初中数学利用完全平方公式解题的十种常见应用 1.利用平方差公式分解因式 应用平方差公式,把多项式进行分解因式的方法,就叫做平方差公式法 公式表述为:a-b=(a+b)(a-b)。 应用平方差公式满足的条件: 等式的左边是一个两项多项式,并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算 等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和,另一个因式是等式左边两个平方幂 的底数的差 1直接应用 例1、分解因式:x2-4 分析:左边是两个单项式的差,关键是把数字4写成2,这样,左边就变形为x2-2,这 样,就和公式一致了 解::x-4=x- 2 (x+2)(x-2)。 2、提后用公式 例2、分解因式:3x2 分析:在分解因式时,先考虑提公因式,后考虑用平方差公式法。 3x--27 =3(x-3) 3(x+3)(x-3)。 3、变化指数后用公式 例3、2-1能被60和70之间的两个数整除。这两个数各是多少? 分析 因为,48=2×24,所以,21=(2)21=(24)2,这样,就满足了平方差公式的要求了 因为,48=2×24,所以,24=(2)24=(2
初中数学利用完全平方公式解题的十种常见应用 1. 利用平方差公式分解因式
+1)(2-1)=(2+1)【(2 (1)】 =(2+1)【(2+1)(2-1)】 =(24+1)(21)【(2)2-(1)2 +1)(2+1)【(2+1)(2-1)】 =(2+1)(2+1)(2+1)【(2)-(1)】 (2+1)(2+1)(2+1)【(2+1)(2-1)】 1)(2+1)(2+1)×9×7 =(2+1)(2+1)(2+1)×65×63 因为,整除的两个数在60和70之间, 且60b,b+c>a, a- 所以,(a-btc)(a-bc)<0, 因此,正确的答案是B。 5、乒乓球比赛中的应用 例5、有10为乒乓球选手进行乒乓球单循环比赛(每两人之间均要赛一场)如果用x1,y1 顺次表示第一号选手胜与负的场数,用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数, 用x10,y1o顺次表示第十号选手胜与负的场数,则这10位选手胜的场数的平方和与他们负 的场数的平方和是相等的。 即x1+x2+K+x10-=y12+y2K+y1。。你能用所学的知识解释里面的道理吗? 分析:
因为,是进行的单循环比赛 所以,每一位选手的胜的场数与负的场数是相同的,都是9场, 从比赛的整体来看,所有队员胜的场数与负的场数也一定是相等的 这两个隐含的条件是问题解决的关键所在 解: 因为,是进行的单循环比赛, 所以,x1+y1=9, 同理 x2+y2=9 ,,,,, x10+y10=9, 所以,x1+x2+K+x10=y1+y2+K+y0 所以,(x1+x2+K+x0)-(y1+y2+K+y10)=0, 所以,(x2+x2+K+x12)-(y2+y2K+y12) =(x1-y1)+(x2-y2 (x10-y10) =(x1+y1)(x1-y1)+(x2+y2)(x2-y2)+…+(x10+y10)(xo-y1o) =9(x1-y1)+9(x2-y2)+…+9(x1o-y1o) 9【(x1+x2+K+x10)-(y1+y2+K+yo)】 所以,x2+x2+K+x12=y12+y2K+y102。 2.利用完全平方公式进行分解因式
2. 利用完全平方公式进行分解因式
应用完全平方,把多项式进行分解因式的方法,就叫做完全平方公式法 公式表述为: a +2ab+ b=(a+b) a -2ab+ b=(a-b) 1直接应用 例1、分解因式:x2+4x+4= 分析:关键是把数字4写成2,这样,左边就变形为x+2×x×2+2,这样,就和公式一致 解:x+4x+4=x+2×x×2+2=(x+2) 例2、下列式子中是完全平方式的是() 分析:完全平方公式的条件特点是 多项式中有三项,且多项式的整体符合是:“+,+”或者“-,+ 2、必须有平方幂底数的交叉项的积的2倍。 根据上面的两个特点,去分析,只有D是符合要求的。 解:选D。 2、提后用公式 例3、分解因式axy+axy3-2ax2y2= (2008年聊城市) 分析: 在提后用公式时,要遵循四字要领:提、调、变、套。 具体表述为: 提:提各项的公因式,要提彻底。 调:调整各项的顺序,使之与公式的顺序相同。 变:变化常数项,变化系数,变化指数,使之与公式形式一致。 套:根据题目的特点,套用不同公式,写出最后的答案 在具体的解题过程中,同学们要仔细体会口诀的指导作用 axy(x2+y2-2xy)y…提:提公因式 y(x2-2xy+y2)………调:调整各项的顺序
=axy(x-y)2……套 点评:四字口诀,在解题时,不一定都要同时用到。 3、变化指数后用公式 例3、分解因式:a+-8a2b2+16b 分析 由a4=(a2):b4=(b2) 把原多项式变形成符合公式的形式 解: a4-8a2b2+16b4 =(a2)-8a2b2+(4)(b2) b2+(4b2) (a2-4b2)2 4、换元用 例4、分解因式:(a+b)2-6(a+b)+9 分析:平方幂的底数是一个多项式,为了方便,我们不妨采用换元的思想,把多项式底数转 化成同学们熟悉的单项式底数。 解 设x=a+b 所以,原多项式变形为:x2-6x+9, 所以,x2-6x+9=x26x+32(x3)2, 所以,(a+b)2-6(a+b)+9 =(a+b-3)。 5、综合用 例5、若a、b、c是三角形的三条边长,则代数式,a-2ab-c+b的值: A、大于零B、小于零C、等于零 D、与零的大小无关 分析: t a-2ab-c+b= (a-b)-c=(a-b+c)(a-b-c)
因为、a、b、c是三角形的三条边长, 所以,两边之和一定是大于第三边的,因此,a+c>b,b+c>a, 所以,ab+c>0,a-bc<0 所以,(a-bc )<0 因此,正确的答案是B