中考数学30题函数综合压轴题及答案

中考数学30题函数综合压轴题及答案 1.如图,直线y=-2x+c与x轴交于点A(3,0),与y 轴交于点B,抛物线y=-4x2+bx+c经过点A,B (1)求点B的坐标和抛物线的解析式: (2)M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴 的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N ①点M在线段OA上运动,若以B,P,N为顶点的三角 形与△APM相似,求点M的坐标 ②点M在x轴上自由运动,若三个点M,P,N中恰有 点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M, P,N三点为“共谐点”.请直接写出使得M,P,N三点成 为“共谐点”的m的值 y 备用图 【分析】(1)把A点坐标代入直线解析式可求得c,则可 求得B点坐标,由A、B的坐标,利用待定系数法可求得 抛物线解析式; (2)①由M点坐标可表示P、N的坐标,从而可表示出 第1页共29

第 1 页 共 249 页 中考数学 30 题函数综合压轴题及答案 1．如图，直线 y=﹣ x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，抛物线 y=﹣ x 2+bx+c 经过点 A，B． （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴 的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N． ①点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角 形与△APM 相似，求点 M 的坐标； ②点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M，P，N 中恰有一 点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称 M， P，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得 M，P，N 三点成 为“共谐点”的 m 的值． 【分析】（1）把 A 点坐标代入直线解析式可求得 c，则可 求得 B 点坐标，由 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得 抛物线解析式； （2）①由 M 点坐标可表示 P、N 的坐标，从而可表示出

MA、MP、PN、PB的长,分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种 情况,分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程, 可求得m的值: ②用m可表示出M、P、N的坐标,由题意可知有P为线 段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中 点,可分别得到关于m的方程,可求得m的值 【解答】解: (1)·y3xc与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点 B ∴0=-2+c,解得c=2 ∴B(0,2), ∴抛物线y=-4x2+bx+c经过点A,B 解得 ∴抛物线解析式为y=-4x2+10x+2 (2)①由(1)可知直线解析式为y=-2x+2, M(m,0)为ⅹ轴上一动点,过点M且垂直于x轴的 直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N, P(m,-2m+2),N( ∴PM=-2m+2,AM=3-m,PN=-4m2+10m+2-(-2m+2) im+4m ∵△BPN和△APM相似,且∠BPN=∠APM, ∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°, 当∠BNP=90°时,则有BN⊥MN, 第2页共29

第 2 页 共 249 页 MA、MP、PN、PB 的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种 情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于 m 的方程， 可求得 m 的值； ②用 m 可表示出 M、P、N 的坐标，由题意可知有 P 为线 段 MN 的中点、M 为线段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中 点，可分别得到关于 m 的方程，可求得 m 的值． 【解答】解： （1）∵y=﹣ x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B， ∴0=﹣2+c，解得 c=2， ∴B（0，2）， ∵抛物线 y=﹣ x 2+bx+c 经过点 A，B， ∴ ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y=﹣ x 2+ x+2； （2）①由（1）可知直线解析式为 y=﹣ x+2， ∵M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的 直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N， ∴P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2）， ∴PM=﹣ m+2，AM=3﹣m，PN=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2） =﹣ m2+4m， ∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN=∠APM， ∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°， 当∠BNP=90°时，则有 BN⊥MN

∴N点的纵坐标为2 4m2+10m+2=2,解得m=0(舍去)或m=2, ∴M(2.5,0); 当∠NBP=90°时,过点N作NC⊥y轴于点C, 则∠NBC+∠BNC=90°,NC=m,BC=-4m2+10m+2-2= m2+10 ∠NBP=90°, ∠NBC+∠ABO=90°, ∴∠ABO=∠NBC, ∴Rt△NCB∽Rt△BOA, NC_ CB oN OA 翌83,解得m0(舍去)或m= 综上可知当以B,P,N为顶点的三角形与△APM相似时, 点M的坐标为(25,0)或(11,0) ②由①可知M(m,0),P(m,-2m+2),N(m 4m2+10m+2) ∵M,P,N三点为“共谐点”, ∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线 第3页共29

第 3 页 共 249 页 ∴N 点的纵坐标为 2， ∴﹣ m2+ m+2=2，解得 m=0（舍去）或 m=2.5， ∴M（2.5，0）； 当∠NBP=90°时，过点 N 作 NC⊥y 轴于点 C， 则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=﹣ m2+ m+2﹣2=﹣ m2+ m， ∵∠NBP=90°， ∴∠NBC+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠NBC， ∴Rt△NCB∽Rt△BOA， ∴ = ， ∴ = ，解得 m=0（舍去）或 m= ， ∴M（ ，0）； 综上可知当以 B，P，N 为顶点的三角形与△APM 相似时， 点 M 的坐标为（2.5，0）或（ ，0）； ②由①可知 M（m，0），P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2）， ∵M，P，N 三点为“共谐点”， ∴有 P 为线段 MN 的中点、M 为线段 PN 的中点或 N 为线

段PM的中点, 当P为线段MN的中点时,则有2(-2m+2) 4m2+10m+2,解得m=3(三点重合,舍去)或m=1; 当M为线段PN的中点时,则有-2m+2+(-4m2+10m+2) 0,解得m=3(舍去)或m=-1; 当N为线段PM的中点时,则有-2m+2=2( 4m2+10m+2),解得m=3(舍去)或m=-1; 综上可知当M,P,N三点成为“共谐点时m的值为1或 或-1 【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、 函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、 线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1) 中注意待定系数法的应用,在(2)①中利用相似三角形 的性质得到关于m的方程是解题的关键,注意分两种情 况,在(2)②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解 题的关键,注意分情况讨论.本题考查知识点较多,综合 性较强,分情况讨论比较多,难度较大 2如图1,在平面直角坐标系xoy中,抛物线C:y=ax2+bx+c 与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB=42,设 点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F 旋转180°,得到新的抛物线C′ (1)求抛物线C的函数表达式; (2)若抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的 第4页共29

第 4 页 共 249 页 段 PM 的中点， 当 P 为线段 MN 的中点时，则有 2（﹣ m+2）=﹣ m2+ m+2，解得 m=3（三点重合，舍去）或 m= ； 当 M 为线段 PN 的中点时，则有﹣ m+2+（﹣ m2+ m+2） =0，解得 m=3（舍去）或 m=﹣1； 当 N 为线段 PM 的 中 点 时 ， 则 有 ﹣ m+2=2 （ ﹣ m2+ m+2），解得 m=3（舍去）或 m=﹣ ； 综上可知当 M，P，N 三点成为“共谐点”时 m 的值为 或 ﹣1 或﹣ ． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、 函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、 线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1） 中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形 的性质得到关于 m 的方程是解题的关键，注意分两种情 况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到 m 的方程是解 题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合 性较强，分情况讨论比较多，难度较大． 2．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A，B 两点，顶点为 D（0，4），AB=4 ，设 点 F（m，0）是 x 轴的正半轴上一点，将抛物线 C 绕点 F 旋转 180°，得到新的抛物线 C′． （1）求抛物线 C 的函数表达式； （2）若抛物线 C′与抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的

公共点,求m的取值范围. (3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐 标轴的距离相等,点P在抛物线C上的对应点P',设M 是C上的动点,N是C上的动点,试探究四边形PMPN 能否成为正方形?若能,求出m的值;若不能,请说明 理由 图1 【分析】(1)由题意抛物线的顶点D(0,4),A(-2√2, 0),设抛物线的解析式为y=ax2+4,把A(2√2,0)代入 可得a=-1,由此即可解决问题; (2)由题意抛物线C的顶点坐标为(2m,-4),设抛物 线C的解析式为y=1(x-2m)2-4,由 消 去y得到x2-2mx+2m2-8=0,由题意,抛物线C与抛物 线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,则有 (2m)2-4(2m2-8)>0 ,解不等式组即可解决问题; (3)情形1,四边形PMPN能成为正方形.作PE⊥x轴 于E,MH⊥x轴于H.由题意易知P(2,2),当△PFM是 等腰直角三角形时,四边形PMPN是正方形,推出PF=FM, 第5页共249

第 5 页 共 249 页 公共点，求 m 的取值范围． （3）如图 2，P 是第一象限内抛物线 C 上一点，它到两坐 标轴的距离相等，点 P 在抛物线 C′上的对应点 P′，设 M 是 C 上的动点，N 是 C′上的动点，试探究四边形 PMP′N 能否成为正方形？若能，求出 m 的值；若不能，请说明 理由． 【分析】（1）由题意抛物线的顶点 D（0，4），A（﹣2 ， 0），设抛物线的解析式为 y=ax2+4，把 A（2 ，0）代入 可得 a=﹣ ，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线 C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物 线 C′的解析式为 y= （x﹣2m）2﹣4，由 ，消 去 y 得到 x 2﹣2mx+2m2﹣8=0，由题意，抛物线 C′与抛物 线 C 在 y 轴 的 右 侧 有 两 个 不 同 的 公 共 点 ， 则 有 ，解不等式组即可解决问题； （3）情形 1，四边形 PMP′N 能成为正方形．作 PE⊥x 轴 于 E，MH⊥x 轴于 H．由题意易知 P（2，2），当△PFM 是 等腰直角三角形时，四边形 PMP′N 是正方形，推出 PF=FM

∠PFM=90°,易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2 m,可得M(m+2,m-2),理由待定系数法即可解决 问题;情形2,如图,四边形PMPN是正方形,同法可得 M(m-2,2-m),利用待定系数法即可解决问题. 【解答】解:(1)由题意抛物线的顶点D(O,4),A( 2V2,0),设抛物线的解析式为y=ax2+4, 把A(-2√2,0)代入可得a=-1 ∴抛物线C的函数表达式为y=-1x2+4 (2)由题意抛物线C的顶点坐标为(2m,-4),设抛物 线C的解析式为y=1(x-2m)2-4, y=-。x+4 由 ,消去y得到x2-2mx+2m2-8 y=(x-2m)2-4 由题意,抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的 公共点, (2m)2-4(2m2-8)>0 则有{2am>0 解得20 ∴满足条件的m的取值范围为2<m<2√2 (3)结论:四边形PMPN能成为正方形 理由:1情形1,如图,作PE⊥X轴于E,MH⊥X轴于H 第6页共29

第 6 页 共 249 页 ∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得 PE=FH=2，EF=HM=2 ﹣m，可得 M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决 问题；情形 2，如图，四边形 PMP′N 是正方形，同法可得 M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点 D（0，4），A（﹣ 2 ，0），设抛物线的解析式为 y=ax2+4， 把 A（﹣2 ，0）代入可得 a=﹣ ， ∴抛物线 C 的函数表达式为 y=﹣ x 2+4． （2）由题意抛物线 C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物 线 C′的解析式为 y= （x﹣2m）2﹣4， 由 ，消去 y 得到 x 2﹣2mx+2m2﹣8=0， 由题意，抛物线 C′与抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的 公共点， 则有 ，解得 2＜m＜2 ， ∴满足条件的 m 的取值范围为 2＜m＜2 ． （3）结论：四边形 PMP′N 能成为正方形． 理由：1 情形 1，如图，作 PE⊥x 轴于 E，MH⊥x 轴于 H．

N 由题意易知P(2,2),当△PFM是等腰直角三角形时, 四边形PMPN是正方形, PF=FM,∠PFM=90°, 易证△PFE≌△FMH,可得PE=FH=2,EF=HM=2-m, ∴M(m+2, 2), ∵点M在y=-1x2+4上, ∴m-2=-1(m+2)2+4,解得m=√17-3或-√17-3(舍 弃), ∴m=√17-3时,四边形PMPN是正方形 情形2,如图,四边形PMPN是正方形,同法可得M(m 2,2-m), 把M(m-2,2-m)代入y=-1x2+4中,2-m=-1(m 第7页共29

第 7 页 共 249 页 由题意易知 P（2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时， 四边形 PMP′N 是正方形， ∴PF=FM，∠PFM=90°， 易证△PFE≌△FMH，可得 PE=FH=2，EF=HM=2﹣m， ∴M（m+2，m﹣2）， ∵点 M 在 y=﹣ x 2+4 上， ∴m﹣2=﹣ （m+2）2+4，解得 m= ﹣3 或﹣ ﹣3（舍 弃）， ∴m= ﹣3 时，四边形 PMP′N 是正方形． 情形 2，如图，四边形 PMP′N 是正方形，同法可得 M（m ﹣2，2﹣m）， 把 M（m﹣2，2﹣m）代入 y=﹣ x 2+4 中，2﹣m=﹣ （m

2)2+4,解得m=6或0(舍弃), ∴m=6时,四边形PMPN是正方形 综上,四边形PMPN能成为正方形,m=17-3或6 【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方 形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根 与系数的关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴 题 3.在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M,给出如下 的定义:若在图形M上存在一点Q,使得P、Q两点间的 距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点. (1)当⊙O的半径为2时, ①在点P1(1,0)·),P3(5,0)中,⊙O的 关联点是P2,P ②点P在直线y=-x上,若P为⊙O的关联点,求点P的 横坐标的取值范围 (2)⊙C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=-x+1与x 轴、y轴交于点A、B.若线段AB上的所有点都是⊙C的 关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围. 【分析】(1)①根据点P1(1,0),pP2(1,3,P3(5, 0),求得OP1=1,OP2=1,OP3=5,于是得到结论;②根据 定义分析,可得当最小y=-x上的点P到原点的距离在1 到3之间时符合题意,设P(x,-x),根据两点间的距离 第8页共249

第 8 页 共 249 页 ﹣2）2+4，解得 m=6 或 0（舍弃）， ∴m=6 时，四边形 PMP′N 是正方形． 综上，四边形 PMP′N 能成为正方形，m= ﹣3 或 6． 【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方 形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根 与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴 题． 3．在平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下 的定义：若在图形 M 上存在一点 Q，使得 P、Q 两点间的 距离小于或等于 1，则称 P 为图形 M 的关联点． （1）当⊙O 的半径为 2 时， ①在点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ，0）中，⊙O 的 关联点是 P2，P3 ． ②点 P 在直线 y=﹣x 上，若 P 为⊙O 的关联点，求点 P 的 横坐标的取值范围． （2）⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y=﹣x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A、B．若线段 AB 上的所有点都是⊙C 的 关联点，直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围． 【分析】（1）①根据点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ， 0），求得 OP1= ，OP2=1，OP3= ，于是得到结论；②根据 定义分析，可得当最小 y=﹣x 上的点 P 到原点的距离在 1 到 3 之间时符合题意，设 P（x，﹣x），根据两点间的距离

公式即可得到结论 (2根据已知条件得到A(1,0),B(0,1),如图1,当 圆过点A时,得到C(-2,0),如图2,当直线AB与小 圆相切时,切点为D,得到C(1-√2,0),于是得到结论 如图3,当圆过点A,则AC=1,得到C(2,0),如图4, 当圆过点B,连接BC,根据勾股定理得到C(2√2,0), 于是得到结论 【解答】解:(1①∵点P1(1,0),P2(1,,P3(5, ∴OP1=1,OP2=1,OP32=5, ∴P1与⊙O的最小距离为3,P2与⊙O的最小距离为1, OP3与⊙O的最小距离为1, ∴⊙O,⊙O的关联点是P2,P3; 故答案为:P2,P3; ②根据定义分析,可得当最小y=x上的点P到原点的距 离在1到3之间时符合题意, ∴设P(x,-x),当OP=1时, 由距离公式得,OP=(x0)2+(-x0)2=1 ,当OP=3时,OP 解得:X30)24(x0)23, ∴点P的横坐标的取值范围为:-3≤x≤-√,或≤ 32 (2)∴直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B, 第9页共29

第 9 页 共 249 页 公式即可得到结论； （2 根据已知条件得到 A（1，0），B（0，1），如图 1，当 圆过点 A 时，得到 C（﹣2，0），如图 2，当直线 AB 与小 圆相切时，切点为 D，得到 C（1﹣ ，0），于是得到结论； 如图 3，当圆过点 A，则 AC=1，得到 C（2，0），如图 4， 当圆过点 B，连接 BC，根据勾股定理得到 C（2 ，0）， 于是得到结论． 【解答】解：（1）①∵点 P1（ ，0），P2（ ， ），P3（ ， 0）， ∴OP1= ，OP2=1，OP3= ， ∴P1 与⊙O 的最小距离为 ，P2 与⊙O 的最小距离为 1， OP3 与⊙O 的最小距离为 ， ∴⊙O，⊙O 的关联点是 P2，P3； 故答案为：P2，P3； ②根据定义分析，可得当最小 y=﹣x 上的点 P 到原点的距 离在 1 到 3 之间时符合题意， ∴设 P（x，﹣x），当 OP=1 时， 由距离公式得，OP= =1， ∴x= ， 当 OP=3 时，OP= =3， 解得：x=± ； ∴点 P 的横坐标的取值范围为：﹣ ≤x≤﹣ ，或 ≤ x≤ ； （2）∵直线 y=﹣x+1 与 x 轴、y 轴交于点 A、B

∴A(1,0),B(0, 如图1, 当圆过点A时,此时,CA=3, ∴C(-2,0), 如图2, 当直线AB与小圆相切时,切点为D, ∴CD=1, ∵直线AB的解析式为y=-x1, ∴直线AB与x轴的夹角=45°, ∴AC=√2 C(1-N2,0), ∴圆心C的横坐标的取值范围为:-2≤xc≤1-√2 第10页共

第 10 页 共 249 页 ∴A（1，0），B（0，1）， 如图 1， 当圆过点 A 时，此时，CA=3， ∴C（﹣2，0）， 如图 2， 当直线 AB 与小圆相切时，切点为 D， ∴CD=1， ∵直线 AB 的解析式为 y=﹣x+1， ∴直线 AB 与 x 轴的夹角=45°， ∴AC= ， ∴C（1﹣ ，0）， ∴圆心 C 的横坐标的取值范围为：﹣2≤xC≤1﹣ ；