复旦大学：《统计热力学》课程教学资源（课件讲稿）06 统计热力学的应用

2回H厄✉ Chapter6统计热力学的应用 光子气和电子气 真实气体 液体的径向分布画数理论 园体

Chapter 6 统计热力学的应用 光子气和电子气 真实气体 液体的径向分布函数理论 固体

Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis mnovative Material §6-2光子气和电子气 l.光子气满足Bose-Einstein统计 。光子气的重要特点：总能量不变，但光子的数目 变化，因此在作统计的时候对光子数目的限制条 件就不满足了，即 ∑n,≠N ●那么在进行拉格朗日乘因子法做BE统计的时候就 少了一个限制条件，即未定系数=0，所以 8 8 n,=e“e-1es-l 振华制 2013/10/14 统计热力学第六章

李 振 华 制 2013/10/14 统计热力学第六章 2 造 §6-2 光子气和电子气 1. 光子气满足Bose-Einstein统计 光子气的重要特点：总能量不变，但光子的数目 变化，因此在作统计的时候对光子数目的限制条 件就不满足了，即 ni  N 那么在进行拉格朗日乘因子法做BE统计的时候就 少了一个限制条件，即未定系数=0，所以 1 1    i i e g e e g n i i i     

Center for Theoretical Chemical Physics ry of Molecular Catalysis innovative &,=hy, 81 8 n,=els. 1em-1 根裾de Bloglie关系 hvi 考虑到光是电磁波，有两个偏振是 Pi=- C 两个状态 8,=2dxdydzdp,dp,dp./h 与平动的简并度类似，动量在P,~P,+迎，间即y,~y,+,的量子 态数 hv Pi g:=2dv4mpdp;h g;=2dv4m dv,/c3 李振华 造

李 振 华 制 造 1 1    i hvi i i i e g e g n    i  hvi  根据de Bloglie关系， c hv c p i i i    3 gi  2dxdydzdpx dpy dpz / h 考虑到光是电磁波，有两个偏振是 两个状态 与平动的简并度类似，动量在pi ~ pi + dpi间即vi ~ vi + dvi的量子 态数 2 3 gi  2dV4pi dpi / h c hv p i i  2 3 g 2dV4 v dv / c i   i i

Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis innovative material 对 8mv'dVdv,I c3 n,dv; em咖m,-l 在领率y,~y,+,间的光子的能量为 8nvdVdv,Ic3 8hvdvdv E,dv;=(n,dv )hv;=hv ed 1 c3(em-1) 单位体积内在频率y,~y+,间的光子的能量为 E,dv 、 8hv'dv dy c3(eh,-1) Planck黑体福射公式 振华制

李 振 华 制 造 则 1 8 / 2 3   hvi i i i i e v dVdv c n dv   在频率vi ~ vi + dvi 间的光子的能量为 单位体积内在频率vi ~ vi + dvi 间的光子的能量为 ( 1) 8 1 8 / ( ) 3 2 3 3      i hvi i i hv i i v i i i i i c e hv dVdv e v dVdv c E dv n dv hv hv     ( 1) 8 3 3   i hv v i i i c e hv dv dV E dv   Planck黑体辐射公式

Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis mnovative Material 2.气体的Bose-Einstein Condensation(BEC) Einstein Bose 1924-1925 1995:Wolfgang Ketterle (MIT) 1995:Eric Cornell and Carl Wieman(University of Colorado) 2001:Nobel Prize 振华制 2013/10/14 统计热力学第六章 5

李 振 华 制 2013/10/14 统计热力学第六章 5 造 2. 气体的Bose-Einstein Condensation (BEC) 1924-1925 Einstein Bose 1995: Eric Cornell and Carl Wieman (University of Colorado) 1995: Wolfgang Ketterle (MIT) 2001: Nobel Prize

Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis mmnovative Material 87Rb:1.7×10-7K C.E.Wieman,and E.A.Cornell,Science 1995,269(5221):198-201. Na:2x10-6K W.Ketterle et al..Phys.Rev.Lett.1995, 75(22):3969 6Li2:600×10-9K W.Ketterle et al..Phys.Rev.Lett.2003, 91(25):250401. 李振华 2013/10/14 统计热力学第六章 6 造

李 振 华 制 2013/10/14 统计热力学第六章 6 造 Na: 2  10-6 K W. Ketterle et al.. Phys. Rev. Lett. 1995, 75(22): 3969. 6Li2 : 600  10-9 K W. Ketterle et al.. Phys. Rev. Lett. 2003, 91(25): 250401. 87Rb: 1.7  10-7 K C.E. Wieman, and E.A. Cornell, Science 1995, 269 (5221): 198–201

Center for Theoretical Chemical Physics oratory of Molecular Catalysis Innovative Mate 对于玻色子组成的单原子理想气体，假定原子核 自旋是S (2s+1) h dxdyd-dp dp,dp (2s+1) dn; h3 eB(o-1)1 dxdyd-dp dpdp n= dxdyd-dp dp,dp dpdp,dp 李振华制 2013/10/14 统计热力学第六章

李 振 华 制 2013/10/14 统计热力学第六章 7 造 3 (2 1) x y z s g dxdydzdp dp dp h   3 ( ) 3 ( ) (2 1) 1 1 (2 1) 1 1 x y z x y z s n dxdydzdp dp dp h e s V dp dp dp h e                 对于玻色子组成的单原子理想气体，假定原子核 自旋是s 3 ( ) (2 1) 1 1 i x y z s dn dxdydzdp dp dp h e     

Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis mnovative Material 变成球坐标： ”=r2p产sn9o =V4π 2话e-1p 6/ p=√2m8 √2m p=4n dp h 2VE P'dp=2me √2m 2E (2s+1) 1e =m322√Eds h x=阝8 p222)e 3/2 VEve- =(kgT)2xdx 制 2013/10/14 统计热力学第六章 8 造

李 振 华 制 2013/10/14 统计热力学第六章 8 造 2 3 ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) (2 1) 1 sin 1 (2 1) 1 4 1 (2 1) 1 4 1 s n V p dpd d h e s V p dp h e s p dp h e                               变成球坐标： 2 2 3/2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 p p m m m dp d m p dp m d m d               3/2 3 ( ) (2 1) 2 1 4 1 s m d h e            3/2 B 1 ( ) x x d dx k T xdx         3/2 B 2 2 1 2 (2 1) 1 x mk T s xdx h e               

Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis Innovative Material 0-22s+2 由于μ<0，积分在=0时最大 A-26xa27 312 -26+2 h2 2/3 T 2πmk2.612(2s+1) ge)↑ 要注意的是我们的推导是假定能级连续的， g(c)cVE 也就是80时，g0,因此造成基态(=0）上 没有分子。 华制 2013/10/14 统计热力学第六章 9

李 振 华 制 2013/10/14 统计热力学第六章 9 造 由于<0, 积分在=0时最大 3/2 B 2 2 1 2 (2 1) 1 x mk T s xdx h e                1 1.306 1 x xdx e     3/2 B c 2 3/2 B 2 2 2.6 (2 1) 2 2.612(2 1) mk T s h mk T s h                    2/3 2 c c B 2 2.612(2 1) h T mk s           要注意的是我们的推导是假定能级连续的， 也就是=0时，g=0，因此造成基态 (=0 ）上 没有分子。 g   g   g() 

Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of molecular Catalysis Innovative material 实际上当温度足够低的时候，大部分的分子都应该处于基态。 3/2 n=2π(2s+1)V u(n,T刀 n 放发态neD0 Tc 塞志n=0 Tc 观察到BEC的条件： 1.温度要很低，<T:受限于低温技术 2.要是dilute gas,分子间不能有轻强的吸引力，否则就变 成一般的液体或园体了 →两难：要稀薄气体，pV→T 李振华制 2013/10/14 统计热力学第六章 10

李 振 华 制 2013/10/14 统计热力学第六章 10 造 实际上当温度足够低的时候，大部分的分子都应该处于基态。 3/2 B 2 2 1 2 (2 1) 1 x mk T n s V xdx h e               T  (n,T) TC n 激发态n>0 基态n=0 TC 观察到BEC的条件： 1. 温度要很低，<Tc：受限于低温技术 2. 要是dilute gas，分子间不能有较强的吸引力，否则就变 成一般的液体或固体了 两难：要稀薄气体,   Tc