第一篇代数 1、(1)有理数:整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:-3,3,0.231, 0.737373…,v9,v-8. (2)无理数无限不环循小数叫做无理数.如:π,-45,sin60°,0.101001000…(两个1之间依次多1个0)等 (3)实数有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点一一对应 绝对值:a≥0分|al 3.14-丌 π-3.14 3、近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.0597 精确到0001得0.060,结果有两个有效数字6,0:20×102精确到十位,20精确到十分位,有效数字都有两个20 4、科学记数法:把一个数写成±a×10的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法.如:-40700=-407 ×104,0.000043=4.3×10-5.有效数学字往往和科学计数法结合起来考,10435000(保留4个有效数字)=1044×107,10435000 (保留2个有效数字)=10×107,00000283500(保留2个有效数字)=33×10-5,-0000008600(保留2个有效数字) =-3.0×10-5 5、整式的乘除法:①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.②单项式乘以多项式,用单项 式乘以多项式的每一个项.③多项式乘以多项式,用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.④多项式除以 单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(单项式、多项式的次数、系数)-41ab写法错误应写成13ab 个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如-5a3b2c是6次单项式。例如:① 的系数为 次数为5次、@3的系数为一,次数为3次 6、幂的运算性质:①d×d=am+n.②m÷d"=dm(a≠0).③(d")"=dm.④(ab)=d"b.⑤a=(a≠0),⑥dp=1(a ≠0).如:a3×a2=a5,a5÷a2=ar,(a)2=d,(3a)3=27a,(-3)1=-3,52=3=25, 322=2)2=2,(-314)=1,( (3-2)(√3-2)=(-2)-(3P=1 7、乘法公式(反过来就是因式分解的公式): ①平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.符号相同的项的平方减去只有符号不同项的平方 (a-b-c)(a+b-c(a-c)-b2= ②完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.各项平方和带上两两积2倍 (2a-b+3c)=4a2+b2+9c2-4ab+12ac-6bc 8、选择因式分解方法是:先看能否提公因式.在没有公因式的情况下:二项式用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b),三项式 用十字相乘法(特殊的用完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2),三项以上用分组分解法.注意:因式分解要进行到每一个多 项式因式都不能再分解为止.因式分解一定要注意最后结果是乘积的形式
1 第一篇 代数 1、(1)有理数: 整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3， ，0.231， 0.737373…， ， ． (2)无理数:无限不环循小数叫做无理数．如：π，－ ，sin60°，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等． (3)实数:有理数和无理数统称为实数．实数与数轴上的点一一对应。 2、绝对值：a≥0 丨a丨＝a；a≤0 丨a丨＝－a．如：丨－ 丨＝ ；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972 精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0；2.0× 2 10 精确到十位，2.0 精确到十分位，有效数字都有两个2,0. 4、科学记数法:把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07 ×104，0.000043＝4.3×10－5．有效数学字往往和科学计数法结合起来考， 10435000 （保留4个有效数字） 7 =1.04410 ，10435000 （保留2个有效数字） 7 = 1.010 ，0.00003283500 （保留2个有效数字） 5 3.3 10− = ，−0.00003008500 （保留2个有效数字） 5 3.0 10− = − 5、整式的乘除法：①几个单项式相乘除，系数与系数相乘除，同底数的幂结合起来相乘除．②单项式乘以多项式，用单项 式乘以多项式的每一个项．③多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项．④多项式除以 单项式，将多项式的每一项分别除以这个单项式．（单项式、多项式的次数、系数） 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如 a b c 3 2 − 5 是 6 次单项式。例如：① 5 3 2 3 x y − 的系数为 5 3 − ， 次数为 5 次；② 3 2 a b − 的系数为 3 − ，次数为 3 次。 6、幂的运算性质：①a m×a n＝a m＋n．②a m÷a n＝a m－n (a≠0)．③(a m ) n＝a mn．④(ab) n＝a n b n．⑤ a －n＝ n a 1 (a≠0)，⑥a 0＝1(a ≠0)．如：a 3×a 2＝a 5，a 6÷a 2＝a 4，(a 3) 2＝a 6，(3a 3) 3＝27a 9，(－3) －1＝－ ，5 －2＝ ＝ ， ( ) －2＝( ) 2＝ ，(－3.14)º＝1，( － ) 0＝1． 7、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)： ①平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a 2－b 2．符号相同的项的平方减去只有符号不同项的平方 （a-b-c)(a+b-c)=(a-c)2 -b 2=…… ②完全平方公式 (a±b) 2＝a 2±2ab＋b 2．各项平方和带上两两积2倍 8、选择因式分解方法是：先看能否提公因式．在没有公因式的情况下：二项式用平方差公式a 2－b 2=(a＋b)(a－b)，三项式 用十字相乘法(特殊的用完全平方公式a 2±2ab＋b 2=(a±b) 2)，三项以上用分组分解法．注意：因式分解要进行到每一个多 项式因式都不能再分解为止．因式分解一定要注意最后结果是乘积的形式 . 3 13 ! - 3 1 4 2 2 − a b写法错误 应写成 a b ( 3 2)( 3 2) ( 2) ( 3) 1 2 2 − − − = − − = (2a b 3c) 4 a b 9 c 4ab 12ac 6bc 2 2 2 2 − + = + + − + −
9.分式:整式A除以整式B,可以表示成的形式,如果除式B中含有字母,那么称为分式注:()若B≠0,则B有 意义:(2)若B,赡无意义:(2)若A0且B≠0,哈,对于化简求值的题型,代入的值要使分母有拿义 10、分式的运算:乘除法要先把分子、分母都分解因式,并颠倒除式,约分后相乘:加减法应先把分母分解因式,再通分(不 能去分母).注意:结果要化为最简分式 11、平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根(也叫做二次方根式)。一个正数 有两个平方根,它们互为相反数:0只有一个平方根,它是0本身:负数没有平方根 12.算术平方根:一般地,如果一个正数ⅹ的平方等于a即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,0的算术平方根 是0. 13.二次根式:(1)最简二次根式应满足的条件:(1)被开方数的因式是整式或整数:(2)被开方数中不含有能开得尽的因 数或因式,如√5a,3x2+2y2,a2+b2是最简二次根式,而√,√(a+b),√48ab2、0x则不是最简二次根式几个 次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式如①√3与√27(27化简得3 ②若最简二次根式F与几是同类二次根式,则=3化简为 (3).二次根式运算注意事项:(1)二次根式相加减,先把各根式化为最简二次根式,再合并同类二次根式,防止:①该化 简的没化简:②不该合并的合并:③化简不正确:④合并出错.(2)二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化 计算,运算结果一定写成最简二次根式或整式 (4)二次根式化简:注意Va2=同的运用例如①)y(x-2)2=x-2=x-2(x≥2) (N3-2)-N3-2-2-(d=-da=Na=0-a隐含条件a≤0 易错点:平方根与算术平方根不分,如64的平方根为士8,易丢掉-8 a=-G,√6=4,√64=8.3√64=4,3、125=5,√16的算术平方根是2:√6的平方根是±2 14.一元二次方程 元二次方程:只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为0,这样的方程叫一元二次方程. 般形式: 2+bx+c=0(a 一元二次方程ax2+bx+c=0:ax2+bx+c=0是一元二次方程:方程ax2+bx+=0有两个解均说明a≠0。 只说方程ax2+bx+c=0可能一元一次方程也可能一元二次方程 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 (2)配方法:步骤是①化二次项系数为1,方程两边同除以二次项系数:②移项,使方程的左边为二次项和一次项,右边为 常数项;③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方:④化原方程为(x+m)2=n的形式;⑤如果n≥0就可以用两边 开平方来求出方程的解;如果n<0,则原方程无解. (32公式法:公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法一元二次方程的求根公式是x==b±Vb2-4(62-4a≥ 0) (4)因式分解法:步骤是①将方程右边化为0:②将方程左边分解为两个一次因式的乘积③令每个因式等于0,得到两个一元 次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解 元二次方程的注意事项 (1)在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0.因当a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程.如关于x的方程 (k2-1)x2+2kx+1=0中,当k=±1时就是一元一次方程了
2 2 + 2 = 2( 2 +1) 9.分式:整式 A 除以整式 B，可以表示成A B 的形式，如果除式．．B．中含有字母 ．．．．．，那么称A B 为分式．注：（1）若 B≠0，则A B 有 意义；（2）若 B=0，则A B 无意义；（2）若 A=0 且 B≠0，则A B =0 。对于化简求值的题型，代入的值要使分母有意义 ．．．．．。 10、分式的运算：乘除法要先把分子、分母都分解因式，并颠倒除式，约分后相乘；加减法应先把分母分解因式，再通分(不 能去分母)．注意：结果要化为最简分式． 11、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a,即 x 2=a 那么这个数 a 就叫做 x 的平方根（也叫做二次方根式）。一个正数 有两个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根． 12．算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x 2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，0 的算术平方根 是 0． 13.二次根式：（1）最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因 数或因式．如 2 2 2 2 5a, 3x + 2y , a + b 是最简二次根式，而 (a b) ab x b a , , 48 , 0.5 2 2 + 则不是最简二次根式：几个 二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 如① 3 与 27( 27化简得3 3) ②若最简二次根式 3 3 3 1 3 . 3 1 x与 是同类二次根式，则x＝ 化简为 （3）.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化 简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化 计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． （4）二次根式化简：注意 a = a 2 的运用 例如 ⑴ ( 2) 2 2 2 x − = x − = x − （x≥2） (2) ( 3 2) 3 2 2 3 2 − = − = − (3) ( 0) 3 2 − a = − a a = a − a = −a − a 隐含条件a 易错点：平方根与算术平方根不分，如 64 的平方根为士 8，易丢掉－8； 3 3 − a = − a ， 16 4, 64 8, 64 4, 125 5 3 3 = = = = ， 16 的算术平方根是 2； 16 的平方根是±2； 14．一元二次方程： 一．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程． 一般形式：ax2＋bx+c=0(a．≠．0．） 一元二次方程 ax2＋bx+c=0；ax2＋bx+c=0 是一元二次方程；方程 ax2＋bx+c=0 有两个解均说明 a．≠．0．。． 只说方程 ax2＋bx+c=0 可能一元一次方程也可能一元二次方程 二．一元二次方程的解法： (1)直接开平方法 (2) 配方法：步骤是①化二次项系数为 1，方程两边同除以二次项系数；②移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为 常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n 的形式；⑤如果 n≥0 就可以用两边 开平方来求出方程的解；如果 n＜0，则原方程无解． (3)公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．一元二次方程的求根公式是 (b2－4ac≥ 0) (4)因式分解法：步骤是①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积③令每个因式等于 0，得到两个一元 一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 三．一元二次方程的注意事项： ⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调．．a．≠．0．．因当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于 x 的方程 （k 2－1）x 2+2kx+1=0 中，当 k=±1 时就是一元一次方程了． a b b ac x 2 4 2 − − =
(2)应用求根公式解一元二次方程时应注意:①化方程为一元二次方程的一般形式;②确定a、b、c的值:③求出b2-4ac 的值:④若b2-4ac≥0,则代人求根公式,求出x1,x2.若b2-4ac0有两个不相等的实数根△20有两个实数根 △=0有两个相等的实数根 △3,得x-3,得x>-6 2x<3x+4 例(2)解不等式组{1-xx 并把解集表示在数轴上 解:由①得 由②得2-2x≥3x∴x≤3 ∴原不等式的解集为-4<x≤ 注:若又要求整数解,请务必注意看清要求,得整数解为一3,-2,-1,0 解应用题设、列、解、验(明验如分式方程,人数为负数:暗验是否符合题目中范围等)、答。最后一定要写答(一般1分) 17.平面直角坐标系:①各限象内点的坐标如图所示 ②横轴轴)上的点,纵坐标是0:纵轴轴)上的点,横坐标是0.第限象限象 (-+)(,+) ③关于横轴对称的两个点,横坐标相同(纵坐标互为相反数) 关于纵轴对称的两个点,纵坐标相同(横坐标互为相反数) 关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标都互为相反数 席三限象笫四跟象 P(x,y)关于x轴对称P1(x,-y)(即x不变);到x轴的距离为y P(x,y)关于y轴对称P2(一x,y)(即y不变):到y轴的距离为 P(x,y)关于原点对称P1(-x,-y)(即x,y都变);:到原点的距离为√x2+y2 与坐标有关的常用公式 距离公式:Px,y),Qx2,y2则PQ=√(x1-x2)2+(1-y2)常用PQ2=(x-x)2+(x-y2)
3 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 P(x , y )，Q(x , y )则PQ = (x − x ) + ( y − y ) 常用PQ = (x − x ) + ( y − y ) ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定 a、b、c 的值；③求出 b 2－4ac 的值；④若 b 2－4ac≥0，则代人求根公式，求出 x1 ,x2．若 b 2－4ac＜0，则方程无解． ⑶ 方程两边不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4），得-2（x+4）=3 或 x+4=0 ⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外），x 2 -8x=…适合配方解，x 2 -7x=…不适合配方解，应用题中较 大数据如 x 2 -6x-7912=0 适合配方解，配方方法很重要，对二次三项式的配方可求最值。应用题中增长率 a(1±x)2 =b 直接开 平方。解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法． 四.根的判别式为△＝b 4ac 2 − 无实数根 ＝ 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 0 0 0 (注意 a．≠．0) ．． 五、根与系数的关系： 六、一元二次方程的应用：面积问题; 增长率 a(1±x)2 =b; 销售问题 15．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程的步骤:①去分母,化为整式方程;②解整式方程;③验 根;④下结论.因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须检验．．．分式方程无解是指①去分母后整式方程无解②使 分式方程分母为零；分式方程有增跟是指①去分母后整式方程有解②使分式方程分母为零. 应用题中的分式方程检验的格式：经检验， x = a 是原方程的解且符合题意。 16．不等式：两边都乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．（等式的性质：两边同乘以或除以一个不为零的数，等 式成立） 例⑴由 3 6 2 1 3 6 2 1 − x ，得x − ；由 x － ，得x − 例⑵解不等式组 并把解集表示在数轴上 ② ① − + 3 2 1 2 3 4 x x x x ∴原不等式的解集为－4＜x≤ 5 2 注：若又要求整数解，请务必注意看清要求 ．．．．，得整数解为－3，－2，－1，0 解应用题设、列、解、验（明验如分式方程，人数为负数；暗验是否符合题目中范围等）、答。最后一定要写答（一般1分）； 17．平面直角坐标系：①各限象内点的坐标如图所示． ②横轴(x轴)上的点，纵坐标是0；纵轴(y轴)上的点，横坐标是0． ③关于横轴对称的两个点，横坐标相同(纵坐标互为相反数)； 关于纵轴对称的两个点，纵坐标相同(横坐标互为相反数)； 关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标都互为相反数． P（x，y）关于 x 轴对称 P1（x，－y）(即 x 不变)；到 x 轴的距离为 y P（x，y）关于 y 轴对称 P2（－x，y）(即 y 不变)； 到 y 轴的距离为 x P（x，y）关于原点对称 P3（－x，－y）(即 x，y 都变)； 到原点的距离为 2 2 x + y 与坐标有关的常用公式 距离公式： 例：x 2－2x＋2＝0 因为△＜0 所以不存在 x1＋x2，x1·x2 解：由①得 －x＜4 ∴x＞－4 由②得 2－2x≥3x ∴x≤ 5 2 + = − = • • • 注意检验 a c x x a b x x 1 2 1 2 , 0 有两个实数根
(解题中交代勾股定理即可) x,=x+x2交代平行四边形对角线互相平分后 P(x1,y1),Q(x2,y2)PQ的中点M 可用此公式确定平行四边形的的顶点。 J,+y A、B、C、D,有A+B=C+D 分别横坐标 或A+C=B+D 纵坐标算 直线ly=kx+b和1y=k2x+b2l1∥2则k=k2且b≠b;l⊥l2则kk2=-1 P(x,3Q(x2y2则过PQ两点的直线k=2- 直线与x轴夹角a(取锐角)则k=tana(直线过一、三象限k>0,直线过二、四象限k0时,y随x的 增大而增大(直线从左向右上升);当k0b0 (y与x成正比例),图象必过原点 19.反比例函数y=x(k≠0)的图象叫做双曲线 是中心对称图形、轴对称图形 当k>0时,双曲线在一、三象限(在每一象限内,从左向右降); 反比例函数 (k为常数,且k≠0) 当k0 ∠A越大,∠A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小 三角函数出现通常在直角三角形中,解直角三角形或构造直角三角形 特殊角的三角函数值 坡角a:斜坡与水平面的夹角坡度铅直高度 水平宽度 2 2 2 知道正弦、余弦、正切中任意一个结合勾股定理均可知另两个,如tana=2,则 inA= √3
4 2 1 2 1 1 1 2 2 ( , ) ( , ) , x x y y P x y Q x y P Q kPQ − − ， 则过 两点的直线 = 交代平行四边形对角线互相平分后 可用此公式确定平行四边形的的顶点。 A、B、C、D，有 A+B=C+D 或 A+C=B+D 或 A+D=B+C 分别横坐标 纵坐标算 + = + = 2 2 ( , ) ( , ) 1 2 1 2 1 1 2 2 y y y x x x P x y Q x y PQ M M M ， ， 的中点 (解题中交代勾股定理即可) 直线l1:y＝k1x＋b1和 l2:y＝k2x＋b2 l1∥l2则k1 =k2且b1≠b2；l1⊥l2则k1 k2= -1 直线l与x轴夹角 （取锐角）则 k = tan （直线过一、三象限k>0, 直线过二、四象限k0. ∠A 越大,∠A 的正弦和正切值越大,余弦值反而越小. 三角函数出现通常在直角三角形中，解直角三角形或构造直角三角形 特殊角的三角函数值： 坡角 α：斜坡与水平面的夹角 知道正弦、余弦、正切中任意一个结合勾股定理均可知另两个，如 tana=2,则 sinA= 5 2 ,cosA= 5 1 30 45 60 Sinα 2 1 2 2 2 3 Cosα 2 3 2 2 2 1 tanα 3 3 1 3 A 1 2 5 = = tan l h i ＝ 水平宽度 铅直高度 坡度 B C
20.二次函数一定义:一般形如y=ax2+bx+c(a、b、c常数且a≠0)的函数称为二次函数。 2p一ya(xh)点在颔上△0 特殊形式。xyax2+k顶点做上bo yax+b抛德线经过原点eo a、b、c的意义 (1)a决定抛物线的开口方向、大小及最值 a丨越大开口越小;丨a丨越小开口越大 a>0开口向上 顶点为最低点,有最小值 a0) y=ax"tbxtc (a<0 顶点坐标 b 4ac-b 对称轴 直线 直线x 28 28 位置 由a,b和c的符号确定 由,b和c的符号确定 开口方向 向上 向下 增减性在对的大大在对前大 「最值当x=-b时,最小值为-b 当x=0时最大值为4a0小 特别:抛物线顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(,k),对称轴是:直线x=h
5 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax 2+bx+c(a>0) y=ax 2+bx+c(a0 开口向上 顶点为最低点,有最小值 aO 抛物线交y轴正半轴 c<O 抛物线交y轴负半轴 a、b、c 抛物线形状、开口 方向、位置等 2
抛物线交点式y=a(x-x)x-x)与x轴交点为(x,0Xx2.)对称轴是:直线x=x+x 三.二次函数的图象与一元二次方程的根的关系 二次函数y=ax2+bx+c 元二次方程ax2+bx+c=0 的图象和x轴交点 根的判别式△=b24a 有两个交点 △=b2-4ac>0 有一个交点 顶点 △ =b2-4ac=0 没有交点 △=b2-4ac0 →x无论取何值,总是大于零 ∫a<0 x无论取何值,y总是小于 △<0 四、二次函数解析式(1)般式 (2)顶点式:顶点为(h,k)可设y=a(x-h)2+k; (3)交献式与x轴交点为(x1,0)(x2,O时可设y=a(x-x)Xx-x2) 求解析式的设法①已知三个点的坐标,则设为一般形式y=ax2+bx+c;②已知顶点坐标 h,R),则设为顶点式y=a(x-h)2+k;③已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x,0)和(x2,0),则设为交点式y=a(x-x1)(x x),结果要化成一般式或顶点式
6 (4)抛物线与x轴的交点情况 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 △= b2-4ac > 0 有一个交点 △= b2-4ac = 0 没有交点 △= b2-4ac < 0 顶点 Δ 0 a 0 Δ 0 a 0 x无论取何值,y总是大于零 y 0 x x无论取何值,y总是小于零 Δ=b2-4ac决定二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点个数 3 抛物线交点式 ( )( ) 1 2 y = a x − x x − x 与x轴交点为 ( ,0)( ,0) 1 2 x x 对称轴是：直线 x= 2 1 2 x + x 三. 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系: 四、二次函数解析式 ⑴一般式： ( 0) 2 y = ax + bx + c a ; （2）顶点式：顶点为（h,k）可设y=a(x-h) 2 +k; （3）交点式：与x轴交点为 ( )( ) ( )( ) 1 2 0 1 2 x ,0 x , 时可设y = a x − x x − x 求解析式的设法①已知三个点的坐标，则设为一般形式y＝ax2＋bx＋c；②已知顶点坐标 (h，k)，则设为顶点式y＝a(x－h) 2＋k；③已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)和(x2，0)，则设为交点式y＝a(x－x1)(x －x2)，结果要化成一般式或顶点式
第二篇空间与图形 、角(1°=60,1=60/ 角平分线的性质:角平分线平分角;角平分线上的点到角两边的距离相等 角平分线的判定:定义:角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 、相交线与平行线 1.余角、补角、对顶角(相交)的性质:同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等:对顶角相等。 2.垂直 (1)垂线的性质:①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最 (2)线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等, 线段垂直平分线的判定:到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 3.平行 两条平行线间的距离处处相等 两个三角形面积相等 如:正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RAPF的位置如图所示, 点G在线段D上,正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积 为 连结DB、GE、FK,它们是一组平行线 S△nE=S△cm+S△cEx=S△cEB+S△ar=16 (1)平行线的性质:①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等:③两直线平行,同旁内角互补 (2)平行线的判定:①同位角相等,两直线平行:②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行 (3)平行的性质:经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线 网格线中处理平行、垂直、旋转关系,注意旋转方向逆时针顺时针,旋转综合题可以考虑辅助圆,网格线中处理三角形 SSS勾股定理常用 三、三角形 三角形的有关性质 ①三角形的三边关系:三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 三角形的内角和定理:三角形的三个内角的和等于180°: ③三角形的外角和定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻 的内角 ④三角形中位线定理:三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半 2.全等三角形 (1)定义:两个能够重合的三角形是全等三角形 (2)性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等 (3)三角形全等的条件: 边角边(SAS):角边角(ASA);角角边(AS);边边边(SSS);斜边、直角边(HL) 3.等腰三角形 (1)等腰三角形的性质:①等腰三角形的两腰相等;等腰三角形的两个底角相等(等边对等角 ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一) (2)等腰三角形的判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边); 4.直角三角形 (1)直角三角形的性质:①直角三角形的两个锐角互为余角;②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;③直角三角形 的两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理);④直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半;
7 第二篇 空间与图形 一、角（1 0 =60/ ,1/ =60//) 角平分线的性质：角平分线平分角；角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线的判定：定义；角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 二、相交线与平行线 1.余角、补角、对顶角（相交）的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等； 对顶角相等。 2.垂直 (1)垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最 短； （2）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 线段垂直平分线的判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上； 3.平行 两条平行线间的距离处处相等． 两个三角形面积相等 如：正方形 ABCD、正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示， 点 G 在线段 DK 上，正方形 BEFG 的边长为 4，则△DEK 的面积 为 连结 DB、GE、FK，它们是一组平行线. S△DEK=S△GED+ S△GEK= S△GEB+ S△GEF=16 （1）平行线的性质 ：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补 （2）平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行； （3）平行的性质：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。 网格线中处理平行、垂直、旋转关系，注意旋转方向逆时针顺时针，旋转综合题可以考虑辅助圆，网格线中处理三角形， SSS 勾股定理常用 三、三角形 1.三角形的有关性质： ①三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180 ； ③三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻 的内角 ④三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 2.全等三角形 （1）定义：两个能够重合的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （3）三角形全等的条件： 边角边（SAS）；角边角（ASA）；角角边（AAS）；边边边（SSS）；斜边、直角边（HL） 3.等腰三角形 (1)等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） (2)等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； 4.直角三角形 （1）直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形 的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半；
(2)直角三角形的判定 ①有两个角互余的三角形是直角三角形 ②如果三角形的三边长a、b、c有下面关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。 2.三角形中的主要线段: (2)中线:连结三角形的一个顶点和它对边中点的线段 1)角平分线:一个角的项点和这个角的平分线与对边做三角形的中线三角形三条中线的交点叫三角形的重 的交点之间的线段叫做三角形的角平分线;三角形三条 角平分线交于同一点是三角形的内心(三角形内切圆的圆 心),它到各边的距高(内切圆半径r)相等.s AG=2GD: CG=2GF: BG=2GE 重心是中线的三等分点 ∵AD平分∠BAC (3)高:三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段 ∵AD平分∠ BAC, DE⊥AB,DF⊥AC 做三角形的高;三角形三条高线的交点叫三角形的垂心 个AcEF 6[:D平分∠BMC 四点共圆, AC为直径 注意内高和外高可能的两解 面积法证得 ④中位线:连结三角形两边中点的线段,叫做三角形的 中位线,A 三角形的周长和面积 三角形的中位线和第三边中线相互平分 5)中垂线:三角形三边中垂线交与一点这点到三角形 个顶点距离相等,是三角形外接圆的圆心叫三角形外心 c =-bcsin a=-ch B ≯ sina sinb sinC A0=B0=CO=R 常见辅助线:角平分线到角两边的距离、倍长中线,中位线(取一边中点)三线合一,直角三角形斜边中线(分得两个等 三角形),构造全等,做平行线等等 四.多边形 (1)多边形的内角和定理:n边形的内角和等于(n-2)180(mn≥3,n是正整数) (2)多边形的外角和定理:任意多边形的外角和等于36 (3)多边形的对角线:mn=32 (n-2)180 各顶点等分圆周→正n边形≤各边相等,各角相等,且每个内角 度,中心角=外角=度.(圆内接正多边 形的有关4) 七尺规作图(基本作图、利用基本图形作三角形和圆)作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角;作已知角的平 分线;作线段的垂直平分线 八、(1)平行投影:太阳光线可以看成是平行光线,像这样的光线形成的投影称为平行投影 (2)中心投影:光线可以看成是从一点发出的,像这样的光线形成的投影称为中心投影
8 2.三角形中的主要线段： (1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边 的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条 角平分线交于同一点是三角形的内心(三角形内切圆的圆 心）,它到各边的距离(内切圆半径r)相等. ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC ∴DE=DF E F A B D C 1 2 ∵AD平分∠BAC ∴ AC AB DC BD 或 DC AC BD AB = = （面积法证得） cr 2 1 s = 2 （2）直角三角形的判定： ①有两个角互余的三角形是直角三角形； ②如果三角形的三边长 a、b 、c 有下面关系 2 2 2 a + b = c ，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。 三角形的周长和面积： 常见辅助线：角平分线到角两边的距离、倍长中线，中位线（取一边中点）三线合一，直角三角形斜边中线（分得两个等 腰三角形），构造全等，做平行线等等 四.多边形 （1）多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于 （n≥3，n 是正整数）； （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360° （3）多边形的对角线： 各顶点等分圆周 正n 边 形 各边相等，各角相等，且每个内角＝ 度，中心角＝外角＝度．（圆内接正多边 形的有关公式） 七、尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角；作已知角的平 分线；作线段的垂直平分线； 八、(1)平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线形成的投影称为平行投影． (2)中心投影：光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线形成的投影称为中心投影． 2.三角形中的主要线段： (2)中线：连结三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫 做三角形的中线;三角形三条中线的交点叫三角形的重心． (3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫 做三角形的高；三角形三条高线的交点叫三角形的垂心． A B C F D E ●G S△ABD= S△ADC AG=2GD;CG=2GF;BG=2GE 重心是中线的三等分点 A B E C F A、C、E、F 四点共圆, AC为直径 A B C A B C 注意内高和外高可能的两解！ 3 2.三角形中的主要线段： (4)中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的 中位线． (5)中垂线：三角形三边中垂线交与一点,这点到三角形 三个顶点距离相等,是三角形外接圆的圆心叫三角形外心 A B C F D E 三角形的中位线和第三边中线相互平分． A B C O 2R sinC c sinB b sinA a = = = AO=BO=CO=R a c b 4 cr 2 1 s = bc A ch ca B s ah ab C bh c a b sin 2 1 2 1 sin 2 1 2 1 sin 2 1 2 1 = = = = = = (n − 2)180 2 n(n − 3)
第三篇图形与变换 图形的轴对称的性质 轴对称的基本性质:(1)成轴对称的两图形全等;(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分 图形的平移 图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向,二是图形平移的距离。抓住一个点(顶点)或左加右减上加下减,如 y=2x2+4x-4向左平移2个单位再向下平移1个单位 ①y=2(x+2)2+4(x+2)-41进一步化简得 ②y=2x2+4x4化为顶点式y=-2(x1)22得顶点(1,-2)向左平移2个单位再向下平移1个单位得(-1,-3)有y=-2(x+1) 三.图形的旋转 1.图形旋转的基本性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心连线所成的角相等;旋转前后的两个图形全等 图形旋转可能与圆有关,等边三角形正方形常常旋转思想全等证明 2.中心对称图形:在平面内,一个图形绕某个点旋转180度,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称 图形,这个点叫做它的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分 ①线段②射线③直线④角⑤平行线⑥等腰三角形⑦等边三角形⑧平行四边形⑨矩形 ⑩菱形⑩D正方形0等腰梯形③3圆中,轴对称图形有①②③④⑤⑥⑦⑨⑩0D_D3 中心对称图形有①③⑤⑧⑨⑩003(注意正n边形的对称性) 五.四边形 1.平行四边形 (1)平行四边形的性质:平行四边形的两组对边分别平行;平行四边形的两组对边分别相等;平行四边形的两组对角分别 相等:平行四边形的对角线互相平分 (2)平行四边形的判定:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形相对的顶点的坐标之和相等 已知三个点求第四个点,若顺序给定一解,若顺序未给定三解 已知一边(线段)求点,分两种情况讨论:边和对角线 2矩形 (1)矩形的性质:(除具有平行四边形所有性质外)①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线相等 (2)矩形的判定:①有三个角是直角的四边形是矩形:②对角线相等的平行四边形是矩形;③有一个角是直角的平行四边形 叫做矩形 3.菱形 菱形的性质:(除具有平行四边形所有性质外)①菱形的四边相等;②菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线 平分一组对角 (2)菱形的判定:①四边相等的四边形是菱形;②对角线互相垂直的平行四边形是菱形.③有一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形 4.正方形 (1)正方形的性质:①正方形的四边相等:②正方形的四个角都是直角:③正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每 条对角线平分一组对角 (2)正方形的判定:①有一个角是直角的菱形是正方形;②有一组邻边相等的矩形是正方形。③有一组邻边相等且有一个角 是直角的平行四边形叫做正方形
9 第三篇 图形与变换 一.图形的轴对称的性质 轴对称的基本性质：(1)成轴对称的两图形全等;(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分； 二.图形的平移 图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离。抓住一个点（顶点）或左加右减上加下减，如： y=-2x2+4x-4 向左平移 2 个单位再向下平移 1 个单位 ①y=-2（x+2）2+4（x+2）-4-1 进一步化简得 ②y=-2x2+4x-4 化为顶点式 y= -2（x-1）2 -2 得顶点（1，-2）向左平移 2 个单位再向下平移 1 个单位得（-1，-3）有 y= -2（x+1） 2 -3 三.图形的旋转 1.图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心连线所成的角相等；旋转前后的两个图形全等. 图形旋转可能与圆有关，等边三角形正方形常常旋转思想全等证明 2.中心对称图形: 在平面内，一个图形绕某个点旋转 180 度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称 图形，这个点叫做它的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 ①线段 ②射线 ③直线 ④角 ⑤平行线 ⑥等腰三角形 ⑦等边三角形 ⑧平行四边形 ⑨矩形 ⑩菱形 ⑾正方形 ⑿等腰梯形 ⒀圆中，轴对称图形有①②③④⑤⑥⑦⑨⑩⑾⑿⒀； 中心对称图形有①③⑤⑧⑨⑩⑾⒀ (注意正 n 边形的对称性) 五．四边形 1．平行四边形 （1）平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别 相等；平行四边形的对角线互相平分． （2）平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边 平行且相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 平行四边形相对的顶点的坐标之和相等； 已知三个点求第四个点，若顺序给定一解，若顺序未给定三解； 已知一边（线段）求点，分两种情况讨论：边和对角线 2.矩形 (1)矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等； (2)矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形 叫做矩形. 3.菱形 (1)菱形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）①菱形的四边相等；②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线 平分一组对角； (2)菱形的判定：①四边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形.③有一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形 4.正方形 (1)正方形的性质：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每 一条对角线平分一组对角； (2)正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。③有一组邻边相等且有一个角 是直角的平行四边形叫做正方形
5.等腰梯形 (1)等腰梯形的性质:①等腰梯形同一底边上的两个底角相等②等腰梯形的两条对角线相等 (2)等腰梯形的判定:①同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形;②两条腰相等的梯形是等腰梯形。 A 2 D >0E点有两个 以DC为直径的圆 8 EK> 与AB相交 8-y E点一个 为直径的圆 2+bsm==62k型相△A2△与A相切 AC·BD (为中位线)b是对角线长28-y得y2.8y+2=小以DC为直径澳圆 <0E点没有 梯形 等腰直角三角形 常见对角线垂直的四边形面积 辅助线等于对角线乘积一半 梯形中的面积 SRD= SABAC, SAADC SABCD. MOD= SABOC. MOD A0 SoR AB A02 B02 六、圆 1.圆有关的概念: 圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合。定义用来判断几点共圆,也可画出辅助圆解决问题 1)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角 (2)圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 (3)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.等弧是完全重合的 弧,包括弧长和弧度(所对圆心角度数),只能在同圆或等圆中。 (4)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径 2.圆的有关的性质: (1)圆心角、弦和弧三者之间的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所 对应的其余各组量分别相等 (2)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧; (3)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数 (4)圆心角与圆周角的关系:同弧或等弧所对的圆周角相等都等于该弧所对的圆心角的一半 (5)圆周角定理:直径所对的圆周角是直角,反过来,90°的圆周角所对的弦是直径 (6)切线的判定:①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;②圆心到直线的距离等于半径:③直线与圆 只有唯一的公共点。 方法:(无切点)作垂直,证半径(有切点)连半径,证垂直 (7)切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径; (8)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点与圆心的连线平分两切线的夹角 圆中常作的辅助线:已知切线,常过切点作半径;已知直径,常作直径所对的圆周角;求解有关弦的问题,作弦心距,借 助垂径定理和勾股定理解决:弧的中点常和圆心连结
10 5.等腰梯形 (1)等腰梯形的性质:①等腰梯形同一底边上的两个底角相等②等腰梯形的两条对角线相等。 (2)等腰梯形的判定：①同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；②两条腰相等的梯形是等腰梯形。 SABD = SBAC , SADC = SBCD ； SAOD = SBOC ； ； 六、圆 1.圆有关的概念: 圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合。定义用来判断几点共圆，也可画出辅助圆解决问题。 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． （2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．等弧是完全重合的 弧，包括弧长和弧度（所对圆心角度数）,只能在同圆或等圆中。 （4）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． 2.圆的有关的性质： （1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量分别相等； （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； （3）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数； （4）圆心角与圆周角的关系: 同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半． （5）圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径； （6）切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；②圆心到直线的距离等于半径；③直线与圆 只有唯一的公共点。 方法：(无切点)作垂直，证半径;(有切点)连半径，证垂直。 （7）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； （8）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点与圆心的连线平分两切线的夹角； 圆中常作的辅助线：已知切线，常过切点作半径；已知直径，常作直径所对的圆周角；求解有关弦的问题，作弦心距，借 助垂径定理和勾股定理解决；弧的中点常和圆心连结。 ● b a h D C B A a h D B C A a ● k 型相似△ADE∽△BEC x y y − = 2 8 得 y 2 -8y+2x=0 △ = 64-8x >0 E 点有两个 以 DC 为直径的圆 与 AB 相交 =0 E 点一个 以 DC 为直径的圆 与 AB 相切 <0 E 点没有 以 DC 为直径的圆 与 AB 相离 △= 梯形 常见 辅助线 对角线垂直的四边形面积 等于对角线乘积一半. S 正方形=a2= 2 2 1 b b 是对角线长 等腰直角三角形 ( ) ＝ ( 为中位线) 梯形 lh l S a b h ABCD = + 2 1 AC BD S ah ABCD = = 2 1 菱形 梯形中的面积： 2 2 2 2 2 2 DO BO CO AO CD AB S S COD AOB = = = OC AO S S COD AOD =