常见问题 在学习关系的概念及运算时，会碰到一些容易混淆的概念，试着回答下面的问题： 问题1.在任意集合A上都可以定义笛卡尔积吗？ 解答：可以.因为对任意两个集合A和B,用A中元素为第一元素，B中元素为第二元 素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合就是集合A和B的笛卡尔积.当集合B时， 笛卡尔积就记作A×A. 问题2.“任何一个集合都是一个二元关系”对吗？ 解答：不对.按照定义一个二元关系R应该是一个有序对集合，如果R不是有序对集合， 那么它就不是二元关系： 例如，R={Ka,b>,},={a,},那么R是二元关系，而&不是二元关系， 仅仅是一个集合 问题3.任意二个关系R,S都能复合吗？如果R和S能复合，那么R·S一定是非空集 合吗？ 解答：不一定.设R是从A到B的一个二元关系，S是从C到D的一个二元关系，按照 复合运算的定义，当C时，关系R与S可以复合：而当BC时，关系R与S一般不作复合 运算.当二个关系R,S能复合时，也不能肯定R·S就是非空集合.例如 设集合作{a,b,C,d,A上的二元关系{Ka,b>,},g{Kd,b,},则R·E. 在学习关系的性质与闭包运算时，会碰到一些容易混淆的概念，试着回答下面的问题： 问题1.二元关系朵{a,a>,,}具有自反性、对称性是明显的.显然不具有反自反性， R具有反对称性.判断方法有二：其一：充分必要条件：R反对称性台厂三I: 本例满足F={Ka,a>,}三I 其二：定义.本例显然满足：任意∈R且,,,有序对的二元关系，就都具有自
常见问题 在学习关系的概念及运算时，会碰到一些容易混淆的概念，试着回答下面的问题： 问题 1．在任意集合 A 上都可以定义笛卡尔积吗？ 解答：可以．因为对任意两个集合 A 和 B，用 A 中元素为第一元素，B 中元素为第二元 素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合就是集合 A 和 B 的笛卡尔积．当集合 A=B 时， 笛卡尔积就记作 A A． 问题 2．“任何一个集合都是一个二元关系”对吗？ 解答：不对．按照定义一个二元关系 R 应该是一个有序对集合，如果 R 不是有序对集合， 那么它就不是二元关系． 例如，R1={，}，R2={a,}，那么 R1 是二元关系，而 R2 不是二元关系， 仅仅是一个集合． 问题 3．任意二个关系 R，S 都能复合吗？如果 R 和 S 能复合，那么 R·S 一定是非空集 合吗？ 解答：不一定．设 R 是从 A 到 B 的一个二元关系，S 是从 C 到 D 的一个二元关系，按照 复合运算的定义，当 B=C 时，关系 R 与 S 可以复合；而当 B¹C 时，关系 R 与 S 一般不作复合 运算．当二个关系 R，S 能复合时，也不能肯定 R·S 就是非空集合．例如 设集合 A={a,b,c,d}，A 上的二元关系 R={，}，S={，}，则 R·S=Æ． 在学习关系的性质与闭包运算时，会碰到一些容易混淆的概念，试着回答下面的问题： 问题 1.二元关系 R={,}具有哪些性质？ 答：关系 R={,}具有自反性、对称性是明显的．显然不具有反自反性． R 具有反对称性．判断方法有二：其一：充分必要条件：R 反对称性 R R －1 IA． 本例满足 R R －1 ={,} IA. 其二：定义．本例显然满足：任意 R 且 R，可得 x=y． 又 R={,}是传递的，因为 R×R={,} R． 问题 2.自反性与反自反性怎么区分？ 答：自反性就是所有（第一元素与第二元素相等的有序对）都在二元关系 R 中， 当然 x 应是集合 A 的元素； 而反自反性就是所有（第一元素与第二元素相等的有序对）都不在二元关系 R 中． 如 A{a,b,c},那么只要同时含有，，有序对的二元关系，就都具有自
反性，而是否含有其它有序对无关紧要， ,〈b,b>,〈cc>有序对都没有的二元关系，就都具有反自反性的. 而有一个或两个这种有序对的二元关系既不是自反的也不是反自反的 问题3.证明“集合A上的二元关系R是传递关系的充分必要条件是R·仁”？是否要 用归纳法？ 解答：不用归纳法，证明如下 证明先证必要性，→.即已知R是传递关系，要证R·仁R 因为对任意a,c∈A,若∈∈R,则∈R·R 即∈R所以R是传递的. 在学习几个重要关系时，会碰到一些容易混淆的概念，试着回答下面的问题： 问题1如何证明集合上的等价关系或偏序关系？ 答根据它们的定义，证明是自反的、对称的（或反对称的）和传递的 例如，证明非空集合A上的二元关系R和S是等价关系，则R门S也是A上的等价关 系。 证明：①对任意x∈A,〈x,D∈R且Rn,得∈R且eS eR且eS,即∈RnS 所以，RnS有对称性. ③x,y,2∈A,因为R,S是传递的，由 ERnS且eRnS,得 eR且eS且eR且eS
反性，而是否含有其它有序对无关紧要． ，，有序对都没有的二元关系，就都具有反自反性的． 而有一个或两个这种有序对的二元关系既不是自反的也不是反自反的． 问题 3.证明“集合 A 上的二元关系 R 是传递关系的充分必要条件是 R·R R”是否要 用归纳法？ 解答：不用归纳法，证明如下． 证明先证必要性， ．即已知 R 是传递关系，要证 R·R R． 因为对任意 ，若 R·R，则存在 b A，使 R 且 R，由 R 是 传递的定义，得到 R·R，都有 ，，若 R 且 R，则 R·R R, 即 R，所以 R 是传递的． 在学习几个重要关系时，会碰到一些容易混淆的概念，试着回答下面的问题： 问题 1 如何证明集合上的等价关系或偏序关系？ 答根据它们的定义，证明是自反的、对称的(或反对称的)和传递的． 例如，证明非空集合 A 上的二元关系 R 和 S 是等价关系，则 也是 A 上的等价关 系． 证明：①对任意 x A， R 且 S，得 ，所以 有自反性； ② 因为 R，S 是对称的，由 ，得 且 且 ，即 所以， 有对称性． ③ ，因为 R，S 是传递的，由 且 ，得 且 且 且
eR且eR且∈S且∈8 ∈R且eS,即eRnS 所以，R⌒S有传递性. 由此得，R是等价关系 问题2若集合A≠0，在集合A上存在既是等价关系又是偏序关系的关系吗？ 答：有，I.请同学们按照等价关系和偏序关系的定义自己验证 问题3偏序集中最小元与极小元是不一样的.若集合二A,则B的最小元应该小 于等于B中其它各元素.B的极大元应该不大于B中其它各元素， 即它小于等于B中的一些元素，而与B中另一些元素无关系.最小元不一定存在，如果 存在，必定唯一.在非空有限集合B中， 极小元必定存在，但不一定唯一.例如哈斯图如图4所示 oe 图4 则极大元：d,e:极小元：a,e 最大元，最小元：无 问题4如何求极大（小）元、最大（小）元？ 答：求极大（小）元、最大（小）元最好方法是先作哈斯图. 需要记住：一个集合（或子集）的极大元或极小元可能有多个，而最大元或最小元可能没 有：若有，是唯一的.哈斯图中的孤立点既是极大元，也是极小元.可见只有平凡图的极大 元、极小元和最大元、最小元是相同的， 举两个例子 如哈斯图为：
且 且 且 且 ，即 所以， 有传递性． 由此得，R 是等价关系. 问题 2 若集合 A≠Ø，在集合 A 上存在既是等价关系又是偏序关系的关系吗？ 答：有，IA．请同学们按照等价关系和偏序关系的定义自己验证． 问题 3 偏序集 中一定存在最小元和极小元吗？若存在，是否唯一？ 答：偏序集 A, 中最小元与极小元是不一样的.若集合 B A，则 B 的最小元应该小 于等于 B 中其它各元素．B 的极大元应该不大于 B 中其它各元素， 即它小于等于 B 中的一些元素，而与 B 中另一些元素无关系．最小元不一定存在，如果 存在，必定唯一．在非空有限集合 B 中， 极小元必定存在，但不一定唯一．例如哈斯图如图 4 所示 图 4 则极大元：d，e；极小元：a，e； 最大元，最小元：无 问题 4 如何求极大(小)元、最大(小)元？ 答：求极大(小)元、最大(小)元最好方法是先作哈斯图． 需要记住：一个集合(或子集)的极大元或极小元可能有多个，而最大元或最小元可能没 有；若有，是唯一的．哈斯图中的孤立点既是极大元，也是极小元．可见只有平凡图的极大 元、极小元和最大元、最小元是相同的． 举两个例子. 如哈斯图为：
极大元：c,d极小元：a 最大元：无：最小元：a 又如哈斯图为： 极大元：d,e:极小元：a,e 最大元，最小元：无 若只限于讨论B={a,b,c,d的极大元极小元最大元最小元，则 极大元和最大元均为d极小元和最小元均为：a 关于界的讨论，请看教材第53页例8的哈斯图（图2.5.8） 显然A={1,2,3,4,5,6}.若B={1,2,3},那么，子集B的下界是1：最大下界也是1： B的上界和最小上界均为6. 4不是B的上界，因为3和4不可比较. 若{1,2}，则B的上界为2,4,6：最小上界是2 注意：只有在偏序集上才有极大元、极小元、最大元和最小元以及界的概念.在等价关 系的集合上有等价类的概念
极大元：c，d；极小元：a 最大元：无；最小元：a 又如哈斯图为： 极大元：d，e；极小元：a，e 最大元，最小元：无 若只限于讨论 B＝{a,b,c,d}的极大元极小元最大元最小元，则 极大元和最大元均为 d；极小元和最小元均为：a 关于界的讨论，请看教材第 53 页例 8 的哈斯图（图 2.5.8） 显然 A＝{1,2,3,4,5,6}．若 B＝{1,2,3}，那么，子集 B 的下界是 1；最大下界也是 1； B 的上界和最小上界均为 6． 4 不是 B 的上界，因为 3 和 4 不可比较． 若 B={1,2}，则 B 的上界为 2，4，6；最小上界是 2． 注意：只有在偏序集上才有极大元、极小元、最大元和最小元以及界的概念．在等价关 系的集合上有等价类的概念．