.f(x)}在E上一致收敛于f(x) C.存在{(x)的子列{∫(x)}在E上几乎处处收敛于∫(x) D.f(x)在E上连续 [x2,xEPo 6.设f(x)= x3,xe0,1]NB。 ,其中Po是康托集，则[f(x)dr=(). 0,1 A.1 D. 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 1.设4=分n=,2,…则m4= 月 2.设4=行方一小则 n 3.设∫(x)在E上可测，则f(x)在E上可积是f(x)在E上可积的 条件. 4.设mE<十∞，{f!n(x)}与f(x)分别是E上的可测函数列与可测函数，若imn(x) 刀→g0 =∫(x)a.e.于E,则f(x)}在E上 收敛于∫(x). 5.设E是开区间(0,3)中的无理点全体组成的集合，则mE= x2,x是[0,2中小于的无理数 6.设f(x)={x,x[0,2中大于的无理数，则[f(x)dr= 0,21 0,x是[0,2]中的有理数 三、计算题与证明题（本题共64分，第1小题12分，其余小题各13分） 1.设E是平面上的不可列无限集合，则可以找到以原点为中心的一个圆，它包含E中不可 列个点， 2.证明0∈E的充分必要条件是任何邻域N(x0,6),都有N(x0,6)∩E≠0. 3.证明：若m*E=0,则E为可测集。 4.设E是R上有界可测集，∫(x)是E上几乎处处有限的函数，证明∫(x)在E上是可测 第2页共6页
第 2 页 共 6 页 5．设{fn（x）}在 E 上依测度收敛于 f（x），则（ ）． A．{fn（x）}在 E 上几乎处处收敛于 f（x） B．{fn（x）}在 E 上一致收敛于 f（x） C．存在{fn（x）}的子列{ kn f （x）}在 E 上几乎处处收敛于 f（x） D．f（x）在 E 上连续 6．设 f（x）＝ 0 3 0 2 , [0,1] \ , x x P x x P ，其中 P0 是康托集，则 [0,1] f (x) dx＝（ ）． A．1 B． 2 1 C． 3 1 D． 4 1 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 1．设 An＝[ n 1 ，1]（n＝1，2，…），则 n n A → lim ＝__________． 2．设 A＝{1， 2 1 ， 3 1 ，…， n 1 ，…}，则＝__________． 3．设 f（x）在 E 上可测，则 f（x）在 E 上可积是|f（x）|在 E 上可积的__________条件． 4．设 mE＜＋∞，{f↓n（x）}与 f（x）分别是 E 上的可测函数列与可测函数，若 n n f → lim （x） ＝f（x）a．e．于 E，则{fn（x）}在 E 上__________收敛于 f（x）． 5．设 E 是开区间（0，3）中的无理点全体组成的集合，则 mE＝__________． 6．设 f（x）＝ 是 中的有理数 中大于 的无理数 是 中小于 的无理数 0, [0,2] , [0,2] 1 , [0,2] 1 2 x x x x x ，则 [0,2] f (x) dx＝__________． 三、计算题与证明题（本题共 64 分，第 1 小题 12 分，其余小题各 13 分） 1．设 E 是平面上的不可列无限集合，则可以找到以原点为中心的一个圆，它包含 E 中不可 列个点． 2．证明 x0∈ E 的充分必要条件是任何邻域 N（x0，δ），都有 N（x0，δ）∩E≠ ． 3．证明：若 m*E＝0，则 E 为可测集． 4．设 E 是 R1 上有界可测集，f（x）是 E 上几乎处处有限的函数，证明 f（x）在 E 上是可测
函数的充分必要条件是存在R!上的连续函数列{n(x)},使得lim=fm(x)=∫(x)a.e.于 E 5.设mE<+∞，∫(x)是E上处处有限的非负可测函数，令 Em=E[n-1≤f(x)<n],n=1,2,… 证明∫(x)在E上非负可积的充要条件是级数∑n·mEn收敛. 第3页共6页
第 3 页 共 6 页 函数的充分必要条件是存在 R1 上的连续函数列{fn（x）}，使得 n→ lim ＝fn（x）＝f（x）a．e．于 E． 5．设 mE＜＋∞，f（x）是 E 上处处有限的非负可测函数，令 En＝E[n－1≤f（x）＜n]，n＝1，2，… 证明 f（x）在 E 上非负可积的充要条件是级数 n=1 n ·mEn 收敛．
试卷代号：1086 中央广播电视大学2004一2005学年度第二学期“开放本科”期末考试 数学与应专业实变函数试题答案及评分标准 (供参考) 2005年7月 一、单项选择题（本题共18分，每小题3分） 1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 1.(0,1) 3.充分必要 4.依测度 5.3 6.11 6 三、计算题与证明题（本题共64分，第1小题12分，其余小题各13分） 1.证：用反证法.若以原点为中心的任何一个圆都包含E中至多可列个点，则令E表示以 原点为中心、以n为半径的圆，那么E∩Em(n=1,2,…)是至多可列集.从而E=U(E nEm)也是至多可列的.与题设矛盾. …12分 2.证：必要性.设0∈E,N(0,6)为和的任意邻域，由于E=EUE',所以0∈E 或和∈E'· 若和∈E,则显然有N(x0,6)∩E≠⑦. 若和∈E',则和为E的聚点，由聚点定义知，N(,6)中含有E的无穷多个点，当然 有N(xo,6)nE≠0. 第4页共6页
第 4 页 共 6 页 试卷代号：1086 中央广播电视大学 2004—2005 学年度第二学期“开放本科”期末考试 数学与应专业实变函数试题答案及评分标准 （供参考） 2005 年 7 月 一、单项选择题（本题共 18 分，每小题 3 分） 1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．D 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 1．（0，1） 2．{0，1， 2 1 ， 3 1 ，…， n 1 ，…} 3．充分必要 4．依测度 5．3 6． 6 11 三、计算题与证明题（本题共 64 分，第 1 小题 12 分，其余小题各 13 分） 1．证：用反证法．若以原点为中心的任何一个圆都包含 E 中至多可列个点，则令 En 表示以 原点为中心、以 n 为半径的圆，那么 E∩En（n＝1，2，…）是至多可列集．从而 E＝ n=1 （E ∩En）也是至多可列的．与题设矛盾． …………12 分 2．证：必要性．设 x0∈ E ，N（x0，δ）为 x0 的任意邻域，由于 E ＝E∪E′，所以 x0∈E 或 x0∈E′． 若 x0∈E，则显然有 N（x0，δ）∩E≠ ． 若 x0∈E′，则 x0 为 E 的聚点，由聚点定义知，N（x0，δ）中含有 E 的无穷多个点，当然 有 N（x0，δ）∩E≠ ．
充分性，假设对任意邻域N(xo,8),恒有N(0,6)∩E≠O,若0∈E,则∈EcE, 若x和EE,取x'∈N(0,6)∩E,则x'卡x0,于是，由定理2.1.1可知x↓0∈E'CE. …13分 3.证：对任意点集T,显然成立着 m*T≤m*(TnE)十m*(TnCE) 另一方面，因为m*E=0,而(TnE)cE.所以m*(TnE)≤m*E,于是m*(TnE)=0.又 因为T>TOCE,所以m*T≥m*(TnCE).从而 m*T2m*(TnE)+m*(TOCE) 总之，m*T=m*(TnE)十m*(TnCE).故E是可测集. …13分 4.证：必要性：假设∫(x)为可测函数，由鲁金定理，对任意自然数n,存在闭集FmcE 和R上的连续函数On(x),使得在Fn上有∫(x)=On(x),且m(BFn)0,有E[f(x)-pm(x)|≥]cFm 所以 mEW(x)-pn(x)l≥o]≤m(BFa)<L-0(no) 故pa(x)→f(x),由黎斯定理知，存在子列{p(x)},使得 mnpg(x)=f(x)a.e.于E 令f众(x)=p(x)(k=1,2,…),则有imf众(x)=f(x)a.e.于E. 充分性：设limn(x)=∫(x)a.e.于E.方(x)为R上的连续函数.因此f(x)在R F- 上皆为可测函数，从而(x)在E上也可测.由定理4.2.5知∫(x)是E上的可测函数. 13分 5.证：显然有E=UEn.由定理5.4.6有 J。/wd=2ed 又由Em的定义可知 (n-1)·mEn≤∫，fxdr≤n·mEa 第5页共6页
第 5 页 共 6 页 充分性，假设对任意邻域 N（x0，δ），恒有 N（x0，δ）∩E≠ ，若 x0∈E，则 x0∈E E ， 若 x0 E，取 x′∈N（x0，δ）∩E，则 x′≠x0，于是，由定理 2．1．1 可知 x↓0∈E′ E ． …………13 分 3．证：对任意点集 T，显然成立着 m*T≤m*（T∩E）＋m*（T∩ E） 另一方面，因为 m*E＝0，而（T∩E） E．所以 m*（T∩E）≤m*E，于是 m*（T∩E）＝0．又 因为 T T∩ E，所以 m*T≥m*（T∩ E）．从而 m*T≥m*（T∩E）＋m*（T∩ E） 总之，m*T＝m*（T∩E）＋m*（T∩ E）．故 E 是可测集． …………13 分 4．证：必要性：假设 f（x）为可测函数，由鲁金定理，对任意自然数 n，存在闭集 Fn E 和 R1 上的连续函数 n（x），使得在 Fn 上有 f（x）＝ n（x），且 m（E\Fn）＜ n 1 ．从而 E[|f（x）－ n（x）|≠0] E\Fn 于是，对任意σ＞0，有 E[|f（x）－ n（x）|≥σ] E\Fn 所以 mE[|f（x）－ n（x）|≥σ]≤m（E\Fn）＜ n 1 →0（n→∞） 故 n（x） f（x），由黎斯定理知，存在子列{ k n （x）}，使得 k→ lim k n （x）＝f（x）a．e．于 E 令 fk（x）＝ k n （x）（k＝1，2，…），则有 k→ lim fk（x）＝f（x）a．e．于 E． 充分性：设 k→ lim fn（x）＝f（x）a．e．于 E．fn（x）为 R1 上的连续函数．因此 fn（x）在 R1 上皆为可测函数，从而 fn（x）在 E 上也可测．由定理 4．2．5 知 f（x）是 E 上的可测函数． 13 分 5．证：显然有 E＝ n=1 En．由定理 5．4．6 有 E f (x) dx＝ n=1 En f (x) dx 又由 En 的定义可知 （n－1）·mEn≤ En f (x) dx≤n·mEn
交a-E2人ot交aE 三naE.E≤d2amE. 因mE<+o,所以∫fx)d<+∞的充要条件是∑n·mEn收敛. …13分 第6页共6页
第 6 页 共 6 页 n=1 （n－1）·mEn≤ n=1 En f (x) dx≤ n=1 n·mEn n=1 n·mEn－mE≤ E f (x) dx≤ n=1 n·mEn 因 mE＜＋∞，所以 E f (x) dx＜＋∞的充要条件是 n=1 n·mEn 收敛． …………13 分