初中数学动点问题专项提高练习+答案

初中数学动点问题专项提高练习+答案 动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点它们在线 段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求 静灵活运用有关数学知识解决问题. 关健动中求静 数学思想:分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1,梯形ABCD中,AD‖BC,∠B=90°, AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以 1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移 动,如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒。 当t= 时,四边形是平行四边形:6 当t=时,四边形是等腰梯形.8 D 2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且 DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为 3、如图,在R△ABC中,∠CB=90,∠B=60°,BC=2,点O是C的中点

初中数学动点问题专项提高练习+答案

过点O的直线从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转,交AB边于 点D.过点C作CE∥AB交直线于点E,设直线的旋转角为a (1)①当a 度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长 为 ②当= 度时,四边形EDBC是直角梯形,此时D的长 为 (2)当=9时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明分 理由 解:(1)①30,1:②60,15 (2)当∠α=90°时,四边形EDBC是菱形 (备用图) ∠a=∠ACB=90°,∴BC/ED.CE/AB∴四边形 EDBC是平行四边形 在 Rte ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,∴∠A=30° ∴AB=4,AC=2√.:AO=2=在 RtAAoDI中∠A=30,AD=2 ∴BD=2 BD=BC又四边形EDBC是平行四边形 四边形EDBC是菱形 4、在△ABC中,∠ACB=90°AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥ MN于D,BE⊥MN于E. 图3

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:① ADCA CEB;② DE=AD +BE (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=ADBE; (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎 样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明 解(1∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+ ∠ACD=90° ∠CAD=∠BCE∵AC=BC∴ADC≌△CEB ②∵ADC≌△CEB∴CE=AD,CD=BE∴DE=CE+CD=AD+BE (2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又AC=BC ACD△CBE∴CE=AD,CD=BEDE=CECD=ADBE (3)当MN旋转到图3的位置时,DE=BEAD(或AD=BEDE, BE=AD+DE等) ∵ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴ACD=∠CBE,又∵AC=BC, ∴ACD≌△CBE,∴AD=CE,CD=BE,∴DE=CD-CE=BEAD 5、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点 E是边BC的中点.∠AEF=90,且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于 点F,求证:AE=EF 经过思考,小明展示了一种正确的解题思踣:取AB的中点M,连接 ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF, 在此基础上,同学们作了进一步的研究:

(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是 边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EP 仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果 不正确,请说明理由 (2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意 点,其他条件不变,结论“AE=EF仍然成立.你认为小华的观点正确 吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由 解:(1)正确 证明:在AB上取一点M,使M=EC,连接 BM=BE·∴∠BME=45°,∴∠AME=135° CF是外角平分线,:∠DCF=45°,:∠ECF=135°, ∠AME=∠ECF, ∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°, ∠BAE=∠CEF,:△AME≌△BCF(ASA AE= EF (2)正确 证明:在BA的延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE N=∠PCE=45 四边形ABCD是正方形,:D∥BE, ∠DAE=∠BEA,∠NAE=∠CEF △ANE≌△ECF(ASA)

6、如图,射线MB上MB=9A是射线MB外一点AB=5且A到射线 MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位秒的速度移动, 设P的运动时间为t. 求(1)△PAB为等腰三角形的t值 (2)△PAB为直角三角形的t值; (3)若AB=5且∠ABM=45°,其他条件不变,直接写出△PAB为直 角三角形的t值 7、如图1在等腰梯形ABCD中,D∥BC,E是AB的中点过点E作EF∥BC 交CD于点F,AB=4BC=6,∠B=60°, 求:(1)求点E到BC的距离; (2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作 MN∥AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP=x ①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变, 求出△PMN的周长;若改变,请说明理由 ②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角 形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由

图 图2 第25题) 图4(备用) 图5(备用) 解(1)如图1,过点E作EG⊥BC于点G.∵E为AB的中点,∴ BE=-dB=2 BG=1BE=1,EG=2-1= 在R△EBG中,∠B=60∴∠BEG=30° 即点E到BC的距离为 D (2)①当点N在线段AD上运动时,△PMN的形状不发 生改变 PM⊥EF,EG⊥EF,∴PM∥EG EF∥BC,∴EP=GM,PM=EG=.同理MN=AB=4. 如图2,过点P作PH⊥MN于H,∵MN∥AB D ∴∠MMC=∠B=60°,∠PMH=30° PH=-PM= ·MH=PM心cos30°≈3 则M=MN-MH=4-22 5 在R△PM中,PN=√MH2+PH 3+ 图2

∴△PMN的周长=PM+PN+MN=√3+√7+4 ②当点N在线段DC上运动时,△PMN的形状发生改变,但△MNC恒为等 边三角形 当PM=PN时,如图3,作P⊥MN于R,则MR=NR 类似①,MR= 3 ∴MN=2MR=3. △MC是等边三角形,∴ MC=MN=3 此时,x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2 图 当MP=MN时,如图4,这时MC=MN=MP=.此时, x=EP=GM=6-1-√3=5-3 当 NP= NA 时如图5,∠NPM=∠PMN=30.则∠PMN=120,又MNC=60, ∴∠PMM+∠MNC=1809.因此点P与F重合,△PMC为直角三角形 ∴MC=PMan30°=1.此时,x=EP=GM=6-1-1=4 综上所述,当x=2或4或5-3)时,△PM为等腰三角形 8、如图,已知△ABC中,AB=C=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点 (1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时, 点Q在线段CA上由C点向A点运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等经过1秒后,△BPD与c9P

是否全等,请说明理由 ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点Q的运动速度为多 少时,能够使△BPD与△CDP全等? (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从 点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇? 解:(1)①=1秒,∴B=Cg=3×1=3厘米, 4B=10厘米,点D为AB的中点,∴BD=5厘米 又∵PC=BC-BP,BC=8厘米,∴PC=8-3=5厘米,∴PC=BD 又∵AB=C,∴∠B=∠C,∴△BPD≌△COP ②∵""",∴Bp≠c,又∵△BPD≌△CP.,∠B=∠C,则 BP= PC=4, CO=BD=5 BP 4 ∴点P,点9运动的时间33秒,∴ 3厘米秒。 15 X=3x+2×10 (2)设经过x秒后点P与点9第一次相遇,由题意,得4 解 得3秒 ∴点P共运动了 厘米,∵80=2×28+24,∴点P、点9在AB边上相 ∴经过3秒点P与点9第一次在边AB上相遇

9、如图际示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三 角形,点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动,且EF不与B.C.D 重合 (1)证明不论E「在BC,CD上如何滑动,总有BE=CF (2)当点EF在BC,CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和CEF 的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大 (或最小)值 【答案】解:(1)证明:如图,连接AC 四边形ABCD为菱形,∠BAD=120 ∠BAE+∠EAC=60,∠FAC+∠EAC=60 ∠BAE=∠FAC ∵BAD=120°,∴∠ABF=60°。 ABC和ACD为等边三角形。 ∠ACF=60°,AC=AB8∴∠ABE=∠AFC 在△ABE和4ACF中,∠BAE=∠FAC,AB=AC, ABE=∠AFC, ∴ ABEAACF(A5A∴BE=CF (2)四边形AECF的面积不变,△CEF的面积发生变化。理由如下

由(1)得4 ABEAACF,则 S.ABESACH S四边形AECF=SA+SACF=SA+5ABE=SABC,是定值。 作AH⊥BC于H点,则BH=2, 由“垂线段最短”可知:当正三角形AEF的边AE与 BC垂直时,边AE最短 故△AEF的面积会随着AE的变化而变化且当AE最短时正三角形AEF 的面积会最小, 又5c=S四边形AEC-SAF,则此时△CEF的面积就会最大 5c=5四边形AGF·5AF452y6+5=5 △CEF的面积的最大值是、。 【考点】萎形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和 性质,勾股定理,垂直线段的性质。 【分析】(1)先求证AB=AC,进而求证ABC、△ACD为等边三角形, 得∠ACF=60°,AC=AB,从而求证ABE≌ACF,即可求得BE=CF (2)由4 AB24ACFT可得SABE=SAc,故根据S四边形AECF=SAC+5 AcF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形 AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.△AEF的面积会随着AE的变 化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,根据Sc=S 四边形AEG5ABF,则△CEF的面积就会最大