初中数学《圆》的难点详解 园的概念 集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的軌迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条 直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的 条直线。 二、点与园的位置关系 1、点在圆内→dy→点A在圆外
初中数学《圆》的难点详解
直线与园的位置关系 1、直线与圆相离→d>r→无交点 2、直线与圆切→d=→有一个交点; 3、直线与圆椴交→dR+r; 外切(图2)→有一个交点→d=R+r; 交(图3)→有两个交点→R-<d<R+r; 内切(图4)→有一个交点→d=R-y; 内含(图5)→无交点→d<R-y 图2
理 五、垂径定 垂径定理ε垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其 中2个可推出其它3个结论,即:①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④弧 BC=弧BD⑤弧￡C=弧狃D中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等 即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC=弧BD 8 六、國心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的 相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①∠AOB=∠DOE;②AB=DE ③OC=OF;④弧BA=弧BD
七、园周角定理 1圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一 即:∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∠AOB=2∠ACB 2、圆周角定理的推论 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆 周角所对的弧是等弧; 即:在⊙O中,∵∠C、∠D都是所对的圆周角 ∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧 是半圆,所对的是直径。 即:在⊙O中,∵AB是直径或∴∠C ∴AB是直径 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角开是 直角三角形。 即:在△ABC中,∵OC=O4=OB △ABC是直角三角形或∠C=90° 注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理
八、园内接四边形 奧的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙O中 四边形ABCD是内接四边形 ∵.∠C+∠BAD=180°∠B+∠D=180° DAE=∠C 九、切线的性质与判定定理 (1)切践线的定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵M⊥OA且MN过半径O4外端 ∴M是⊙O的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个
十、切线长定理 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条 切线的夹角。 即:∵PA、PB是的两条切线 PA=PB 平分∠BPA D 十一、园幂定理 相安理:圆两弦相,交点分得的两线的积相, 即:在⊙O中,,弦AB、CD相交于点P,∴PAPB=PCPD (2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项。 即:在⊙O中,∵直径AB⊥CD,∴CE2=AEBE (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切 线长是这点到害线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线 ∴P2=PC.PB (4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等(如上图)。 即:在⊙O中,∵PB、PE是割线∴PCPB=PDPE
十二、兩园公共弦定理 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的 的公共弦。 如图:OO2垂直平分AB 即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点∴OO2垂直平分AB 十三、园的公切线 两圆公切线长的计算公式: (1)公切线长:R△OQC中,AB2=Ca2-√02-c0 (2)外公切线长:CO2是半径之差;内公切线长:CO2是半径之和 十四、园内正多边形的计算 (1)正=角形 在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在R△BOD中进行 OD:BD:OB=1:√:2; (2)正四边形 同理,四边形的有关计算在R△OAE中进行,OE:AE:OA=1:1:√: (3)正六边形 同理,六边形的有关计算在R△OAB中进行,AB:OB:OA=1::2
十五、扇形、园柱和园锥的相关计算公式 1、扇形:(1)弧长公式:1=x, 180 (2)扇形面积公式:S n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径1:扇形弧长S:扇形面积 (1)圆柱侧面展开图S=S+25S=2mh+2m 母蠛长 团圆周长 (2)圆柱的体积 ()锥侧面展开图=xRr+m2 (4)锥的体积:=1m2h