同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 FIR数字滤波器的设计方法（4/5）

Qm,设计R器的优化方法 均方误差最小准则 频率响应误差: E(eo)=haeo)-H(elo) 理想频响 实际频响 ∑h(n)em-∑h(n)em 1=-00 n=0 ∑[h(n)-h(n)em+∑h(m)em 其它

四、设计FIR滤波器的最优化方法 1、均方误差最小准则     1 0 N j n j n d n n h n e h n e                  1 0 N j n j n d d n n h n h n e h n e               其它       j j j E d e H e H e      频率响应误差： 理想频响 实际频响

均方误差 ∑h(n)-b(n)+∑() 匕n 当h(n)-b()=00≤n≤N-1时 e2=min(e 即)=t(n) 0≤n<N-1 相当于矩形窗 0 其它n 矩形窗设计结果必满足最小均方误差准贝

均方误差：       2 2 2 1 1 2 2 j j j d e E e d H e H e d                   当     0 d h n  h n  0  n  N 1时   2 2 e  min e 即     0 1 0 d h n n N h n n        其它 相当于矩形窗 ∴矩形窗设计结果必满足最小均方误差准则       1 2 2 0 N d d n n h n h n h n        其它

2、最大误差最小化准则 (加权 chebyshev等波纹逼近) 当h(m)为偶奇对称,N为奇偶数的四种情况 其频响 L Helo) H(O) h(n)为偶对称时L=0 N为奇数:H(o)=∑ aln cos(on n=0 N为偶数:()(sn- n=1

2、最大误差最小化准则 （加权chebyshev等波纹逼近） 当hn为偶/奇对称，N为奇/偶数的四种情况 其频响     1 2 2 N j j L j H e e e H          hn为偶对称时 L  0 N为奇数：       1 2 0 cos N n H  a n n     N为偶数：     2 1 1 cos 2 N n H  b n  n             

H(eo) H() h(n)为奇对称时L=1 N为奇数:H(o)=∑c(n)sin(om) N为偶数:H(o)=∑4(n) sin n 利用三角恒等式将H()表示成两项相乘形式 H(o=g(o).P(o)

N为奇数：       1 2 1 sin N n H  c n n     利用三角恒等式将H  表示成两项相乘形式 H   Q  P   hn为奇对称时 L 1     1 2 2 N j j L j H e e e H              2 1 1 sin 2 N n H  d n  n             N为偶数： 

Ho=g(o). P(o) o(o) P N为奇数1∑ ain)cos( an h()偶对称 N为偶数cos∑b( n cos an n=0 N为奇数sin∑c(n)cos(am) h(n)奇对称 N为偶数sin∑a(n)eos(om)

N为奇数 Q P N为偶数 1     1 2 0 cos N n a n n    cos 2      1 2 0 cos N n b n n    N为奇数 hn奇对称 N为偶数 sin     3 2 0 cos N n c n n    sin 2      1 2 0 cos N n d n n    hn偶对称 H   Q  P  

其中: a(n)=a(m)n=0l24 2 b(1)=b(0)+b(1) b()=[6()+6(7-1) N n=2.3 2 N N 由下而上由b(n)求b(n)

其中：             1 1 0 1 2 1 1 2,3, , 1 2 2 1 1 2 2 2 b b b N b n b n b n n N N b b                                      由下而上由 bn 求 b n      1 0,1,..., 2 N a n a n n    

c0)=60)-2(2) )=[e(n-1)-c(n+1) n=2,3…N-5 c(n)=c(n-1) N-3N-1 1 d(1)=d(0)-a(1) 1)d() N

            1 1 0 1 2 1 1 2,3, , 1 2 2 1 1 2 2 2 d d d N d n d n d n n N N d d                                     -                 1 1 0 2 2 1 5 1 1 2,3, , 2 2 1 3 1 1 , 2 2 2 c c c N c n c n c n n N N c n c n n                            

加权逼近误差函数: O E(O)=W(o)H (@)-H(o) 加权函数 逼近函数 =W(o)H()-P()Q(o H(o) W(o)o(o) Q() P() E(o)=W(0)H()-P(o 加权 chebyshev等波纹逼近: 求一组系数a(n)使各频带上E(o)的最大绝对值最小 E(o= min maxE(o 各系数 A—各通带和阻带 A

          Hd W Q P Q              加权chebyshev等波纹逼近：   min max   A E E        各系数   求一组系数 n使各频带上E的最大绝对值最小 加权逼近误差函数： 逼近函数 E W Hd   H    加权函数  W  Hd   P  Q     E   W   H d   P             A — 各通带和阻带

交错定理:若P(a)是个余弦函数的线性组合。即 P(o)=∑ a(n)cos(an A是(0.z)内的一个闭区间(包括各通带、阻带,但 不包括过渡带,(o)是A上的一个连续函数 则P()是(O)的唯一地和最佳的加权 chebysher 逼近的充分必要条件是: 加权逼近误差函数E(o)在A中至少有(+1)个极值 点,即A中至少有(+1)个点O,且 01<02<03<…<0,1<O 使得E(a)==E(n)7=12,…r 且E(a)=maxE(a)

交错定理：若P是r个余弦函数的线性组合。即       1 0 cos r n P   n n     A是 内的一个闭区间(包括各通带、阻带，但 不包括过渡带)， 是A上的一个连续函数, 0,    ˆ Hd  则 是 的唯一地和最佳的加权chebyshev 逼近的充分必要条件是： P   ˆ Hd  加权逼近误差函数 在A中至少有 个极值 点，即A中至少有 个点 ，且 E r 1 r 1 i 1 2 3  r r1 使得    1  1,2, , E i E i   i r       i max   A E E        且  

E(oh 1+6 1-0 (c 图7-22低通数字滤波器的一致逼近