翻折(折叠)中的变与不变 翻折和折叠类题型一直是中考的热点题型,徐州市填空压轴题、解答题压轴题就是翻折 题型。对翻折题型青睐有加,翻折题型是热点也是难点,常见于填空题、解答题,和其他知 识结合构成综合大题也很常见,难度中等偏上,是拉开分数的题目,一般都是三角形翻折, 或者四边形翻折,是中考数学高分必须掌握的题型。 近几年来,中考数学命题水平逐渐提高,对于知识点的考察很全面,难易程度把控很好, 很多题目生动新颖,别出一格,打破了常见的一个题型万年不变的老套路,作为学生,也要 适应这种改变,基础知识要学扎实,能灵活运用各个知识点,以不变而应万变,才能掌控越 来越多的新题型! 翻折和折叠问题其实质就是对称问题,翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的,对 应的边和角都是相等的。以这个性质为基础,结合圆的性质,三角形相似,勾股定理设方程 思想来考査。那么碰到这类题型,我们的思路就要以翻折性质为基础,结合题中的条件,或 利用三角形相似,或利用勾股定理设方程来解题! 对于翻折和折叠题型分两个题型来讲 一类题型就是直接计算型,另一类是涉及到分类讨论型,由浅入深难度逐步加大,,掌 握好分类讨论型的翻折问题,那么拿下中考数学翻折题型就没问题了! 解决翻折题型的策略 :利用翻折的性质: ①翻折前后两个图形全等。对应边相等,对应角相等 ②对应点连线被对称轴垂直平分 结合相关图形的性质(三角形,四边形等) 三:运用勾股定理或者三角形相似建立方程 翻折折叠题型(一),直接计算型,运用翻折的性质,结合题中的条件,或利用三角形相 似,或利用勾股定理设方程来解题!一般难度小,我们要多做一些 这些题型,熟练翻折的性质,以及常见的解题套路 翻折折叠题型(二),分类讨论型,运用翻折的性质,结合题中的条件,或利用三角形相 似,或利用勾股定理设方程来解题!一般难度较大,需要综合运用 题中的条件,多种情况讨论分析,需要准确的画图,才能准确分析!
1 翻折（折叠）中的变与不变 翻折和折叠类题型一直是中考的热点题型，徐州市填空压轴题、解答题压轴题就是翻折 题型。对翻折题型青睐有加，翻折题型是热点也是难点，常见于填空题、解答题，和其他知 识结合构成综合大题也很常见，难度中等偏上，是拉开分数的题目，一般都是三角形翻折， 或者四边形翻折，是中考数学高分必须掌握的题型。 近几年来，中考数学命题水平逐渐提高，对于知识点的考察很全面，难易程度把控很好， 很多题目生动新颖，别出一格，打破了常见的一个题型万年不变的老套路，作为学生，也要 适应这种改变，基础知识要学扎实，能灵活运用各个知识点，以不变而应万变，才能掌控越 来越多的新题型！ 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对 应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程 思想来考查。那么碰到这类题型，我们的思路就要以翻折性质为基础，结合题中的条件，或 利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！ 对于翻折和折叠题型分两个题型来讲: 一类题型就是直接计算型，另一类是涉及到分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，，掌 握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了！ 解决翻折题型的策略 一：利用翻折的性质： ①翻折前后两个图形全等。对应边相等，对应角相等 ②对应点连线被对称轴垂直平分 二：结合相关图形的性质（三角形，四边形等） 三：运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 翻折折叠题型（一），直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相 似，或利用勾股定理设方程来解题！一般难度小，我们要多做一些 这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路！ 翻折折叠题型（二），分类讨论型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相 似，或利用勾股定理设方程来解题！一般难度较大，需要综合运用 题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析！
折叠不 图形成轴对称 性质、令对应边相等 对应角相等 对应点的连线被对称轴垂直平分 将平行四边形的部分折叠→经常会产生等腰三角形 部分特殊的折叠 过一边中点折叠→经常会产生平行、垂直、中位线 将三角形的部分折叠 1.如图,把等边△ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC,若BP=4,则 EC的长度为 将平行四边形的部分折叠 2.如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处 折痕为EF 求证:(1)∠ECB=∠FCG;(2)△EBC≌△FGC E 3.(2019常州21题)如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C’处,BC"与 AD相交于点E 求证:EB=ED
2 折叠 ⎯本质⎯→ 图形成轴对称 ⎯性质⎯→ 对应点的连线被对称轴垂直平分 对应角相等 对应边相等 全等 部分特殊的折叠 → → 过一边中点折叠 经常会产生平行、垂直、中位线 将平行四边形的部分折叠 经常会产生等腰三角形 一．将三角形的部分折叠 1.如图,把等边△ABC 沿着 DE 折叠,使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处,且 DP⊥BC,若 BP=4,则 EC 的长度为 。 二．将平行四边形的部分折叠 2.如图，将平行四边形纸片 ABCD 沿一条直线折叠，使点 A 与点 C 重合，点 D 落在点 G 处， 折痕为 EF. 求证：(1)∠ECB=∠FCG； (2)△EBC≌△FGC. 3.（2019 常州 21 题）如图，把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在点 C 处，B C 与 AD 相交于点 E． 求证：EB=ED
4.将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形,若∠ABC=26° 则∠ACD= B 5.(2019长春第13题)如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.先将矩形纸片ABCD折叠, 使边AD落在边AB上,点D落在点E处,折痕为AF:再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相 交于点G,则△GCF的周长为 B ErD B ED B A 三.过一边中点折叠 基本图形:如图,在△ABC中,点D是BC边的中点,将△ADB沿AD翻折得到△ADE 连接CE
3 4.将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°， 则∠ACD= 。 5.（2019 长春第 13 题）如图，有一张矩形纸片 ABCD，AB=8，AD=6.先将矩形纸片 ABCD 折叠， 使边 AD 落在边 AB 上，点 D 落在点 E 处，折痕为 AF；再将△AEF 沿 EF 翻折，AF 与 BC 相 交于点 G，则△GCF 的周长为 . 三．过一边中点折叠 基本图形：如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 边的中点，将△ADB 沿 AD 翻折得到△ADE， 连接 CE
结论1 结论2 结论3 结论1:∵∠DCE=∠1,∠2=∠3,∠DCE+∠1=∠2+∠3 ∠DCE+∠1=∠2+∠3 结论1:CE∥ADBE⊥AD (对应点和中点所在线段端点的连线与折痕平行或垂直) 结论2:连接BE ∵BD=ED=CD∴∠DCE=∠1,∠2=∠3∴∠BEC=90° 结论2:∠BEC=90° 结论3:BE与AD相交于点F AD垂直平分BE∴是BE的中点∴DF是△BCE的中位线 结论3:DF是△BCE的中位线 6.(2019淮安第16题)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,H是AB的中点,将△CBH沿 CH折叠,点B落在矩形内点P处,连接AP,则tan∠HAP= 7.(2017无锡第10题)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD 沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于
4 结论 1 结论 2 结论 3 结论 1：∵∠DCE=∠1,∠2=∠3,∠DCE+∠1=∠2+∠3 ∴∠DCE+∠1=∠2+∠3 结论 1：CE∥AD BE⊥AD （对应点和中点所在线段端点的连线与折痕平行或垂直） 结论 2：连接 BE ∵BD=ED=CD ∴∠DCE=∠1,∠2=∠3 ∴∠BEC=90° 结论 2：∠BEC=90° 结论 3：BE 与 AD 相交于点 F ∵AD 垂直平分 BE ∴是 BE 的中点 ∴DF 是△BCE 的中位线 结论 3:DF 是△BCE 的中位线 6.（2019 淮安第 16 题）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=2，H 是 AB 的中点，将△CBH 沿 CH 折叠，点 B 落在矩形内点 P 处，连接 AP，则 tan∠HAP= . 7.（2017 无锡第 10 题）如图,△ABC 中,∠BAC=90∘,AB=3,AC=4,点 D 是 BC 的中点,将△ABD 沿 AD 翻折得到△AED,连 CE,则线段 CE 的长等于
8.(16年连云港)如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与①重合,折痕为EF。如图2 展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于 N.若AD=2,则MN= (变试题)如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展 开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM 交AB于N,则tan∠ANE= 解答题 9.(2016扬州市第23题)如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落 在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处 (1)求证:四边形AECF是平行四边形; (2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积
5 8.（16 年连云港）如图 1，将正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为 EF。如图 2， 展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 GH，点 B 的对应点为点 M，EM 交 AB 于 N.若 AD=2，则 MN= . （变试题）如图 1，将正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为 EF．如图 2，展 开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 GH，点 B 的对应点为点 M，EM 交 AB 于 N，则 tan∠ANE=_____． 解答题 9.（2016 扬州市第 23 题）如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落 在 AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处． （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）若 AB=6，AC=10，求四边形 AECF 的面积．
10.(2016年徐州第27题)如图,将边长为6的正方形纸片ABCD对折,使AB与DC重合, 折痕为EF,展平后,再将点B折到边CD上,使边AB经过点E,折痕为GH,点B的对应 点为M,点A的对应点为N。 (1)若CM=x,则CH= (用含x的代数式表示) (2)求折痕GH的长
6 10.（2016 年徐州第 27 题）如图，将边长为 6 的正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 DC 重合， 折痕为 EF，展平后，再将点 B 折到边 CD 上，使边 AB 经过点 E，折痕为 GH，点 B 的对应 点为 M，点 A 的对应点为 N。 (1)若 CM=x，则 CH= （用含 x 的代数式表示）； (2)求折痕 GH 的长
11.(2017徐州第27题)如图,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠, 展平后,得折痕AD,BE(如图①),点0为其交点 (1)探求A0到O的数量关系,并说明理由; (2)如图②,若P,N分别为BE,BC上的动点 ①当PN+PD的长度取得最小值时,求BP的长度 ②如图③,若点Q在线段BO上,BQ=1,则QN+NP+PD的最小值 C
7 11.（2017 徐州第 27 题）如图，将边长为 6 的正三角形纸片 ABC 按如下顺序进行两次折叠， 展平后，得折痕 AD，BE（如图①），点 O 为其交点． （1）探求 AO 到 OD 的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若 P，N 分别为 BE，BC 上的动点． ①当 PN+PD 的长度取得最小值时，求 BP 的长度； ②如图③，若点 Q 在线段 BO 上，BQ=1，则 QN+NP+PD 的最小值= ．
12.(2018徐州市28题)如图,将等腰直角三角形纸片ABC对折,折痕为CD.展平后,再 将点B折叠在边AC上(不与A、C重合),折痕为EF,点B在AC上的对应点为M,设 CD与酬M交于点P,连接PF.已知BC=4 (1)若M为AC的中点,求CF的长; (2)随着点M在边AC上取不同的位置, ①△PFM的形状是否发生变化?请说明理由; ②求△PFM的周长的取值范围 答案 1.∵△ABC是等边三角形,…∴∠A=∠B=∠C=60,AB=BC, DP⊥BC,∴∠BPD=90。, PB=4cm,∴BD=8cm,PD=4√3cm ∵把等边△ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处, ∴AD=PD=4√3cm,∠DPE=∠A=60°, ∴AB=(8+4√3)cm,:BC=(8+4√3)cm,∴PC=BC-BP=(4+43)cm :∠EPC=180--90-60=30°,∴∠PEC=90°,∴CE=12PC=(2+2√3)cm
8 12.（2018 徐州市 28 题）如图，将等腰直角三角形纸片 ABC 对折，折痕为 CD．展平后，再 将点 B 折叠在边 AC 上（不与 A、C 重合），折痕为 EF，点 B 在 AC 上的对应点为 M，设 CD 与 EM 交于点 P，连接 PF．已知 BC=4． （1）若 M 为 AC 的中点，求 CF 的长； （2）随着点 M 在边 AC 上取不同的位置， ①△PFM 的形状是否发生变化？请说明理由； ②求△PFM 的周长的取值范围． 答案 1.∵△ABC 是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60∘，AB=BC， ∵DP⊥BC，∴∠BPD=90∘， ∵PB=4cm，∴BD=8cm,PD=4 3 cm， ∵把等边△ABC 沿着 DE 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处， ∴AD=PD=4 3 cm,∠DPE=∠A=60∘， ∴AB=(8+4 3 )cm，∴BC=(8+4 3 )cm，∴PC=BC−BP=(4+4 3 )cm， ∵∠EPC=180∘−90∘−60∘=30∘，∴∠PEC=90∘，∴CE=12PC=(2+2 3 )cm
2.分析: (1)依据平行四边形的性质,即可得到∠A=∠BCD,由折叠可得,∠A=∠ECG, 即可得到∠ECB=∠FCG (2)依据平行四边形的性质,即可得出∠D=∠B,AD=BC,由折叠可得,∠D=∠G,AD=CG 即可得到∠B=∠G,BC=CG,进而得出△EC≌△FGC 解:证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠BCD, 由折叠可得,∠A=∠ECG, ∠BCD=∠ECG,∴∠BCD-∠ECF=∠ECG-∠ECF,∴∠ECB=∠FCG (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B,AD=BC 由折叠可得,∠D=∠G,AD=CG,∴∠B=∠G,BC=CG 又∵∠ECB=∠FCG,∴△EBC≌△FGC(ASA) 3.分析: (1)根据AD=CB,ED=EB,即可得到AE=CE,再根据三角形内角和定理 即可得到∠EAC=∠ECA=∠EBD=∠EDB,进而得出AC∥BD (2)依据平行线的性质以及折叠的性质,即可得到∠EDB=∠EBD,进而得出BE=DE 解:(1)连接AC′,则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD,故答案为:AC′∥BD; 2)EB与ED相等。 由折叠可得,∠CBD=∠C′BD, ∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠EDB=∠EBD,∵BE=DE. 4.分析:直接利用翻折变换的性质以及平行线的性质分析得出答案 解:延长DC, 由题意可得:∠ABC=∠BCE=∠BCA=26°,则∠ACD=180°-26°-26°=128° 5.分析:根据折叠的性质得到∠DAF=∠BAF=45°,根据矩形的性质得到FC=ED=2,根据勾股 定理求出GF,根据周长公式计算即可 解:由折叠的性质可知,∠DAF=∠BAF=45°,∴AE=AD=6,∴EB=AB-AE=2 由题意得,四边形EFCB为矩形,∴FC=ED=2 ∵AB∥FC,∴∠GFC=∠A=45°,∴GC=FC=2 由勾股定理得,GF=√PC2+GC=√,则△GCF的周长= C+FC+GF=4+2√, 6.如图,连接PB,交CH于E, 由折叠可得,CH垂直平分BP,BH=PH 又∵H为AB的中点,∴AH=BH,∴AH=PH=BH,∴∠HAP=∠HPA,∠HBP=∠HPB
9 2.分析： （1）依据平行四边形的性质，即可得到∠A=∠BCD，由折叠可得，∠A=∠ECG， 即可得到∠ECB=∠FCG； （2）依据平行四边形的性质，即可得出∠D=∠B，AD=BC，由折叠可得，∠D=∠G，AD=CG， 即可得到∠B=∠G，BC=CG，进而得出△EBC≌△FGC． 解：证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠BCD， 由折叠可得，∠A=∠ECG， ∴∠BCD=∠ECG，∴∠BCD−∠ECF=∠ECG−∠ECF，∴∠ECB=∠FCG； (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠B，AD=BC， 由折叠可得，∠D=∠G，AD=CG，∴∠B=∠G，BC=CG， 又∵∠ECB=∠FCG，∴△EBC≌△FGC(ASA). 3.分析： （1）根据 AD=C'B，ED=EB，即可得到 AE=C'E，再根据三角形内角和定理， 即可得到∠EAC'=∠EC'A=∠EBD=∠EDB，进而得出 AC'∥BD； （2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB=∠EBD，进而得出 BE=DE． 解：(1)连接 AC′,则 AC′与 BD 的位置关系是 AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD； (2)EB 与 ED 相等。 由折叠可得，∠CBD=∠C′BD， ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE. 4.分析：直接利用翻折变换的性质以及平行线的性质分析得出答案． 解：延长 DC， 由题意可得：∠ABC=∠BCE=∠BCA=26°，则∠ACD=180°-26°-26°=128° 5.分析：根据折叠的性质得到∠DAF=∠BAF=45°，根据矩形的性质得到 FC=ED=2，根据勾股 定理求出 GF，根据周长公式计算即可． 解：由折叠的性质可知,∠DAF=∠BAF=45∘，∴AE=AD=6，∴EB=AB−AE=2， 由题意得，四边形 EFCB 为矩形，∴FC=ED=2， ∵AB∥FC，∴∠GFC=∠A=45∘，∴GC=FC=2， 由勾股定理得,GF= 2 2 FC +GC =2 2 ，则△GCF 的周长=GC+FC+GF=4+2 2 ， 6.如图，连接 PB，交 CH 于 E， 由折叠可得，CH 垂直平分 BP，BH=PH， 又∵H 为 AB 的中点，∴AH=BH，∴AH=PH=BH，∴∠HAP=∠HPA，∠HBP=∠HPB
又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB=180°,∴∠APB=90°,∴∠APB=∠HEB= AP∥HE,∴∠BAP=∠BHE, 又∵Rt△BCH中,tan∠BHC=BCB=,∴tan∠x D H B 7.分析:如图连接BE交AD于0,作A⊥BC于H.首先证明AD垂直平分线段BE,△BCE是 直角三角形,求出BC、BE在Rt△BCE中,利用勾股定理即可解决问题 解:如图连接BE交AD于0,作AH⊥BC于H 在Rt△ABC中,∵AC=,AB=3,:BC=√32+42=5, 5 CD=DB,∴AD=DC=DB= BC·AH=2·ABAC(面积法 ∵AE=AB,DE=DB=DC,∴AD垂直平分线段BE,△BCE是直角三角形, ADB0==BDAH(面积法),∴OB BE=20B= 在Rt△BCE中,EC=VBC2-BE2=1532-(=) 8.设正方形的边长为2a,DH=x,表示出CH,再根据翻折变换的性质表示出DE、EH,然后利 用勾股定理列出方程求出x,再根据同角的余角相等求出∠ANE=∠DEH,然后根据锐角的 正切值等于对边比邻边列式计算即可得解 解:设正方形的边长为2a,DH=x,则CH=2a-x, 由翻折的性质,DE=AD=-×2a=a,EH=CH=2a-x, 在Rt△DEH中,DE2+DH=EH,即a2+x2=(2a-x)2,解得x3 ∵∠MEH=∠C=90°,∴∠AEN+∠DEH=90°, ∵∠ANE+∠AEN=90°,∴∠ANE=∠DEH 3 a DH 43 3 ∴tan∠ANE=tan∠DEH= 故答案为 de a 4 9.【考点】矩形的性质:平行四边形的判定与性质:翻折变换(折叠问题) 分析:(1)首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD,AD∥BC,∠ANF=90°,∠CME=90°
10 又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB=180∘，∴∠APB=90∘，∴∠APB=∠HEB=90∘， ∴AP∥HE，∴∠BAP=∠BHE， 又∵Rt△BCH 中,tan∠BHC=BCBH= 3 4 ，∴tan∠HAP= 3 4 ， 7.分析：如图连接 BE 交 AD 于 O，作 AH⊥BC 于 H．首先证明 AD 垂直平分线段 BE，△BCE 是 直角三角形，求出 BC、BE 在 Rt△BCE 中，利用勾股定理即可解决问题． 解：如图连接 BE 交 AD 于 O，作 AH⊥BC 于 H. 在 Rt△ABC 中，∵AC=4，AB=3，∴BC= 2 2 3 + 4 =5， ∵CD=DB，∴AD=DC=DB= 2 5 ， ∵ 2 1 ⋅BC⋅AH= 2 1 ⋅AB⋅AC（面积法），∴AH= 5 12 ， ∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD 垂直平分线段 BE，△BCE 是直角三角形， ∵ 2 1 ⋅AD⋅BO= 2 1 ⋅BD⋅AH（面积法），∴OB= 5 12 ，∴BE=2OB= 5 24 ， 在 Rt△BCE 中,EC= 2 2 BC − BE = 2 2 ) 5 24 5 − ( = 5 7 ， 8.设正方形的边长为 2a，DH=x，表示出 CH，再根据翻折变换的性质表示出 DE、EH，然后利 用勾股定理列出方程求出 x，再根据同角的余角相等求出∠ANE=∠DEH，然后根据锐角的 正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 解：设正方形的边长为 2a，DH=x，则 CH=2a-x， 由翻折的性质，DE= 2 1 AD= 2 1 ×2a=a， EH=CH=2a-x， 在 Rt△DEH 中，DE2 +DH2 =EH2，即 a 2 +x2 =（2a-x）2，解得 x= 4 3 a， ∵∠MEH=∠C=90°，∴∠AEN+∠DEH=90°， ∵∠ANE+∠AEN=90°，∴∠ANE=∠DEH， ∴tan∠ANE=tan∠DEH= DE DH = a a 4 3 = 4 3 ．故答案为： 4 3 ． 9.【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）． 分析：（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得 AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°