第一章数与式 第1节实数 点一:实数的概念及分典 关键点拨及对应举例 (1)按定义分 (2)按正、负性分(1)不满于正数,也不属于负数 正有理 (2)无理数的几种常见形式判断:①含的式 有理数{0 有限小数或 正实数子:②构造型:如301000(每两个1 负有理数J无双循环小数实数0 .实数 之间多个0)然是一个无不循环小数:③ 数 开方开不尽的数如,:④三角函数型:如 正无理数 负实数 sn0°.n25° 无理饮 无限不值还小数 (3)失分点警示:开得尽方的古号的数属于 负无速数 有理数,如2,3.它们移于有理数 考点二:实数的相关概念 「(1)三要素:原点、正方向,单位长度 例 2.数轴 (2)特征:实数与数轴上的点一对应:数轴右边的点表示数轴上25表示的点到原点的距离是25 的数总比左边的点表示的数大 (1)念:只有符号不同的两个数 a的相反数为.特别的0的绝对值是0 3相反数(3)几何意义:数轴上表示互为相反数的两个点到原点的理例:3的相反数是34的相反数是L 离相等 (1)几何意义:数轴上表示的点到原点的距离 (1)若xa(a20),则X士a 4绝对值 (2)运算性质:J(a0):| (2)对绝对值等于它本身的数是非负数 (a0>负数;两个负数比较大小,免对值把1,20.23按从大到小的顺序排 8实数的大的反丙尘 列结果为1202-2223 大小比较(3)作差比较法:ab>0a>b:4b0ab:abb20a2>b2 考点五:实数的运算 来方肌几个相同因的积负故的携《奇)次方为正(负)例 零次高。1(aO (1)计算:1-26-7 「负指饮幂”1(A0P为整饮 平方根、 运算术平方根若(E0则x其中上是算术早方根 一的为算术为是
立方根 若xa则x 8立方根是4 失分点警示:类似“的算术早方根计算 先乘方、开方,再乘除.最后加减:问级运算.从左 错误例:相互对比填一填:16的算 0.灌含运算 句右进行:如有括号,先做括号内的远算,按小括号 中括号、大括号一次进行计算时,可以结含运算律 术平方根是4的算术平方根是 使问题简单化 第2讲整式与因式分解 考点一:代式及相关概念 关键点拨及对应举例 (1)代数式:用运算符号{加、减、乘、除、乘方、开方)把数 或表示数的字母连接而成的式子单独的一个数或一个字母也求代数式的值常运用整体代入法 l代数式是代数式 计算 (2)求代数式的值:用具体数值代替代数式中的字母,计算得出例:3-b=3,则3-3a=9 的结果,叫做求代数式的值 (1)单项式:表示数字与字母积的代数式,单独的一个数或一个例 字母也叫单项式其中的数字因数叫做单项式的系数,所有(1)下列式子:①2②35b 2整式字母的指数和叫做单项式的次数 ③x2④2x③7a7x2+8xy: (单项(2)多项式:几个单项式的和多项式中的每一项叫做多项式的2017其中属于单项式的是① 式、多 项.次数最高的项的次数叫做多项式的次数 ⑤⑦:多项式是②:同类 项式)(3)整式:单项式和多项式统称为整式 是①和 (4)同类项:所含字母相问并且相同字母的指数也相同的项叫做(2)多项式7m1m+1是六次 同类项所有的常数项都是同类项 三项式,常数项是 考点二:整式的运算 (1合并同类项法财同类项的系数相加,所得的结果作为系数字失分警示:去括号时,如果括号外 3整式的母和字母的指数不变 面是符号.一定要变号.且与括号 加减运(2)去括号法斯若括号外是“”,则括号里的各项都不变号;若内每一项相系,不要有漏项 括号外是“-”则括号里的各项都变号 例:-23-2h-1)==6+4b+ (3)整式的加减运算法则:先去括号.再合并同类项 2 (1)同底数幂的乘法:aa"g (1)计算时,注意察,善于运用 部诉(2)的系方(T=c 其中mn它们的逆运算解决问题例:已 都在整数知2m1n2则32=25 法则(6)积的乘方:(aby=正E; (2)在解决幂的远算时,有时需 (4同底数幂的除法:a=g(a:O) 要先化成同底数例: (1)单项式单项式:①系数和同底数幂分别相乘;②只有一个字 母的滋抄 分警示:计算多项式系以多项式 (2)单项式多项式:m(a+b) math 时,注意不能漏乘,不能丢项,不 5整式的|()多项式多项式( moXa b)mamba 能出现变号错 (5多项式单项式:①多项式的每一项除以单项式:②商相加,22-1b+2)=2b4-b- 乘除运(4单项式单项式:将系数、同底数分别相除 算 (6平差公式(a+ba-b)下=2 意乘法公式的逆向运用及其变 乘法「完全平方公式:(m份2bE变形公式 形公式的运用 公式2+b2(ab)2hb=lab).(a2+b)a2 6混合运注计算质序,应先算系除,后算加减;若为化简求值,一散步:(a1)4a3%3)10 算骤为:化简、代入替换、计算 考点五:因式分解 (1)定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式 (1)因式分解要分解到最后结果不 (2)常用方法:①提公因式法:ma+mb+mm(a+b+ 能再分解为止,相同因式写成幂 7因式分 ②公式法:d-b=(a+ba-b):a22ab+b2= 的形式 )-没步骤:①若有公因式,必先提公因式;②提公因式后,若|②因式分解与整式的乘法互为逆 是否能用公式法分解:③检查各因式能否继续分解 算
第3讲分式 考点一:分式的相关概念 关键点拔及对应举例 在判断某个式子是否为分式时,应注 1.分的/(1)分式:形如合4B是整式,且B中含有空母B0:(1)列所化简之间的式子:(2)x 是常数.不是字母。例:下列分式:0 念 的式子 (2)最简分式:分子和分母没有公因式的分式 ②③④2x+2.其中是分式是28④ 最简分式③ (1)无意义的条件:当B=0时,分式一无意义 失分点警示:在解决分式的值为0.求 2分式的(2有意义的条件:当B0时,分式有意义; 值的问题时,一定要注意所求得的值满 意义 足分母不为0 (3值为零的条件:当心三0.BE0时,分式B0 例:当x的值为0时,则x山 (1)基本性质:B=BC“BC 由分式的基本性质可将分式进行化简 3基本性(2)白基本性质可推理出变号法则为 质 例:化答,x2-1 A -A A) A- A x+2x+1x+1 B -BB BB -B 考点三:分式的运算 (1)约分(可化简分式):把分式的分子和分母中的公因式约 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母,然后根据分式的性质通分 4分式的即 bm b 例:分式 和 的最简公分 通分2通分可化为同分母根分的基本性质把异分母的 分式化为问分母的分式 b d bcbc 母为x(x2 (1同分母:分母不变,分子相加减职2做 5分式的 例 加减法 2)异分母:先通分,变为同分母的分式,再加减即方= -11-x a+1a-1 (1)乘法:bM 2除法:二 6分式的 例:2=1;2+1=2; r x 除活|(3)乘方:6 (n为正整数 (1)仅含有乘除远算:首先观察分子、分母能否分解因式 失分点警示:分式化简求值问题,要先 2分式的 若能,就要先分解后约分 混合运/(2)含有括号的运算:注意运算质序和运算律的合理应用一将分式化简到最节或整式的形式 殼先算乘方,再算乘除,最后算加减,若有括号,先算 再代入求值代入数值时注意要使原分 括号里面的 式有意义有时也需运用到整体代入
第4讲二次根式 考点一:三次式 关键点拨及对应举例 (1)二次根式的概念:形如a(a0)的式子 失分点警示:当判断分式、二次根式成的复 合代数式有意义的条件时,注意确保各部分都 (2)二次恨式有意义的条件.被开方数大于或等于0 有意义,即分母不为0,被开方数大于等于0 1有关念(3)最简二次根式:①坡开方数的因数是整数,四式是整 等例:若代数式 有意义,则x的取值 式(分母中不含根号):②被开方数中不含能开得尽方 的因数或因式 范围是x21 利用二次根式的双重负性解题 (1)双重非负性: 1)值非负:当多个非负数的和为0时,可得 ①被开方数是非负数.即a0 各个非负数均为0如√a+1+√b-1=0 ②二次根式的值是非负数.即√a20 则a=-1.b=1 (2)被开方数非负:当互为相反数的两个数同 时出现在二次根式的被开方数下时,可得 注意:初中阶段学过的非负数有:绝对值、偶幂、算式平 2二次根式的方根、二次根式 这一对相反数的数均为0.如已知 性质 b√-1a,则ab (2)两个重要性质 例:计算 G=ga0):②a-ll a(a≥0) 14=31:√2)=2: G3)积的算术方根:ab=√a√(a0.b=0) √2 (4)的算术平方根:=(a0.b>0) √3 考点二:三次根式的运算 3二次根式的先将各根式化为最简二次根式再合并被开方数相同的二次 根式 例:计算:E-+、2=3E L加减法 (1)乘法:G、√6ab(a0.b20): 4二次根式的 注意:将运算结果化为最简二次根式 乘除法 (2)除法 (420.b>0), 例;计算:1:要 运算时,注意观察,有时运用乘法公式 5二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算桑除,最会使运算简使 混合运算后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号) 例:计算:(V2+1XE1)=1
第二单元方程(组)与不等式(组) 第5讲一次方程(组) 考点一:方程及其相关概念 关键点拨及对应举例 )性质1:等式两边加或减同一个数或同一个整式,所得结果 仍是等式即若a=b,则atc=bt 失分点警示:在等式的两边同除以 1.等式的基本 2性质2:等式两边同乘(或除)同一个数(除数不能为0).个数时、这个数必须不为0 所得结果仍是等式即若a=b,则ac=be.“2(eo) 例:判断正误 性质 (1)若a=b则aebc.(x) 3)性质3:(对称性)若ab则b=a (2)若acbc,则a=b.(V) (4)性质4:(传递性)若a=bb=c,则a=c ()一元一次方程:只含有一个未知数.并且未知数的次数是1 且等式两边都足整式的方程 在运用一元一次方程的定义解题时 2.关于方程 (2)二元一次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次注意一次项系数不等于0 数都是1的整式方程 的基本概念G3)二元一次方程组:含有两个未知数的两个一次方程所组成的例若(a-2)x2+a=0是关于x的 组方程 元一次方程.则a的值为Q (4)二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解 考点三解一元一次方程和三元一次方程组 (1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数.不要漏乘常数项 3解一元一次 (2法去括号:括号外若为负号,去括号后括号内各项均要变号;失分点警示:方程去分母时,应该将 3)移项:移项要变号 分子用括号括起来,然后再去括号 方程的步(4)合并同类项:把方程化成ax=b(a0) 坊止出现变号借误 (5)系数化为1:方程两边同除以系数a得到方程的解x=ba 思路:消元将二元一次方程终化为一元一次方星 已知方程组.求相关代数式的值时 方法 篱注意观察,有时不解出方程组 4.二元一次①)代人清元法从一个方程中求出某一个未如数的表达式再把利用整体思想解决解方程组例 方种组的解法它代入另一个方程进行求解 2)加减消元法把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未已知2x,则xy的值为xy 知数的方法 考点三:一次方程(组)的实际应用 (1)申题,申清题息,分清题中的已知量、未知量 (1)设水知数时,一酸求什么没什么,但 (2)设未知数 有时为了方便,也可间接设未知数如题囗 5列方组)(阴方程(组):找出等量关系,列方程(组) 中涉及到比值.可以没每一份为x 解应用题的(4)解方程(组) (2)列方程(组)时,注意抓住题目中的 一般步|(5)检验:检验所解答案是否正确或是否满足符合题意 关词语,如共是、等于,大(多)多少 (6)作答:规范作答、注意单位名称 小(少)多少,几倍、几分之几等 (1)利润问题:售价=标价折扣.销售额一售价销量.利润=售价进价.利润率=利润进价×100% (2)利息问题:利息一本金利率期数,本息和“本金+利息 6常见题型及(3)工程问题:工作量工作效率×工作时间 关系式 (4)行程问题:路程=遗度×时间①相问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程 ②追及问题:a同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;b同时不地出发:前者走的路程 +两地间距离追者走的路程
第6讲一元二次方程 考点一:-元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例 1.-元-(定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程 例:方程ax+2=0是关于x的 (2)一般形式:ax2+bx+c=0a0).其中ax2、bx、c分别叫做二次项 次方程的 次项、常数项,a、b,c分别称为二次项系数,一次项系数、常数项,一元二次方程,则方程的根为士1 相关念 (1)真接开平方法:形如(xm)2=m(n0的方程,可直接开平方求解解一元二次方程时,注意观 (2洇因式分解法:可化为(a+m)(bx+n)0的方程,用因式分解法求解察,先特殊后一般,即先考 2.一元二(3)公式法一元二次方程a+b+=0的求根公式为xb 虑能否用直接开平方法和因 次方程 式分解法。不能用这两种方法 (b24ace20) 的解法 解时,再用公式法 (4配方法:当一元二次方程的二次项系数为1.一次项系数为偶数时,例:把方程x46+30变形为 也可以考虑用配方法 (x+hy-k的形式后.h=3k= 考点二:一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 例:方程x2+2x-1=0的判别式 (1)当』=b2-4c20时,原方程有两个不相等的实数根 3根的判(2当小=8b-40时,原方班有两个相等的实数根 等于.故该方程有秀个不相等的 别式 实数根:方程x2+2x+3=0的判 (3)当d=b-4c≌0时,原方程没有实数根 别式等于二8故该方程没有实数 (1)基本关系:若关于x的一元二次方程a2+ bremo(azo)有两个根分与一元二次方程两根相关代数式的 别为x、则+=A≌注意运用根与累数关系的前提条件常见变形 4根与系是 数的关 (2)解题策略:已知一元二次方程,求关于方程两根的代数式的值时,2!,。5等 先把所求代数式变形为含有x+X2、x1x2的式子.再运用根与系数的 失分点警示 关系求解 在运用根与系数关系解题时,注意 前提条件时△=b2.4ac20 考点三:一元三次方程的应用 (1)解题步:①审题:②设未知数:③列元二次方程:④解一元 二次方程:③检验根是否有意义:⑥作答 (2)应用模型:一元二次方程经常在增长率问题、面积间题等方面应用 4列一元①平均增长率(降低率)问题:公式:b=01)y,a表示基数,x表示运用一元二次方程解决实际 二次方 平均塔长率(降低率),n表示变化的次数b表示变化n次后的量:问题时方程一殷有两个实数 程解应②利演问:利演售价,成本;利演率利演成本10m 根.则必须要根据题意检验根 是否有意义 用题 ③传播、比赛问题 ④面积问题:a直接利用相应图形的面积公式列方程;b将不规则图形迺 过割补或平移形成规则图形,运用面积之间的关系列方程
第7讲分式方程 考点-:分式方程及其解法 关键点拨及对应举例 例:在下列方程中,①x2+1=0;② 1定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 x+y=4;③1=x,其中是分式方程的 是 方程两边同乘以 最简公分母 基本思路:分式方程 整式方程 约去分母 2解分式方程 例:将方程 2转化为整式方程可 解法步骤 (1)去分母,将分式方程化为整式方程 得:1-2=2x-1 (2)解所得的整式方程 (3)检验:把所求得的x的值代入最简公分母中,若最 简公分母为0.则应舍去 3增根 使分式方程中的分母为0的根即为培根 例:分式方程0有增根。则培框为 考点二:分式方程的应用 解应用题的/()题:(2)未知数:()列分式方程;()解分方在检验这一步中既爱检验所求未知数的值是 4列分式方程 不是所列分式方程的解,又要检验所求未知数 一般步墨程:(5)检验:(6)作答 的值是不是符含题目的实际意义
第8讲一元一次不等式(组) 考点一:不等式及其基本性质 关键点拨及对应举例 1不等式(1)不等式:用不等号(>,2.,三或)我示不等关系的式子 的相关()不答式的解:使不等式成立的未知数的值 例:"a与b的差不大于1”用不 (3)不等式的解集:使不等式成立的未知数的取值范 等式表示为a-bs 念 性质1:若a>b.则 ate>btc 2.不等式性质2:若>b=0.则aebe. 牢记不等式性质3.注意变号 如:在不等式-2x>4中,若将 的基本 不等式两边同时除以-2.可得 性质性质3:若a>bc0是关于x的 左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式 元一次不等式,则m的值为L (1)步:去分母;去括号:移项:合并同类项:系数化为1 失分点警示 「(2)解集在数轴上表示 4解法 系数化为1时,注意系数的正负 F 性,若系数是负数.则不等式改 变方向 考点三:一元一次不等式组的定义及其解法 5定义 由几个含有问一个未知数的一元一次不等式合在一起,就组成一个一元 次不等式组 (1)在表示解集时“”,“S表 示含有,要用实心点表示 6解法先分别求出各个不等式的解集。再求出各个解集的公共部分 ““表示不包含要用空 心圆点表示 假设a1.则a的取值 x≤a 无解 大大.小小取不了 范围是a)”、“不足(<)“等:b.隐含不等关系:如更省钱”、“更 等字眼,与方程中设未知数 划算“等方案决策问题.一般还竊根援整数解,得出最佳方案
第9讲平面直角坐标系与函数 考点一:平面直角坐标系 关键点拔及对应举例 (1)定义:在平面内有公共原点月互相垂直的两条数轴构成平面直角坐 相关移念 标系 点的坐标先读横坐标(x (2)几何意义:坐标平面内任意一点M与有序实数对x,)的关系是一轴).再读纵坐标(y轴) 对应 (1)各象限内点的坐标的符号特征(如图 (1)坐标轴上的点不 所示】: 第一象限 属于任何象限 点P(xy)在第一象限ex>0 (2)平面直角坐标系 点P(xy)在笫二象限…x0 化情况相同 (2)坐标轴上点的坐标特征 (3)平面直角坐标系 ①在横轴上ey=0:②在纵轴上x=0;③原点x=0.y=0 中求图形面积时,先况 2点的坐标特(3)各象限角平分线上点的坐标 察所求图形是否为规 征 ①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等 则图形,若是,再进 ②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 步寻找求这个图形面 (4)点P(ab)的对称点的坐标特征: 积的因素,若找不到 ①关于x轴对称的点P1的坐标为(a,-b):②关于y轴对称的点2的就要借助割补法 割补 坐标为 法的主要秘決是过点 上移学 ③关 于原点对 称的点P2的坐标向x轴、y轴作垂线 为(-叫左甲移,小拉“a,-b),闻举移 从而将其割补成可以 5)点M(xy)平移的坐标待征 直接计算面积的图形 x,y) M(stay M(xtaxtb 来解决 1)点Mab)到x轴.y轴的距离:到x轴的距离为丛:)到y轴的距离 为a 平行于x轴的直线上的 标点的距点M0M0之间的距离为“,点MCm,DAMA,列间的应额坐标相等:行于 点M0.).MO,y)间的距离为-y,点M(x.m).MAx,月间的坐标想线上的点的横 距离为-x1: 距离为=y 考点二函数 失分点警示 (1)常量、变量:在一个变化过程中,数值始终不变的量叫做常量,数函数解析式,同时有几 值发生变化的量叫做变量 个代数式,函数自变量 4函数的相关(2)函数在个变化过程印,有两个变量和对于x的每二个值,的值范应是各个 根念 数的表示方法有:列表法、图像法、解析法 共部分例:函数 3)函数自变量的取值范图:一般原则为:整式为全体实数;分式的分y中 母不为:二次根式的被开方数为非负数:使实际问题有意义 值范黑是≌3且x5 (1)分析实际问题判断函数图象的方法 读取函数图象堵减性 ①找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到图象 的技巧:①当函数图象 从左到右呈“上升”(下 中找对应点 降”)状态时,函数y ②找特点:交点成转折点,说明图象在此点处将发生变化:随x的大而增大(减 5函数的图象③判断图象趋势:判断出函数的道减性,图象的锁斜方向 小):②函数值变化越 2)以几何图形(动点)为背景判断函数图象的方法 太,图象越陡;③当 ①没时间为t(或线段长为x),找因变量与或)之间存在的函数关系,函数y值始终是同一个 用含或对)的太子表示,再找相应的函数图象要注是否网要分类讨常数那么在这个区间 论自变量的取值范围 平行于x轴的线段
第10讲一次函数 [考点一:一次函数的概念及其图象,性质 关键点技与对应举例 (1)概念:一胶来说,形如y=kx+区k0)的函蚊叫做一次函数特别地,当b=0 1-求函数的()图象形状:一次数y“b是一条经过点和时的直线别1至比肠e数y”,k 时,称为正比例函数 例:当k=⊥时 相关概念王比例函数yk的图象是一条恒经过点()的真练 A,AK>o K>0.b01k0 (1)一次函数ykxb中,k 特号|b>0 定了倾斜方向和倾斜星度b定 大致 了与y交成的位露 围象 (2)比较两个一次函数函数值的 2.一次函数 下]大默法,得数的速象 性质 E,三,=,n也可以运用数代入法 象限 国 例:已知数y-2x+b,函数值 图象yx的增大杰埋大 y随x的增大感小 y晒x的增大成小(填增大成 性质 “减小? (坐标:求一次函数与x的交真,只令y息解出x可:求与y轴的交点例 3-次函数与只需令N息求出y可故一次函数y=k+0的图象与x轴的交点是一次函数y=+2与x轴交点的 竺标集交 () 坐标是(-20).与y轴交点的坐 与y轴的交点是(0.b) 标是(02) 应公标 (2)王比例函数y=kx(k0)的图象过点0,0) 点三1定一次函数的表达式 (1)常用方法:待定系数法,其一放步骤为 定一次函数的表达式阿 ①没:没函数表达式为上k0) 统条件,杰偏定正比例函数的表 ②代:将已知点的坐标代入函数表达式,方程或方程 达式,只一条件可 4确定一次函③解:求出k与b的值,得刻函数达式 2)只要给出一次函数与y堆交 数表站式2)常见类型 公标可得出b的值上值为其级 的条件 ①已知两点偏定表达式:②已知周对函数对应值确定表达式 坐标,可快届题如已知一次 ③平移转化型:如已知函数是由y2x平移压得到的,且经过点(01).则可没要 函数经过点0.2},则可知b2 求函数的解析式为y2xb再把点(01)的坐标代入面可 5一次函数图 疑律:①一次函数需象平移房后k不变,两条直线可以满过平移得,可知它们例:将一次函数y2x+4的图象 的k值相同 向下平移2个单位长度,活得需 象的平移 ②若向上平移h单位,则b值增大h:若向下早移h单位,则b值减小 象的函数关系式为22 考点三:-次函数与方程(如)、不等式的关系 6数与方程 一元一次方星kx+b0的根就是一次函数ykxb化k.b是常数,ko)的图象与x 轴交点的横空标 二元一次方程 例1)已知关于x的方程a+b0 yk1x+b的解口两个一次函数ykx+b和ykxb图象的交 7函数与方程丝标 的解为X1.则研数ya+b与x轴 的交点经标为(10).(2)一次 (1)数ykxb的函数伍y>0时,自安量x的取值待围是不等式kxb>0的数y312中当x24时 S.函数与不等式 解集(2)函数ykxb的函数值y<0时,自变量x的取值落围放是不等式kx+by的值为会数 <0的解 考点四:一次函数的实际应用 (1)设出实际题中的变量 (2)速立一次函数关系式: 一次函数本身并没有最值,但 (3)利用待定系数法求出一次函数关系式 在实际闷题中,自交的取值 (4)确定自变量的取值造图: 往往有一定的层制.其图象为 (5)利用一次函数的性质求相应的值对历求的值进行检验,是否符合实际难义 射线成线段渗及最值问题的 (6)等 一般思》:定函数表达式一 (1)求一次函数的解析式 确定函数增减性→根据自交 1O.见题()利一次温的性质决方问 坐的取值选图确定母值