2020年中考数学专题——平行四边形与多边形 基础过关 1.(2019泸州)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列四组条件中,一定能够判定四边形 4BCD为平行四边形的是( A.AD∥BC B OA=OC, OB=OD C.AD∥BC,AB=DC D.AC⊥BD 2.(2019甘肃省卷)如图,足球图片正中的黑色正五边形的内角和是() 第2题图 B.360 C.540° 3.(2019威海)如图,E是ABCD边AD延长线上一点,连接BE,CE,BD,BE交CD于点F,添加以 下条件,不能判定四边形BCED为平行四边形的是() A.∠ABD=∠DCE B DF=CF C.∠AEB=∠BCD D.∠AEC=∠CBD 第3题图 4.(2019咸宁)若正多边形的内角和为540°,则该正多边形的一个外角为 A.l08° B.90° 5.(2019海南)如图,在ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处 若∠B=60°,AB=3,则△ADE周长为( 第5题图 12 6.(2019枣庄)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图①所示),然后轻轻拉紧、压平就可以得到
2020 年中考数学专题——平行四边形与多边形 基础过关 1. (2019 泸州)四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，下列四组条件中，一定能够判定四边形 ABCD 为平行四边形的是( ) A. AD∥BC B. OA＝OC，OB＝OD C. AD∥BC，AB＝DC D. AC⊥BD 2. (2019 甘肃省卷)如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是( ) 第 2 题图 A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 3. (2019 威海)如图，E 是▱ABCD 边 AD 延长线上一点，连接 BE，CE，BD，BE 交 CD 于点 F，添加以 下条件，不能判定四边形 BCED 为平行四边形的是( ) A. ∠ABD＝∠DCE B. DF＝CF C. ∠AEB＝∠BCD D. ∠AEC＝∠CBD 第 3 题图 4. (2019 咸宁)若正多边形的内角和为 540°，则该正多边形的一个外角为( ) A. 108° B. 90° C. 72° D. 60° 5. (2019 海南)如图，在▱ABCD 中，将△ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处， 若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE 周长为( ) 第 5 题图 A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 6. (2019 枣庄)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图①所示)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到
如图②所示的正五边形 ABCDE图中,∠BAC 图② 第6题图 7.(2019锦江区一诊)如图,点E是 DABCD的边AD上一点,且AE:ED=3:2,连接BE并延长,交 CD的延长线于点F若FD=2,则CD= B 第7题图 8.(2019梧州)如图,ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H, 则∠BHF 第8题图 9.(2017成都黑白卷)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=5,∠ABC=60°,平行四边形ABCD 的对角线AC、BD交于点O,过点O作OE⊥AD,则OE 第9题图 10.(2019都江堰区二诊)如图,把边长为6的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形.这个正六边 形的面积为
如图②所示的正五边形 ABCDE.图中，∠BAC＝________°. 第 6 题图 7. (2019 锦江区一诊)如图，点 E 是▱ABCD 的边 AD 上一点，且 AE∶ED＝3∶2，连接 BE 并延长，交 CD 的延长线于点 F.若 FD＝2，则 CD＝________． 第 7 题图 8. (2019 梧州)如图，▱ABCD 中，∠ADC＝119°，BE⊥DC 于点 E，DF⊥BC 于点 F，BE 与 DF 交于点 H， 则∠BHF＝________度． 第 8 题图 9. (2017 成都黑白卷) 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝60°，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，过点 O 作 OE⊥AD，则 OE＝________． 第 9 题图 10.(2019 都江堰区二诊)如图，把边长为 6 的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形．这个正六边 形的面积为________
B H K 第10题图 11(2019云南在平行四边形ABCD中,∠A=30°,AD=43,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等 12.(2019武汉)如图,在ABCD中,E,F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD 3°,则∠ADE的大小是 第12题图 13.(2019株洲)如图,过正五边形 ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P 且∠ABP=60°,则∠APB 第13题图 14.(2019张家界)如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接 DE,分别交BC,AC于点F,G (1)求证:BF=CF (2)若BC=6,DG=4,求FG的长 第14题图
第 10 题图 11. (2019 云南)在平行四边形 ABCD 中，∠A＝30°，AD＝4 3，BD＝4，则平行四边形 ABCD 的面积等 于________． 12. (2019 武汉)如图，在▱ABCD 中，E，F 是对角线 AC 上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD ＝63°，则∠ADE 的大小是________． 第 12 题图 13. (2019 株洲)如图，过正五边形 ABCDE 的顶点 B 作一条射线与其内角∠EAB 的角平分线相交于点 P， 且∠ABP＝60°，则∠APB＝________度． 第 13 题图 14. (2019 张家界)如图，在平行四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BE＝AB，连接 DE，分别交 BC，AC 于点 F，G. (1)求证：BF＝CF； (2)若 BC＝6，DG＝4，求 FG 的长． 第 14 题图
15.(2019福建)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°将△ABC绕点C顺时针旋转一个角度a得到 △DEC,点A,B的对应点分别为D,E (1)若点E恰好落在边AC上,如图①,求∠ADE的大小; (2)若a=60°,F为AC的中点,如图②,求证:四边形BEDF是平行四边形 图① 第15题图 能力提升 1.我们知道,四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,ABCD的顶点A在y轴上,AB∥ 轴,已知点B(4,3),D(2,6),固定A、B两点,拖动CD向右下方移动,使平行四边形的面积缩小为原来 的2,则变换后点D的对应点D′的坐标为() A.(2V3,3) B.(23,6) C.(√13,2V (2V3,4) 第1题图 2.(2019锦江区一诊)如图,AC是 PABCD的对角线,且AC⊥AB,在AD上截取AH=AB,连接BH交 AC于点F,过点C作CE平分∠ACB交BH于点G,且GF=√2,CG=3,则AC=
15. (2019 福建)在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°.将△ABC 绕点 C 顺时针旋转一个角度 α 得到 △DEC，点 A，B 的对应点分别为 D，E. (1)若点 E 恰好落在边 AC 上，如图①，求∠ADE 的大小； (2)若 α＝60°，F 为 AC 的中点，如图②，求证：四边形 BEDF 是平行四边形． 第 15 题图 能力提升 1. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，AB∥x 轴，已知点 B(4，3)，D(2，6)，固定 A、B 两点，拖动 CD 向右下方移动，使平行四边形的面积缩小为原来 的 1 3 ，则变换后点 D 的对应点 D′的坐标为( ) A. (2 3，3) B. (2 3，6) C. ( 13，2 3) D. (2 3，4) 第 1 题图 2. (2019 锦江区一诊)如图，AC 是▱ABCD 的对角线，且 AC⊥AB，在 AD 上截取 AH＝AB，连接 BH 交 AC 于点 F，过点 C 作 CE 平分∠ACB 交 BH 于点 G，且 GF＝ 2，CG＝3，则 AC＝________．
第2题图 满分冲关 1.(2018眉山)如图①,在四边形ABCD中,AC⊥BD于点E,AB=AC=BD,点M为BC中点,N为线 段AM上的点,且MB=MN (1)求证:BN平分∠ABE; (2)若BD=1,连接DN,当四边形DNBC为平行四边形时,求线段BC的长 (3)如图②,若点F为AB的中点,连接FN、FM,求证:△MFN∽△BDC M 图① 图 第1题图
第 2 题图 满分冲关 1. (2018 眉山)如图①，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD 于点 E，AB＝AC＝BD，点 M 为 BC 中点，N 为线 段 AM 上的点，且 MB＝MN. (1)求证：BN 平分∠ABE； (2)若 BD＝1，连接 DN，当四边形 DNBC 为平行四边形时，求线段 BC 的长； (3)如图②，若点 F 为 AB 的中点，连接 FN、FM，求证：△MFN∽△BDC. 第 1 题图
参考答案 基础过关 1.B【解析】一组对边平行无法判定四边形是平行四边形,故A错误;对角线互相平分的四边形是平 行四边形,故B正确;一组对边平行,另一组对边相等无法判定四边形是平行四边形,故C错误:对角线 互相垂直,无法判定四边形是平行四边形,故D错误 2.C【解析】正五边形的内角和为(5-2)×180°=540° 3.C【解析】逐项分析如下 逐项分析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC若∠ABD= ∠DCE,则∠DCE=∠BDC,∴EC∥BD, ∴四边形BCED为平行四边形,不符合题意 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠AEB=∠EBC,∠EDC=∠DCB若DF= CF,则△DEF≌△CBF(AAS),∴EF=BF, ∴四边形BCED为平行四边形,不符合题意 ∠AEB=∠BCD不能证明四边形BCED为平 行四边形,符合题意 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, AB∥CD,∴∠ADB=∠CBD 若∠AEC=∠CBD,∴∠ADB=∠AEC, EC∥BD,∴四边形BCED为平行四边形, 不符合题意 4.c【解析】由多边形内角和公式得540°=(m-2)×180°,∴n=5,:正五边形的一个外角=3=729 5.C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∠B=60°,AB=3,∴CD=3,∠D=60°由折叠的性质 可得,∠E=∠D=60°,CE=CD=3,∴△ADE是等边三角形,DE=2CD=6∴△ADE的周长为AE+AD +DE=3DE=18 6.36【解析】∵五边形 A BCDE是正五边形,∴∠ABC=108°,AB=BC,∴∠BAC=∠ACB 180°-∠ABC 一 2 7.3【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CF,AB=CD,∴△ABE∽△DFE,∴
参考答案 基础过关 1. B 【解析】一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故 A 错误；对角线互相平分的四边形是平 行四边形，故 B 正确；一组对边平行，另一组对边相等无法判定四边形是平行四边形，故 C 错误；对角线 互相垂直，无法判定四边形是平行四边形，故 D 错误． 2. C 【解析】正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°. 3. C 【解析】逐项分析如下： 选项 逐项分析 A ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC， AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC.若∠ABD＝ ∠DCE，则∠DCE ＝∠BDC，∴EC∥BD， ∴四边形 BCED 为平行四边形，不符合题意 B ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC, ∠EDC＝∠DCB.若 DF＝ CF，则△DEF≌△CBF(AAS)，∴EF＝BF， ∴四边形 BCED 为平行四边形，不符合题意 C ∠AEB＝∠BCD 不能证明四边形 BCED 为平 行四边形，符合题意 D ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC, AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD， 若∠AEC＝∠CBD，∴∠ADB＝∠AEC， ∴EC∥BD，∴四边形 BCED 为平行四边形， 不符合题意 4. C 【解析】由多边形内角和公式得 540°＝(n－2)×180°，∴n＝5，∴正五边形的一个外角＝360° 5 ＝72°. 5. C 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠B＝60°，AB＝3，∴CD＝3，∠D＝60°.由折叠的性质 可得，∠E＝∠D＝60°，CE＝CD＝3，∴△ADE 是等边三角形，DE＝2CD＝6.∴△ADE 的周长为 AE＋AD ＋DE＝3DE＝18. 6. 36 【解析】∵五边形 ABCDE 是正五边形，∴∠ABC＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝ 180°－∠ABC 2 ＝36°. 7. 3 【解析】∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴ AE ED＝ AB DF
AE CD EDDF5,∵FD=2,∴CD=3 8.61【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC又∵DF⊥BC于点F,∴∠ADF=∠CFD =90°,∵∠ADC=119,∴∠EDH=∠ADC-∠ADF=119°-90°=29°,∵BE⊥DC,∴∠BED=90°,∴∠BHF =∠DHE=90°-29°=61° 9.√3【解析】如解图,过点C作CF⊥AD于点F,∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=∠ABC 60°,CD=AB=4,OA=0C,:∠DCF=30°,:DF=CD=2,:CF=5DF=2N3,:CF⊥AD,OE⊥AD ∴CF∥OE,∵OA=OC,∴OE是△ACF的中位线,∴OE=CF 第9题解图 10.63【解析】∵六边形 DEHKGE是正六边形,∴∠EDF=∠DFH=∠FHK=∠HKG=∠KGE= ∠GED=120°,DE=DF,∴∠ADE=∠AED=60°,∴△ADE是等边三角形,∴AD=DE=AE.同理BH= BE=FH, AD=DF=BF===2,:. S ERME DFHKGE=6SAADE-6XV3x2-=6V3 11.16或8√5【解析】①如解图①,当∠ABD是锐角时,过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED =∠DEB=90°,在Rt△AED中,∵∠A=30°,AD=4,∴DE=AD=2N3,AE=ADc030=6在R△DEB 中,∵DB=4,DE=2N3,∴EB=DB2-DE2=2…:AB=AE+BE=6+2=8.∴SBCD= ABx DE=8×25 l63:②如解图②,当∠ABD是钝角时,过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90°,在Rt△AED中, ∵∠A=30°,AD=4,∴DE=AD=25,AE= ADcos30°=6.在Rt△DEB中,∵DB=4,DE=2N ∴EB=√DB2-DE2=2…:AB=AE-EB=6-2=4.∴SBCD= ABXDE=4×23=83综上所述,平行四边形 ABCD的面积为16√3或83 图① 图 第11题解图 12.21°【解析】设∠CAD=x,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠CAD=∠ACB=x∵∠A AE=EF,∴AE=DE,∠CAD=∠ADE=x,∴∠DEC=∠CAD+∠ADE=2x又∵AE=DE=DC,∴∠DEC ∠DCE=2x∴∠DCE+∠ACB=2x+x=63°,解得x=21°,∴∠CAD=21° 13.66【解析】∵五边形 ABCDE是正五边形,∴∠EAB=(5-2)×180°÷5=108°AP是∠EAB的角 平分线,∴∠PAB=∠EAB=54°.∵∠ABP=60°,∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=66° 14.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AE ED＝ CD DF＝ 3 2 ，∵FD＝2，∴CD＝3. 8. 61 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC.又∵DF⊥BC 于点 F，∴∠ADF＝∠CFD ＝90°，∵∠ADC＝119°，∴∠EDH＝∠ADC－∠ADF＝119°－90°＝29°，∵BE⊥DC，∴∠BED＝90°，∴∠BHF ＝∠DHE ＝90°－29°＝61°. 9. 3 【解析】如解图，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC ＝60°，CD＝AB＝4，OA＝OC，∴∠DCF＝30°，∴DF＝ 1 2 CD＝2，∴CF＝ 3DF＝2 3，∵CF⊥AD，OE⊥AD， ∴CF∥OE，∵OA＝OC，∴OE 是△ACF 的中位线，∴OE＝ 1 2 CF＝ 3. 第 9 题解图 10. 6 3 【解析】∵六边形 DFHKGE 是正六边形，∴∠EDF＝∠DFH＝∠FHK＝∠HKG＝∠KGE＝ ∠GED＝120°，DE＝DF，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AD＝DE＝AE.同理 BH＝ BF＝FH，∴AD＝DF＝BF＝ 1 3 AB＝2，∴S 正六边形 DFHKGE＝6S△ADE＝6× 3 4 ×22＝6 3. 11. 16 3或 8 3 【解析】①如解图①，当∠ABD 是锐角时， 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则∠AED ＝∠DEB＝90°，在 Rt△AED 中，∵∠A＝30°，AD＝4 3 ，∴DE＝ 1 2 AD＝2 3，AE＝AD·cos30°＝6.在 Rt△DEB 中，∵DB＝4，DE＝2 3，∴EB＝ DB2－DE2＝2 .∴AB＝AE＋BE＝6＋2＝8. ∴S▱ABCD＝AB×DE＝8×2 3＝ 16 3；②如解图②， 当∠ABD 是钝角时，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，则∠AED ＝90°，在 Rt△AED 中， ∵∠A＝30°，AD＝4 3 ，∴DE＝ 1 2 AD＝2 3，AE＝AD·cos30°＝6. 在 Rt△DEB 中，∵DB＝4，DE＝2 3， ∴EB＝ DB2－DE2＝2.∴AB＝AE－EB＝6－2＝4. ∴S▱ABCD＝AB×DE＝4×2 3＝8 3 .综上所述，平行四边形 ABCD 的面积为 16 3或 8 3. 图① 图② 第 11 题解图 12. 21° 【解析】设∠CAD＝x，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠CAD＝∠ACB＝x.∵∠ADF＝90°， AE＝EF，∴AE＝DE，∠CAD＝∠ADE＝x，∴∠DEC＝∠CAD＋∠ADE＝2x.又∵AE＝DE＝DC，∴∠DEC ＝∠DCE＝2x.∴∠DCE＋∠ACB＝2x＋x＝63°，解得 x＝21°，∴∠CAD＝21°. 13. 66 【解析】∵五边形 ABCDE 是正五边形，∴∠EAB＝(5－2)×180°÷5＝108°.∵AP 是∠EAB 的角 平分线，∴∠PAB＝ 1 2 ∠EAB＝54°.∵∠ABP＝60°，∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝66°. 14. (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB=CD,AB∥CD ∵BE=AB, ∴BE=CD 在△BEF和△CDF中 ∠E=∠CDF ∠EFB=∠DFC BE=CD ∴△BEF≌△CDF(AAS) BF=CF: (2)解:∵AD∥CF, ∴△ADG∽△CFG AD GD CF GF AD=BC=2CF=6, GD=4 ∴FG=2. 15.(1)解:在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°, ∠BAC=60° 由旋转性质得,DC=AC,∠DCE=∠ACB=30 ∴∠DAC=∠ADC=(180°-∠DCE)=75° 又∵∠EDC=∠BAC=60°, ∠ADE=∠ADC-∠EDC=15°; (2)证明:在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30° ∴AB==AC ∵F是AC的中点, ∴BF=FC==AC ∠FBC=∠ACB=30° 由旋转性质得 AB=DE,∠DEC=∠ABC=90°,∠BCE=∠ACD=60°, DE=BF 如解图,延长BF交EC于点G,则∠BGE=∠GBC+∠GCB=90°, ∴∠BGE=∠DEC, DE∥BF ∴四边形BEDF是平行四边形
∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠E＝∠CDF. ∵BE＝AB， ∴BE＝CD. 在△BEF 和△CDF 中， ∠E＝∠CDF ∠EFB＝∠DFC， BE＝CD ∴△BEF≌△CDF(AAS)． ∴BF＝CF； (2)解：∵AD∥CF， ∴△ADG∽△CFG， ∴ AD CF＝ GD GF. ∵AD＝BC＝2CF＝6，GD＝4， ∴FG＝2. 15. (1)解：在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝60°. 由旋转性质得，DC＝AC，∠DCE＝∠ACB＝30°. ∴∠DAC＝∠ADC＝ 1 2 (180°－∠DCE)＝75°. 又∵∠EDC＝∠BAC＝60°， ∴∠ADE＝∠ADC－∠EDC＝15°； (2)证明：在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°， ∴AB＝ 1 2 AC. ∵F 是 AC 的中点， ∴BF＝FC＝ 1 2 AC， ∴∠FBC＝∠ACB＝30°. 由旋转性质得， AB＝DE，∠DEC＝∠ABC＝90°，∠BCE＝∠ACD＝60°， ∴DE＝BF. 如解图，延长 BF 交 EC 于点 G，则∠BGE＝∠GBC＋∠GCB＝90°， ∴∠BGE＝∠DEC， ∴DE∥BF， ∴四边形 BEDF 是平行四边形．
第15题解图 能力提升 1.D【解析】∵ABCD的顶点A在y轴上,B(4,3),∴A(0,3),∴AB=4∴∵D(2,6),∴SBCD=4×(6 3)=12∵移动后,平行四边形的面积缩小为原来的,:SAD,=3Sm2=4,∴:D到AB的距离为1 ∴D的纵坐标为4,设D(x,4).∵AD=√2+32=√h3,∴AD=+1=√13,∴D(2√⑤,4 15 【解析】如解图,连接AG,分别过点G、F作GN⊥AC于点N,FM⊥EC于点M∵四边形 5 ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AHB=∠HBC,∵AB=AH,∴∠ABH=∠AHB,∴∠ABH=∠CBH ∵∠ECA=∠ECB,∠ABC+∠ACB=90°,∴∠GBC+∠GCB=45°,∴∠FGC=∠GBC+∠GCB=45 FM⊥CG,GN⊥AC,FG FM=GM=1,∵CG=3,∴CM=2,∴tan∠FCM CM CM CN =2GN, co=a+C=3,:N=35,c=6 ABC的角平分线,∠MG=,N=4的个S.:BG,CG是ABC的角平分线,:G也是△ 第2题解图 满分冲关 1.(1)证明:∵AB=AC,点M是BC的中点 ∴AM⊥BC,AM平分∠BAC ∵AC⊥B ∴∠CBE+∠ECB=90° 又∵∠ECB+∠CAM=90° ∠BAN=∠CAM=∠MBE MB=MN ∴∠MNB=∠MBN ∠MNB=∠ABN+∠BAN,∠MBN=∠MBE+∠NBE, ∠ABN=∠NBE
第 15 题解图 能力提升 1. D 【解析】∵▱ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，B(4，3)，∴A(0，3)，∴AB＝4.∵D(2，6)，∴S▱ABCD＝4×(6 －3)＝12.∵移动后，平行四边形的面积缩小为原来的1 3 ，∴S▱ABC′D′＝ 1 3 S▱ABCD＝4，∴D′到 AB 的距离为 1， ∴D′的纵坐标为 4，设 D′(x，4)．∵AD＝ 2 2＋3 2＝ 13，∴AD′＝ x 2＋1＝ 13，∴D′(2 3，4)． 2. 9 5 5 【解析】如解图，连接 AG，分别过点 G、F 作 GN⊥AC 于点 N，FM⊥EC 于点 M.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AHB＝∠HBC，∵AB＝AH，∴∠ABH＝∠AHB，∴∠ABH＝∠CBH， ∵∠ECA＝∠ECB，∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠GBC＋∠GCB＝45°，∴∠FGC＝∠GBC＋∠GCB＝45°， ∵FM⊥CG，GN⊥AC，FG＝ 2，∴FM＝GM＝1，∵CG＝3，∴CM＝2，∴tan∠FCM＝ FM CM＝ NG CN＝ 1 2 ，∴CN ＝2GN，∵CG＝ GN2＋CN2＝3，∴GN＝ 3 5 5 ，CN＝ 6 5 5 ，∵BG，CG 是△ABC 的角平分线，∴AG 也是△ ABC 的角平分线，∴∠NAG＝45°，∴AN＝GN＝ 3 5 5 ，∴AC＝AN＋NC＝ 9 5 5 . 第 2 题解图 满分冲关 1. (1)证明：∵AB＝AC，点 M 是 BC 的中点， ∴AM⊥BC，AM 平分∠BAC. ∵AC⊥BD， ∴∠CBE＋∠ECB＝90°. 又∵∠ECB＋∠CAM＝90°， ∴∠BAN ＝∠CAM＝∠MBE. ∵MB＝MN， ∴∠MNB＝∠MBN. ∵∠MNB＝∠ABN＋∠BAN，∠MBN＝∠MBE＋∠NBE， ∴∠ABN＝∠NBE
BN平分∠ABE: (2)解:∵点M为BC中点, MB=MN ∴MB=MN==BC ∵四边形DNBC为平行四边形, BN=CD,BN∥CD, ∠DBN=∠BDC 由(1)知∠ABN=∠DBN ∴∠ABN=∠BDC ∵AB=BD=1 △ABN≌△ BDC(SAS), ∴AN=BC ∴AM=AN+MN==BC 由(1)中条件可知AM⊥BC,即∠AMB=90° ∴AM+MB2=AB2,即(BC)2+(=BC)2=1 解得BC=Y0 (3)证明:∵点F,M分别是AB,BC的中点, ∴FM∥AC,FM==AC. AC=BD, FM=BD,即FM 点M为BC中点,MB=MN, MB=MN==BC,即一= BC 2 M MN BD BC AM⊥BC, ∠NMF+∠FMB=90° FM∥AC ∠ACB=∠FMB ∴∠ACB+∠CBD=90°, ∠NMF=∠CBD △MFN∽△BDC
即 BN 平分∠ABE； (2)解：∵点 M 为 BC 中点， MB＝MN， ∴MB＝MN＝ 1 2 BC. ∵四边形 DNBC 为平行四边形， ∴BN＝CD，BN∥CD， ∴∠DBN＝∠BDC. 由(1)知∠ABN＝∠DBN， ∴∠ABN＝∠BDC. ∵AB＝BD＝1， ∴△ABN≌△BDC(SAS)， ∴AN＝BC， ∴AM＝AN＋MN＝ 3 2 BC. 由(1)中条件可知 AM⊥BC，即∠AMB＝90°， ∴AM2＋MB2＝AB2，即( 3 2 BC) 2＋( 1 2 BC) 2＝1. 解得 BC＝ 10 5 ； (3)证明：∵点 F，M 分别是 AB，BC 的中点， ∴FM∥AC，FM＝ 1 2 AC. ∵AC＝BD， ∴FM＝ 1 2 BD，即FM BD＝ 1 2 . ∵点 M 为 BC 中点，MB＝MN， ∴MB＝MN＝ 1 2 BC，即MN BC＝ 1 2 ， ∴ FM BD＝ MN BC. ∵AM⊥BC， ∴∠NMF＋∠FMB＝90°. ∵FM∥AC， ∴∠ACB＝∠FMB. ∵∠CEB＝90°， ∴∠ACB＋∠CBD＝90°， ∴∠NMF＝∠CBD. ∴△MFN∽△BDC