初中数学50个经典几何难题, 第一题: 已知:△ABC外接于⊙O,∠BAC=60°,AE⊥BC,CF⊥AB,AE、CF相交 于点H,点D为弧BC的中点,连接HD、AD。求证:△AHD为等腰三角形 简证:易证∠BHC=120°,∠BOC=120°,∴B、H O、C四点共圆。 DB=DO=DC,∴DH=DO=OA,又AH∥OD,∴ AHDO是菱形 ∴II=HD,△∥HD为等腰三角形 C 第二题: 如图,F为正方形ABCD边(D上一点,连接AC AF,延长AF交AC的平行线DE于点E,连接 CE,且AC=AE。求证:CE=CF E 简证:作点E关于AD对称点G,则DE⊥DG △CDG≌△ADE,△ACG是等边三角形。 ∠GAC=60°,∠DIF=15°,∠CEF=30° ∠DEF=30°,∠CFE=30 ∴△CEF是等腰三角形。CE=CF。 第1页共35页
第 1 页 共 35 页 初中数学 50 个经典几何难题
第三题: 已知:△ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,∠BDC=30°。 E 求证:AD=BC 简证:以AD为边作正三角形ADE(如图) 易知△ABC≌△CAE ∴AD=AE=BC。 第四题: 已知:△ABC中,D为AC边的中点,∠A=3∠C,∠ADB=45°。求证:AB⊥BC 简证:过D作DE⊥C交BC于E 由已知得AE=EC,∠EAD=∠C 又∠A=9∠C,∴∠BAE=∠BEA B=BE,由∠ADB=45°得∠EDB=45° E ∴A、D、E、B四点共圆,∠ABE=∠ADE= 即AB⊥BC C D 第2页共35页
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第五题: 如图,四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点E,∠BAC=50°,∠ABD=60°, ∠CBD=20°,∠CAD=30°,∠ADB=40°。求∠ACD。 解:设AD、BC交于点F,过D作DG∥AB 交BF于点G,G交BD于H则 △ABF是等腰三角形,A、B、G、D四点共 圆 ∠DAG=∠DBG=20°,∴∠BIG=60° ∠BDG=∠BAG=60°,∠IGD=∠ABD =60°∴△GHD是等边三角形。△ABH是B 等边三角形 BH=AB=BC,∴∠BHC=80°,∴∠CIG =40 ∴∠HGC=40°,∴HC=GC,∴△HCD≌2 △GCD ∴∠HDC=90,∵∠ACD=80° 第六题: 已知,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC。求证:AB2+BC2=BD 简证:以AB为边向外作正三角形ABE 则BC⊥BE,BE2+BC2=CE2 易证△DB≌△CAE,BD=CE 于是AB2+BC=BD2。 B 第3页共35页
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第七题: 如图,PC切⊙O于C,AC为圆的直径,PEF为⊙O的割线,AE、AF与直线PO相 交于B、D。求证:四边形ABCD为平行四边形 证明:过C作CG⊥PO于G 则由∠AEC=∠PGC=90°得 E、B、G、C四点共圆 同理F、D、G、C四点共圆 PC是⊙O切线,PC=PEPF 在RT△PCO中,PC2=PG·PO ∴PE·PF=PGPO, ∴E、G、O、F四点共圆。∴∠OGF ∠OEF,∠BGE=∠OEF,∴∠ OGF=∠BGE 又CG⊥PO得∠EGC=∠FGC,∠EGF=∠EOF=2∠EIF,∴∠EGC=∠FGC=∠EAF 又∠EGC=∠EBC,∠FGC=∠FDC,∴∠EBC=∠FDC=∠EAF ∴AF∥BC,AE∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形。 第八题 已知:在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,∠OBC=10°,∠OCA=20°。 求证:AB=OB 简证:延长CO交AB于D,以OC为边作正三角 形OCE(如图) 易知AC=DC,BD=OD,OC=AD △ACE≌△CID,△ACO≌△AEO, ∠CO ∠CEE=10° ∴∠BAO=70°,∠ABO=40 ∴∠BO|=70°,∴AB=OB C E
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第九题: 已知:正方形ABCD中,∠OAD=∠ODA=15°,求证:△OBC为正三角形。 简证:以BC为边作正三角形BCO(如图) 则AB=OB,∠ABO'=90°, ∴∠BO=75°,∠DIO′=15 同理∠ADO′=15° 于是△ADO′≌△IDO ∴O与O′重合 ∴△OBC是正三角形。 B C 第十题: 已知:正方形ABCD中,E、F为AD、DC的中点,连接BE、AF,相交于点P,连 接PC。求证:PC=BC 简证:易知△ABE≌△DF BE⊥AF,∴B、C、F、P四点共圆 ∠BPC=∠BFC E ∠PBC=∠BEA 而∠BEI=∠BFC ∴∠BPC=∠PBC ∴PC=BC F B 第5页共35页
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第十一题: 如图,△ACB与△ADE都是等腰直角三角形,∠ADE=∠ACB=90°,∠CDF=45°,DF 交BE于F,求证:∠CD=90° 证明:只要证明△CDF是等腰直角三角形时,E、F、B 共线即可 设C=0,B=1,A=1,D=x+y(x,y∈1),则 AD=D-A=x+(-1), AE=√ADe+=√2x+(-1)2(1-)=x+y-1+0-x-1) ∴E=A+AE=i+x+y-1+(-x-1)=x+y-1+(-x ∴DF F=D+DF =x +yi+-(x-yi).(1+i) (r +y)+-x )i ∵E+B=x+y+(y-xy=2 ∴F是EB中点,∴△CDF是等腰直角三角形,∠CFD=90°。 第6页共35页
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第十二题: 已知:△ABC中,∠CBA=2∠CAB,∠CBA的角平分线BD与∠CAB的角平分线AD相 交于点D,且BC=AD。求证:∠ACB=60 简证:作∠ABD的平分线BE交AC于E, 易得四边形ABDE是等腰梯形 ID= BE, BC= BE ∠C=∠CEB=s∠ABE ∠CBE=s∠ABE ∴△BCE为等边三角形 ∠ACB=e B A 第十四题: 已知:△ABC中,AB=BC,D是AC的中点,过D作DE⊥BC于E,连接AE,取DE 中点F,连接BF。求证:AE⊥BF 简证:Rt △BDE∽ DCE BD DO C DE C BDBD C A( DE CE CE,△BDF∽△ACE ∠DBF=∠CE,∴A、D、G、B四点共圆。 ∠BG=∠BD=90°,AE⊥BF。 第7页共35页
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第十五题: 已知:△ABC中,∠A=24°,∠C=30°,D为AC上一点,AB=CD,连接BD。 求证:AB·BC=BD·AC 简证:以AB为边作正三角形(如图) 由∠C=30°得OC=OB ∠BOC=2∠BC=48° ∠AOC=108°,∠OCD=86° OC=OD,∠COD=79° C ∠BOD=24 △ABD≌△OBD,∠ABD=30° △ABD∽△ACB,AB·BC=BD·AC 第十六题: 已知:ABCD与ABC1D均为正方形,A2、B2、C2、D2分别为A4、B1、CC1、DD 的中点。求证:A2B2C2D2为正方形 简证:只要证明△A2B2C2是等腰直角三角形即可。 =i,B1=b,C1=c(b,c∈),则 A1=B1+(C1-B1)=b+(c-b 2 B+B. b C+O C BC2=(C2-B2)= 2 B242=A2-B2 i+(c-b)i+bb c-b+l 2 2 ∴B2C2⊥B2A1,|B2C2=|B2A2 第8页共35页
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第十七题: 如图,在△ABC三边上,向外做三角形ABR、BCP、CAQ,使∠CBP=∠C4Q=45°, ∠BCP=∠A(Q=30°,∠ABR=∠BAR=15°。求证:RQ与RP垂直且相等。 简证:以BR为边作正三角形(如图) 则△OR是等腰直角三角形, △OB∽△PCB,△OBP∽△ABC △ORP≌△RQ ∴Q=BP,BQ⊥RP 第十八题: 如图,已知AD是⊙O的直径,D是BC中点,AB、AC交⊙O于点E、F,EM、FM 是⊙O的切线,EM、FM相交于点M,连接DM。求证:DM⊥BC 简证:如图,过O作GH⊥DM △OGE∽△MDE,△OHFv△MDF OG OE OF OH ∴OG=OH DM MM DM IGDH是平行四边形,D是BC中点 ∴G、H分别是AB、AC的中点 ∴GH∥BC,DM⊥BC。 F B 第9页共35页
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第十九题: 如图,三角形ABC内接于⊙O,两条高AD、BE交于点H,连接AO、OH。若AH=2 BD=3,CD=1,求三角形AOH面积。 解:设HD=x,F是BC中点,OF=d 由R△ACD∽R△BHD得 2+x1 ,解得x= D=3,由OB=O得 2+d=√3-d)2+1得d=1 ∴OHDF为正方形,OH=1 LE 三角形AOH面积为-×2×1=1。 C 第二十题: 如图,∠DAC=2x,∠ACB=4x,∠ABC=3x,AD=BC,求∠BAD。 解:延长BC至E,使CE=BD,则 ID=DE,设∠E=t,则∠EAC=4x-t, 由AD=DE得6x-t=t,t=3x, ∴AB=EE,△ABD≌△AEC ∴AD=AC,∠ADC=4x, gx+4x+4x=180°,x=1 即∠BAD=18°。 D E 第10页共35
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