中考数学几何压轴题探究 中考数学重难点题型 12道几何探究题解析 考点1三角形几何探究 1如果三角形的两个内角a与满足2a+β=90°,那么我们称这样的三角形为准 互余三角形 (1)若△ABC是准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B=15°; (2)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5若AD是∠BAC的平 分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”试问在边BC上是否存在点E(异于点 D),使得△ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请 说明理由 (3)如图2,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD, 且△ABC是准互余三角形”,求对角线AC的长 B 图2 解:(1)∴△ABC是准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,∴2∠B+∠A=90, 解得∠B=15° (2)如答图1,在Rt△ABC中,∵∠B+∠BAC=90°,∠BAC=2∠BAD,∴∠B 2∠BAD=90°
中考数学几何压轴题探究
∴△ABD是准互余三角形” ∵△ABE也是“准互余三角形” ∴只有2∠B+∠BAE=90° ∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°,∴∠CAE=∠B. ∴△CAE∽△CBA,∴CA2=CECB, ∴CE=,∴BE=5-0= 图1 图2 (3)如答图2,将△BCD沿BC翻折得到△BCF ∴CF=CD=12,∠BCF=∠BCD,∠CBF=∠CBD ∵∠ABD=2∠BCD,∠BCD+∠CBD=90°, ∴∠ABD十∠DBC+∠CBF=180°,∴点A,B,F共线, ∴∠A+∠ACF=90°,∴2∠ACB+∠CAB90°, ∴只有2∠BAC+∠ACB=90°,∴∠FCB=∠FAC. ∵∠F=∠F,∴△FCB∽△FAC,∴CF2=FBFA,设FB=x,则有x(x+7)=12, ∴x=9或x=-16(舍去), ∴AF=7+9=16,在Rt△ACF中,AC=AF2+CF2=162+122=20 2将一副三角尺按图1摆放,等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB
与AC相交于点G,BC=23cm (1)求GC的长; (2)如图2,将△DEF绕点D顺时针旋转,使直角边DF经过点C,另一直角边 DE与AC相交于点H,分别过H,C作AB的垂线,垂足分别为M,N,通过观 察,猜想MD与ND的数量关系,并验证你的猜想 (3)在(2)的条件下,将△DEF沿DB方向平移得到△DEF,当DE恰好经过() 中的点G时,请直接写出DD的长度 E 60 B A M D N B D(H)D B(K) 图 图2 图3 解:(1)在Rt△ABC中,∵BC=23,∠B=60°, ∴AC= BC. tan60°=6,AB=2BC=43, 在Rt△ADG中,AG=AD=4 cos30° ∴CG=AC-AG=6-4=2 (2)结论:DM+DN=23 理由:∵HM⊥AB,CN⊥AB, ∴∠AMH=∠DMH=∠CNB=∠CND=90° ∵∠A+∠B=90°,∠B+∠BCN=90°, ∠A=∠BCN,:△AHM∽△CBN,∴AM=HM CN BN 同理可证:△DHM∽△CDN DN CN MH DM
由①②可得AMBN=DNDM,:,DM=N, AM DN DM+AM BN+DN. AD BD AM DN AM DN ∵AD=BD,∴AM=DN, DM+DN=AM+DM=AD=2 3 E DO)D B(K) 第2题答图 (3)如答图,作GK∥DE交AB于K 在△AGK中,AG=GK=4,∠A=∠GKD=30°,作GH⊥AB于H 则AH= AG. cos30=23, 可得AK=2AH=43,此时K与B重合 ∴DD’=DB=23 考点2四边形几何探究 3我们定义:有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形 概念理解 (1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形; 性质探究 (2)如图1,在邻对等四边形ABCD中,∠ABC=∠DCB,AC=DB,ABCD, 求证:∠BAC与∠CDB互补;
拓展应用 (3)如图2,在四边形ABCD中,∠BCD=2∠B,AC=BC=5,AB=6,CD=4 在BC的延长线上是否存在一点E,使得四边形ABED为邻对等四边形?如果存 在,求出DE的长;如果不存在,说明理由 B 图1 图2 (1)解:矩形或正方形 (2)证明:如答图1,延长CD至E,使CE=BA,连接BE 在△ABC和△ECB中,∠ABC=∠ECB, ∴△ABC≌△ECB(SAS) ∴BE=CA,∠BAC=∠E ∵AC=DB,∴BD=BE,∴∠BDE=∠E, ∴∠CDB十∠BDE=∠CDB+∠E=∠BAC+∠CDB=180°,即∠BAC与∠CDB 互补 图1 图2 (3)解:存在这样一点E,使得四边形ABED为邻对等四边形,如答图2,在BC 的延长线上取一点E,使得CE=CD=4,连接DE,AE,BD,则四边形ABED
为邻对等四边形理由如下: CE=CD,∴∠CDE=∠CED ∵∠BCD=2∠ABC, ∠ABC=∠D ∴∠ACE=∠BCD AC=BC 在△ACE和△BCD中,ACE=∠BCD, CE=CD, ∴△ACE≌△BCD(SAS) ∴BD=AE,四边形ABED为邻对等四边形 ∵∠CBA=∠CAB=∠CDE=∠CED ∴△ABC∽△DE Ab 6 DE DE ∴DE BC 5 CE 4将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0<a<360°),得到矩形AEFG 备用图 (1)如图,当点E在BD上时求证:FD=CD (2)当a为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由 解:(1)由旋转可得,AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°,EF=BC=AD, ∴∠AEB=∠ABE ∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF
∴∠EDA=∠DEF DE=ED,∴△AED≌△FDE(SAS), ∴DF=AE, ∵AE=AB=CD,∴CD=DF. (2)当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论: ①当点G在AD右侧时,如答图1,取BC的中点H,连接GH交AD于M, ∵GC=GB,∴GH⊥BC,∴四边形ABHM是矩形, ∴AM=BH=AD=AG, GM垂直平分AD,∴GD=GA=DA, △ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°, ∴旋转角a=60°; B E 图 图2 ②当点G在AD左侧时,如答图2,同理可得△ADG是等边三角形,∴∠DAG 旋转角a=360°-60°=300° 综上,a为60°或3009时,GC=GB 5如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E在AB边上(不与点A,B重合)
点F在BC边上(不与点B,C重合) 第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形上时,记为点G 第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形上时,记为点H; 依此操作下去 (1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为等边三角形,求此时线 段EF的长; (2)若经过三次操作可得到四边形EFGH ①请判断四边形EFGH的形状为正方形,此时AE与BF的数量关系是AE=BF; ②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x 的函数关系式及面积y的取值范围 图 图2 备用图 解:(1)如题图2,由旋转性质可知EF=DF=DE,则△DEF为等边三角形 AD=CD, 在Rt△ADE和Rt△CDF中, DE=DF ∴R△ADE≌Rt△CDF(HL∴AE=CF 设AE=CF=x,则BE=BF=4—x ∴△BEF为等腰直角三角形 ∴EF=2BF=2(4-x) ∴DE=DF=EF=2(4-x) 在Rt△ADE中,由勾股定理得AE2+AD2=DE2,即x2+42=[2(4-x)2
解得x1=8-43,x2=8+43(舍去) ∴EF=2(4-x)=46-42 △DEF的形状为等边三角形,EF的长为46-42 图1 第5题答图 (2)①四边形EFGH的形状为正方形,此时AE=BF理由如下: 依题意画出图形,如答图所示,连接EG,FH,作HN⊥BC于N,GM⊥AB于 由旋转性质可知,EF=FG=GH=HE ∴四边形EFGH是菱形, 由△EGM≌△FHN,可知EG=FH, ∴四边形EFGH的形状为正方形,∴∠HEF=909 ∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3 ∴∠3+∠4=90°,∠2+∠3=90°,∴∠2=∠4 在△AEH和△BFE中,H=EF ∴△AEH≌△BFE(ASA),∴AE=BF ②利用①中结论,易证△AEH,△BFE,△CGF,△DHG均为全等三角形, BF=CG=DH=AE=x AH=BE=CF=DG=4-x
∵y=S正方形ABCD-4S△AEH=4×4-4×x(4-x)=2x2-8x+16,∴y=2x2-8x+ 16(0AE时,求证:PE=PC 深入探究 当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,求整个运动过程中 BE的取值范围 D C 备用图 解:特殊求解 ∵PE⊥PC,∴∠APE+∠DPC=90° ∵∠D=90°,∴∠DPC+∠DCP=90° ∴∠APE=∠DCP