同济大学：《数字信号处理（DSP）》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 IIR数字滤波器的设计方法（习题讲解）

第六章习题讲解

第六章习题讲解

用冲激响应不变法将以下H(s)变换为H(=) 抽样周期为7 1)H()=(s+a)/(s+a)+b2 解:冲激响应不变法:B()=4 TA 将H(s)部分分式分解: H()=21 H2(s) s+a (5+a)+b 2S+a+jb S+a-jb

解：冲激响应不变法： 1．用冲激响应不变法将以下 变换为 抽样周期为T。 H s a ( ) H z( ) ， （1） ( ) ( ) ( ) 2 2 H s s a s a b a = + + +     ( ) ( ) 2 2 a s a H s s a b + = + + 1 ( ) N k a k k A H s = s s = −  1 1 ( ) 1 k N k s T k TA H z e z − = = −  1 1 1 2 s a jb s a jb   = +     + + + − 将 H s a ( ) 部分分式分解：

Ha(s) 2 s+a+jb s+a-j6 经冲激响应不变法变换后得: T H(二)= 2L1-e (a+ jb)T (a-jb)7-1 T-1 e“2coS T (b7) 1-2e=-cos(b7) e

经冲激响应不变法变换后得： ( ) ( ) 1 1 2 2 1 cos 1 2 cos aT aT aT e z bT T e z bT e z − − − − − − − =  − + ( ) 1 1 1 2 H s a s a jb s a jb   = +     + + + − ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 2 1 1 a jb T a jb T T T H z e z e z − + − − − −   = +     − −

.设有一模拟滤波器H(s)=1(s2+s+1) 抽样周期T=2,试用双线性变换法将它转变 为数字系统函数H(=) 解:由变换公式s=c 1+ 及 T=2,可得 T z .H H( +2 3+ +1 1+z 1+

3．设有一模拟滤波器 抽样周期 ，试用双线性变换法将它转变 为数字系统函数 ( ) ( ) 2 1 1 H s s s a = + + T = 2 H z( ) 解：由变换公式 1 1 1 1 z s c z − − − =  + 及 2 c T = ， T = 2 ，可得 1 1 1 1 z s z − − − = + ( ) ( ) 1 1 1 1 z a s z H z H s − − − = +  = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z z z z − − − − =     − − + +         + + ( ) 2 1 2 1 3 z z − − + = +

4.要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换 导出一低通数字滤波器,已知3dB截止频率为 100Hz,系统抽样频率为1kHz。 解:归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为: H2(s) s2+√2s+1s2+1.4142136+1 则将S=92代入,得出截止频率为92(100×2z) 的模拟原型为 H +1.4142136 200丌 200丌 394784.18 s2+88858s+394784.18

4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换 导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为 100Hz，系统抽样频率为1kHz。 解：归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为： ( ) 2 2 1 1 2 1 1.4142136 1 H s a s s s s = = + + + + 则将 s s =  c 代入，得出截止频率为   c (100 2 ) 的模拟原型为 ( ) 2 1 1.4142136 1 200 200 H s a s s   =         + +     2 394784.18 s s 888.58 394784.18 = + +

H2(s) 394784.18 s2+88858s+394784.18 经双线性变换得数字滤波器的系统函数: H()=H2(s)2=17=1=10() T1 394784.18 +88858×2×10 +394784.18 1+z 1+z 0.064(1+2z+z 1-1.1683z-1+04241z

经双线性变换得数字滤波器的系统函数： ( ) ( ) 1 1 2 1 1 a z s T z H z H s − − − =  + = 2 1 1 3 3 1 1 394784.18 1 1 2 10 888.58 2 10 394784.18 1 1 z z z z − − − − =     − −   +    +         + + ( ) 1 2 1 2 0.064 1 2 1 1.1683 0.4241 z z z z − − − − + + = − + 3 1/ 1/10 ( ) T f s = = s ( ) 2 394784.18 888.58 394784.18 H s a s s = + +

5.试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设2=3/d/s 解:由幅度平方函数:H(2) +(29 则有 H2(s)H2(-s) 1+(s/92) 各极点满足下式 2k-1 e k=1,2,3,4

5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设 3 c  = rad s 解：由幅度平方函数： ( ) ( ) 2 4 1 1 c H j = +   令 2 2  = −s ，则有 ( ) ( ) ( ) 4 1 1 a a c H s H s s − = +  各极点满足下式 2 1 2 4 k j k c s e     − +     =  k =1 2 3 4

则k=1,2时,所得的s即为H(s)的板点 3√23√2 J-丌 √23√ e 由以上两个极点构成的系统函数为 H2(s) 0 S-SIS-S +3√2s+9 代入S=0时H2(s)=1,可得K。=9,所以 9 +3√2s+9

则 k =1,2 时，所得的 sk 即为 H s a ( ) 的极点 3 4 1 3 2 3 2 2 2 j c s e j  =  = − + 4 5 2 3 2 3 2 2 2 j c s e j  =  = − − 由以上两个极点构成的系统函数为 ( ) ( )( ) 0 0 2 1 2 3 2 9 a k k H s s s s s s s = = − − + + ( ) 1 代入 s = 0 时 H s a = ，可得 0 K = 9 ，所以 ( ) 2 9 3 2 9 H s a s s = + +

6.试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。 已知通带波纹为2dB,截止频率为Ω2。=2rad/s (试用不同于书本的解法解答) 解:由δ1=2dB,得 E2=1010-1=102-1=0.5848932 则E=√0.5848932=0.7647831 因为截止频率为g=2rad/s,则

6．试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。 已知通带波纹为2dB，截止频率为 （试用不同于书本的解法解答）。 2 c  = rad s 解：由  1 = 2dB ，得 1 2 0.2 10 10 1 10 1 0.5848932   = − = − = 则  = = 0.5848932 0.7647831 因为截止频率为 2 c  = rad s ，则

R=-as2 sin sh-sh SIn √2 sh-sh 0.765 0.8038 Q,=bQ. cos ch-sh Q·cos 4 4 √2 chI-sh 0.765 1.6267

1 1 1 1 sin sin 4 4 c c a sh sh N             − = −  = −                   1 1 2 1 2 2 0.765 2 sh sh   −   = −           = −0.8038 1 1 1 1 cos cos 4 4 c c b ch sh N            −  =  =                   1 1 2 1 2 2 0.765 2 ch sh   −   =           =1.6267