初中数学等腰三角形常用辅助线经典考题详解 方法1、作“三线合一”中的“一线” 1.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过A点的直线 EF∥BC,且AE=AF,求证:DE=DF (原题图) (解析图) 证明:如图,连接AD ∵△ABC中,AB=AC,D是BC的中点, ∴AD⊥BC, EF∥BC, ∴AD⊥EF, 又AE=AF, ∴AD垂直平分EF, ∴DE=DF 方法一:做三线合一中的一线 三线合一,是等腰三角形里最重要的性质定理之一。所谓三线,就是等腰三 角形中,顶角的角平分线,底边的中线,底边的高线。必然三线合 例题1,是三线合一的最基础的题型,D是BC的中点,那么连接AD,通过 三线合一的性质,得出AD⊥BC
初中数学等腰三角形常用辅助线经典考题详解 方法一：做三线合一中的一线 三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。所谓三线，就是等腰三 角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。必然三线合一。 例题 1，是三线合一的最基础的题型，D 是 BC 的中点，那么连接 AD，通过 三线合一的性质，得出 AD⊥BC
方法2、作平行线法 2.如图,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA 移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动, 已知点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点 (1)如图①,当点P为AB的中点时,求证:PD=QD; (2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保 持不变的线段?请说明理由 解答:()、过P点作PF∥AC交BC于F. ∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ ∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB ∴BP=PF,∴PF=CQ ∵∠PDF=∠QDC,PF=CQ,∠DPF=∠DQC, ∴△PFD≌△QCD,∴PD=QD (2)、ED的长度保持不变理由如下: 由(1)知PB=PF.∵PE⊥BF,∴BE=EF 由(1)知△PFD≌△QCD,∴FD=DC, ED=EF+FD=BE+DC= BC, ∴ED为定值
方法二:做平行线法 这个一般是做一腰的平行线,得出两个角相等,从而得出三角形全等 例题2中,这个题是非常常见的考试经典题型。第①小题,得出三角形 全等,得出PD=QD 第②小题,过点P做PFAC,因为4PBF是等腰三角形,PE⊥BF,三线 合一得出BE=EF。又因为三角形全等,得出FD=CD。所以,得出ED=BC 的一半,即为定值。 方法3、截长补短法 3.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,且 ∠ABD=60,∠ACD=60°求证:BD+DC=AB (原题图) (解析图) 证明:延长BD到F,使BF=BA,连接AF,CF, ∵∠ABD=60°,∴△ABF为等边三角形 ∴AF=AB=AC=BF,∠AFB=60°, ∴∠ACF=∠AFC, 又∵∠ACD=60°,∴∠AFB=∠ACD=60° ∴∠DFC=∠DCF,∴DC=DF ∴BD+DC=BD+DF=BF=AB,即BD+DC=AR 方法三:截长补短法,或者叫截长取短法 简单说,就是在某一条线段上截取一条线段,和已知线段相等。或者,延长 某一线段,使之等于某已知线段。此解题方法常用,请大家细心钻研,平时 多探索,勤学苦练
方法二：做平行线法 这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等 例题 2 中，这个题是非常常见的考试经典题型。第①小题，得出三角形 全等，得出 PD=QD。 第②小题，过点 P 做 PF∥AC，因为 △PBF 是等腰三角形，PE⊥BF，三线 合一得出 BE=EF。又因为三角形全等，得出 FD=CD。所以，得出 ED=BC 的一半，即为定值。 方法三：截长补短法，或者叫截长取短法 简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。或者，延长 某一线段，使之等于某已知线段。此解题方法常用，请大家细心钻研，平时 多探索，勤学苦练
例题3,就是一道延长某一线段,使之等于某已知线段,经典考试题型。 4如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且 AB+BD=DC,求∠C的度数 D (原题图) (解析图) 解答: 在DC上截取DE=BD,连接AE,如图所示, ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90。, 在△ABD和△AED中, AD=AD,∠ADB=∠ADE,DB=DE, ∴△ABD≌△ AED (SAS),∴AB=AE,∴∠B=∠AEB, 又∵AB+BD=CD,DE=BD, ∴AB+DE=CD,而CD=DE+EC, ∴AB=EC,∴AE=EC 故设∠C=∠EAC=x ∵∠AEB为△AEC的外角, ∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x,∴∠B=2x, ∵在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180 ∴120°+2x+x-180° 解得:x=20°,则∠C=20° 例题4,这就是一道在某一条线段上截取一条线段,和已知线段相等,通 过等量转换,得出结论的经典考试题型
例题 3，就是一道延长某一线段，使之等于某已知线段，经典考试题型。 例题 4，这就是一道在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等，通 过等量转换，得出结论的经典考试题型
方法4、加倍折半法,倍长中线法 5.如图,CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线, 且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE (原题图) (解析图) 证明:过B作BF∥AC交CE的延长线于F, ∵CE是中线,BF∥AC, AE=BE,∠A=∠ABF,∠ACE=∠F, 在△ACE和△BFE中,∠A=∠ABF,∠ACE=∠F,AE=BE, ∴△ACE≌△BFE(AAS),∵CE=EF,AC=BF, ∴CF=2CE, 又∵∠ACB=∠ABC,CB是△ADC的中线, ∴AC=AB=BD=BF, ∵∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC, ∴∠DBC=∠FBC, 在△DBC和△FBC中,DB=FB,∠DBC=∠FBC,BC=BC, ∴△DBC≌△FBC(SAS), DC=CF=2CE 方法四:加倍折半法,倍长中线法 例题5,解析说过点B做BF‖AC,最后得出的还是线段相等。 其实,这个题还有一个更好的解题思路,就是倍长中线法 先提示一下辅助线的添加方法。因为CE是△ABC的中线,倍长中线CE。 延长CE至F,使EF=CE,连接BF。倍长中线,必出三角形全等,最后 得出,△DBC≌4FBC,所以DC=CF,所以CD=2CE
方法四：加倍折半法，倍长中线法 例题 5，解析说过点 B 做 BF∥AC，最后得出的还是线段相等。 其实，这个题还有一个更好的解题思路，就是倍长中线法 先提示一下辅助线的添加方法。因为 CE 是 △ABC 的中线，倍长中线 CE。 延长 CE 至 F，使 EF=CE，连接 BF。倍长中线，必出三角形全等，最后 得出，△DBC≌△FBC，所以 DC=CF，所以 CD=2CE