初中数学圆的知识点汇总

初中数学圆的知识点汇总 圆 知能图谱 圆的有关概念 轴对称性,垂径定理 有关概念及性质 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆的有关性质 旋转不变性圆心角定理 圆周角定理 圆内接四边形 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系过不在同直线上的三点作圆 角形的外接圆 直线和圆的位置关系{相交 切线的性质 相切切线的判定 切线长及切线长定理 三角形的内切圆 正多边形的定义 多边形和圆正多边形和 正多边形的判定及性质 正多边形的有关计算 正多边形及有关计算 半径为R的圆中,n的圆心角 圆的周长C=2mR 所对的弧长为R 圆中的有关计算 「半径为R的圆中,圆心角为2=B 圆的面积S=πR 实际应用 的扇形面积为Sa=mπR 圆锥的侧面积S=圆锥的全面积S2=S+Sa 圆锥的底面积S=r 第47讲圆的有关概念及性质 知识能力解读 知能解读(一)圆的概念 概念 (1)在描述性定义:如图所示,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周, 另一个端点A所形成的图形叫作圆。其固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径

初中数学圆的知识点汇总

(2)集合性定义:圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的 点的集合。 2圆的表示方法 以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作“圆O”。 3圆的特征 (1)圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径): (2)到定点的距离等于定长的点都在同·个圆上 点拨 (1)圆指的是“圆周”,即·条封闭的曲残,而不是“圆面”。 (2)“圆上的点”指的是圆周上的点,圆心不在圆周上。 (3)确定一个圆需要两个要素:一是定点,即圆心:二是定长,即半径。國心确定圆的位置 半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了,圆才能被唯一确定。记忆∏诀:圆有两要素 半径和圆心;半径定大小,圆心定位置。 知能解读(二)圆的有关概念 广名称 概念 注意 图示 炫连接圆上任意两点的线段叫作直径是中最长的弦不 弦,如石图中“弦AC” 定是直径 直径经过圆心的弦叫作直径,如右图中 “直径AB 但弦不‘定是直径 圆上任意两点间的部分叫作圆 弧,简称弧。圆的任意一条直径 、半的两个端点把网分成两条弧,每 、劣条弧都叫作半圆:大于半圆的半圆是弧,但弧不定是 孤、优 作优弧,用三个字母表小,如半圆 弧右图中的ABC:小于半圆的弧叫 作劣弧,用两个字母表示,如右图 中AC 能够重合的两个圆叫作等圆,容易 等圆只和半径的大小们 等园看出:半径相等的两个圆是等国:关,和圆心有位置有关 反过来,等圆的半径相等 等弧在同囫或等圆中,能够互相重合的长度相等的孤不一定是 弧叫作等孤 等孤 知能解读(三)圆的对称性 圆既是中心对称图形,又是轴对称图形和旋转对称图形 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合,因此它是中心对称图形,它的对称中心是圆心。将 圆周周绕圆心旋转仟意一个角度都能与自身重合,这说明圆是旋转对称图形 经过圆心画任意一条直线,并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合,所以圆是 轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴,所以圆有无数条对称轴 知能解读(四)垂直定理及其推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,CD是⊙O 的直径,AB是⊙O的弦,CD交AB于点E,若CD⊥AB,则 AE= BE AD= BD AC= BO

注意 (1)垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段,其本 质是“过圆心”。 (2)垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍成立 (2)垂径 定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。如图1-47-2 AB是非直径的弦,CD是直径,若AE=BE,则CD⊥AB,AD=BD, AC=BC。 注意 垂径定理的推论中,被平分的弦不能是直径,如果弦是直径,两直径互相平分,结论就不成 立,如图所示,直径CD平分直径AB,但AB不垂直于CD。 (1)垂直定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,同时也为圆的计算和作图问题提供了 思考的方法和理论依据 圆心,②垂直 径 平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧,这五条中的任意两条,那么必然具备其余三 知能解读(五)圆心角的定义及与弧、弦之间的关系 1圆心角的定义 顶点在圆心的角叫作圆心角 2.弧、弦、圆心角之间的关系 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。如图所示, 在⊙O中,若∠AOB=∠COD,则有AB=CD,AB=CD。 (2)推论1:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦 相等。 (3)推论2:在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优 弧和劣弧分别相等。 以上三个关系可总结为:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等, 它们所对应的其余各组量也相等。 注意 圆心角的度数等于它所对弧的度数,不能说圆心角等于它所对的弧 知能解读(六)圆周角的定义及性质 1.圆周角的概念 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。 圆周角具备两个特征: (1)角的顶点在圆上:(2)角的两边在圆内部的线段都是圆的弦

2.圆周角定理及推论 (1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 (2)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。 (3)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径 点拨 (1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了,因为一条弦所对的圆 周角有两类,它们一般不相等。 (2)推论2给出了圆中一种常见的作辅助线的方法:若有直径,通常作直径所对的圆周角 反过来,若有90°的圆周角,通常作直径 知能解读(七)圆内接多边形 (1)圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫作圆内接 多边形,这个圆叫作这个多边形的外接圆。 (2)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补。 拓展:对角互补的四边形,其四个顶点在同一个圆上 方法技巧归纳 方法技巧(一)运用垂径定理进行解题的方法 在应用垂径定理与推论进行计算时,往往要构造如图所示的直角三角形,根据垂径定理与勾 股定理有;=d2+(2/·根据此公式,在a,r,d三个量中,知道任意两个量就可以 求出第 方法技巧(二)利用弧、弦、圆心角之间的关系解题 在同圆或等圆中,两个圆心角及其所对的两条弧、两条弦中只要有一组量相等,对应的另外 两组量也分别相等。 点拨 在圆中证明弧相等时往往要证明弧所对的圆心角或弦相等,在证明圆心角或弦相等时常由相 应的半径、弦的一半、圆心与弦中点的连线段构造直角三角形,通过证明三角形全等来解决 方法技巧(三)利用圆周角的性质进行解题的方法 在求圆周角或圆心角的度数时,通常要找出或构造出同弧(或等弧)所对的圆周角或圆心角。 若题日中有直径,常常添加辅助线,构造直径所对的圆周角,利用垂径定理或直角三角形求 解 注意 在圆内,同弧所对的圆周角相等是一个隐含条件,注意其在证明过程中的应用。 方法技巧(四)利用圆内接四边形的性质求角的度数 利用“圆内接四边形的对角互补”可以求一些不易求得的圆周角的度数 方法技巧(五)圆中两条线段长度之和最小的问题 在圆中求两条线段长度之和最小的问题,通常通过转化,运用垂径定理和两点之间线段最短 来解决,考查灵活运用知识的能力 易混易错辨析 易混易错知识 1.直径与弦的关系。 直径是弦,但弦不一定是直径,只是过圆心的弦才是直径,直径是最长的弦 2.在同一个圆中,一条弦所对的圆周角有两种情况,但解题时常因考虑不周漏解

3.应用垂径定理的推论时,对条件的理解不透致错。 在应用垂径定理的推论时,平分弦作条件时,必须指出被平分的弦是非直径的弦,否则命题 不一定成立 易混易错(一)求平行弦之间的距离出现错误 易混易错(二)求一条弦所对的圆周角易漏解 中考试题研究 中考命题规律 垂径定理,圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系等内容是中考的必考内容,常在圆的 半径、弦长的计算中运用。圆周角的知识常与其他的知识综合在一起考查,题型有选择题、 填空题及简单的解答题或证明题,属中、低档题 中考试题(一)利用圆的相关概念求解 中考试题(二)利用圆的相关概念推理证明 第48讲点和圆、直线和圆的位置关系 知识能力解读 知能解读(一)点和圆的位置关系 点和圆的 点到圆心的距离与半径的关系 位置关系 文字语言 符号语言 图示 圆内各点到圆心的距 点在圆内 离都小于半径,到圆 点P在圆内 心的距离小于半径的 →dr 点都在圆外 点拨 (1)利用d与r的数量关系可以判断点和圆的位置关系;同时,知道了点和圆的位置善长, 也可以确定d与r的数量关系。 (2)符号“”读作“等价于”,它表示从符号“φ”的左端可以推出右端,从右端也 可以推出左端。 知能解读(二)确定圆的条件 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 过不在同一条直线 上的三点A,B,C 经过平面内一个点A 经过平面内的两个点作圆,圆心到这三个 作圆时,只要以点A A,B作圆,由于圆点的距离相等。因此 以外任意一点为圆 心到这两个点的距离圆心是线段AB 理论 依据 心,以这点到点A的/相等,所以圆心在线BC的垂直平分线的 距离为半径就能作的/段AB的垂直平分线交点O,以点O为圆 个圆,这样的圆能 上,这样的圆心有无心,以OA(或OB, 作出无数多个 数多个,这样的圆能OC)为半径可作出 作出无数多个 经过A,B,C三点 的圆,这样的圆只有

圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 注意 (1)“不在同一条直线上”这个条件不可忽略 (2)“确定”一词理解为“有且只有”,说明这样的圆是存在的,并且是唯一的。 知能解读(三)三角形的外接圆与外心 (1)三角形外接圆的相关概念:经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形 的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫作这个三角形的外心 (2)三角形外心的性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,等于外接圆的半径。 拓展 锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心是斜边的中点,钝角三角形的外心在 三角形的外部,即三角形的外心随三角形的形状变化其位置也发生变化,如图所示。 (1)“接”是说明三角形的顶点和圆的关系,而“内”“外”是相对的概念,以一个图为准, 说明另一个图在它里面或外面 (2)任何一个三角形的外心均是其两边中垂线的交点,只要三角形确定,其外心和外接圆 就唯一确定。 知能解读(四)直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系:相交、相切、相离 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 直线和圆有两个公共直线和圆只有一个公直线和圆没有公共 定义 点,这时我们说这条共点,这时我们说这点,这时我们说这条 直线和圆相交 条直线和圆相切 直线和圆相离 公共点个数 圆心到直线的距离d 与半径r的关系 d 「公共点名称直线名称 交点割线 切点切线 点拨 (1)设⊙O的半径为r,圆心O到直线/的距离为d,则有:①直线/和⊙O相交dr。 (2)判断直线和圆的位置关系有两种方法:一是根据定义即可公共点个数判定:二是根据 圆心到直线的距离与半径的大小关系判定。 知能解读(五)切线的判定与性质 (1)判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

点拨 切线必须满足两个条件:(1)经过半径的外端:(2)垂直于这条半径,两个条件缺一不可。 )性质定理:圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论:①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点:②经过切点且垂直到切线的直线必经过 圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件:(1)垂直于切线:(2)过 切点:(3)过圆心,如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个,那么它一定满足另外 个条件,也可简单地理解为“二推一” 知能解读(六)切线长 (1)定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫作这点到圆的切线 (2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的 连线平分两条切线的夹角 点拨 切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 (1)有关概念:与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三 条角平分线的交点,叫作三角形的内心 (2)三角形内心的性质:三角形的内心到三条边的距离相等 点拨 (1)设直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边长为c,则它的内切圆半径r=a+b-c (2)三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等 (3)三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积,即 sN=2(a+b+c),其中r为△4BC的内切圆半径,a,bc分别为△4BC的三边长 方法技巧归纳 方法技巧(一)点和圆的位置关系的判别方法 点和圆的位置关系,主要依据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断:点与圆心的距离大 于半径,点在圆外;点与圆心的距离感等于半径,点在圆上:点与圆心的距离小于半径,点 在圆内,反之亦然。 点拨 确定点与圆的位置关系的方法是计算点到圆心的距离,与半径比较大小,若知道点与圆的位 置关系,可判断圆的半径与点到圆心的距离的大小关系。 方法技巧(二)三角形外接圆的应用方法 三角形的外接圆的有关性质的应用主要有两个方面:一是求外接圆的半径;二是利用外接圆 性质解决某些实际问题。 点拨 直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心,斜边长的一半为半径的圆 方法技巧(三)直线和圆的位置关系的判别方法 直线和圆的位置关系要依据圆心到直线的距离和半径的大小关系进行判断,有相离、相切、 相交三种情形 点拨 根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系。①当d>r时,直线与 圆相离;②当d=r时,直线与圆相切:③当d<r时,直线与圆相交。 方法技巧(四)切线的判定方法 圆的切线的判定方法通常分为两种情况:若题目给出直线和圆,但没有给出公共点时,需“作 垂直,证半径”,利用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判定:若题目给出直线和圆 的公共点时,利用“连半径,证垂直”的方法进行判定

方法技巧(五)切线性质的应用方法 当题目中给出圆的切线时,通常要作出过切点的半径,构造直角三角形解决问题 点拨 利用切线的性质构造直角三角形是解决此类问题常用的方法。 方法技巧(六)切线长定理的应用 切线长定理包括线段相等的角相等两个结论,利用该定理可以证明线段相等、角相等、弧相 等以及线段的垂直关系等。图是切线长定理的一个基本图形,可以得出很多结论, ①PO⊥AB;②AD=BD,③AC=BC:④PA⊥OA,PB⊥OB;⑤∠1=∠2=∠3 注意 本题中的两个常识性结论请牢记,以后可以直接用于填空题和选择题的计算中:一是三条切 线(本题中的PA,PB,DE)围成的三角形的周长等于切线长(PA或PB)的2倍,二是 ∠DOE=90-÷P 方法技巧(七)三角形内切圆的应用 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三条边的距离相等。解决内 切圆的问题,还应利用“圆的切线垂直于过切点的半径”这一性质,构造直角三角形解决问 题 点拨 本题不仅应用了三角形内心的性质,而且应用了切线的性质,综合运用两性质是解决问题的 关键 易混易错辨析 易混易错知识 1.三角形的外心与内心混淆 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等,而内心是三 角形三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。 2.直线和圆的位置关系与线段和圆的位置关系混淆。 易混易错(一)证明某直线是圆的切线时,无论直线是否经过圆上一点,都连接圆心与直 线上的一点而致错 易混易错(二)混淆线段和圆有一个公共点与直线和圆有一个公共点致错 中考试题研究 中考命题规律 本讲的内容是中考的必考内容,主要考查直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形 的内切圆及切线长定理等内容,题型有选择题、填空题和证明题、多为中、低档题 中考试题(一)与切线有关的求解问题 中考试题(二)与切线有关的推理论证问题 中考试题(三)创新问题的求解 点拨 本题是阅读理解题,解答阅读理解题的关键是读懂题意,根据题中提供的方法与信息进行解 题 第49讲与圆有关的计算 知能解答(一)正多边形及有关概念

(1)正多边形:各边相等,各角也相等的我边形叫作正多边形。 (2)正多边形的画法:把圆n等分(n≥3),顺次连接各等分点,就可以作出这个圆的内 接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。 (3)正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心(如图1-491 所示)。 (4)正多边形的半径:外接圆的半径叫作正多形的半径(如图所示)。 中心边心 (5)正多边形的中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角(1491所 (6)正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距(如图1-49-1 所示)。 知能解读(二)正多边形的有关计算 n-2)180° (1)正〃边形的每个内角都等于 =180°360° H 360° (2)正∥边形的每个中心角都等于 H (3)正n边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中 进行,如图所示,设正n边形的半径为R,一边AB=a,边心距OM=F,则有 180 ∠BOM= R2=+(2),正n边形的周长=m面积S=m=2 r 点拨 (1)由正〃边形的内角与外角互补,正〃边形的中心角等于外角,可得正n边形的内角与 中心角互补 (2)正六边形的边长等于其外接圆半径,正三角形的边长等于其外接圆半径的√3倍,正 方形的边长等于其外接圆半径的√2倍 知能解读(三)弧长的计算 (1)弧长公式:1=R (2)公式推导:在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2rR, 所以1°的圆心角所对的孤长是27K,即xR,于是的圆心角所对的弧长为1=7F 360°180 注意

(1)在弧长公式中,m表示1°的圆心角的倍数,不带单位。例如圆的半径R=6cm,计算 20°的圆心角所对弧长l时,不要错写成l 20°×6: 180 (2)在弧长公式中,已知,l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知能解读(四)扇形面积的计算 (1)扇形的定义:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 (2)扇形的面积:S形360 R,R为扇形所在圆的半径,/为扇形的弧长 (3)公式推导: ①在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=R2,所以圆 R 心角是1°的扇形面积是 360,于是圆心角为n°的扇形面积足Sa形360 ②Sn=E2=1xE1R=1R,即S=1R其中1为扇形的弧长,R为半径 点拨 (1)扇形面积公式S=R与三角形的面积公式有些类似,只需把扇形看成一个曲边三角 形,把弧长l看成底,半径R看成高即可 (2)在求扇形面积时,可根据已知条件来确定是使用公式S360 一还是SR (3)已知S形,,R,n四个量中任意两个,都可以求出另外两个。 (4)公式中的“n”与弧长公式中的“n”的意义是一样的,表示“1°”的圆心角的倍数, 参与计算时不带单位。 知能獬读(五)圆锥的侧面积与全面积 (1)圆锥的有关概念:圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体(如图所示)。连接圆锥 顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线,连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的 母线,连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形,故圆 锥的母线1、高h、底面半径r恰好构成一个直角三角形,满足r2+h2=P2。已知任意两个 量,可以求出第三个量 (2)圆锥的侧面展开图(如图1-49-4所示):沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开,圆锥 的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面圆的周长 (3)圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积,其计 算公式为S形=/2F=zr;圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和,其计算 公式为S=S+S8=r+r2=zr(1+)。 方法技巧归纳 方法技巧(一)正多边形的有关计算的技巧 在解决正多边形的有关计算时,通过作正n边形的半径和连接圆心与边的中点的线段,把正 边形分成2n个直角三角形,再利用勾股定理即可完成计算