初中数学《勾股定理》知识点+典型例题剖析

初中数学《勾股定理》知识点+典型例题剖析 新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点: 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定 理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称 为股,斜边称为弦.早在三干多年前,周朝数学家商高就提出了“勾 ,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现井证明了直 角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 区 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图开进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 见方法如下: 方法一 :45+5正方形方 4×ab+(b-a)2=c,化简可证 方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个 直角三角形的面积与小正方形面积的和为s=4×1ab+c2=2ab+c大正方形

初中数学《勾股定理》知识点+典型例题剖析

面积为5=(a+b)=a2+2mb+b2所以a+b6=c2方法三:Sm=(a+b)(a+b), sm=2.+m2:2化简得证 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角 形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定 理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在△ABC中, ∠C=90°,则c=a+b2,b=√e2-a,a=Ve2-b2②知道直角三角形一边,可得 另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通 过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的 平方和a2+b2与较长边的平方c作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三 角形是直角三角形;若a2+b2c2,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a,b,c及a+b2=c2只是一种表现开式,不可认为是唯一的,如若三 角形三边长a,b,c满足a2+c2=b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三

角形,但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角 边的平方和时,这个三角形是直角三角形 6.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数即a+b2=c2中,a b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如34.5;68.10;,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数 n2-12nn2+1(n≥2,n为正整数 2n+12n2+2n,2n2+2n+1(n为正整数)m2-n2,2mn,m2+n2(m>n,m,n为正 坚数) 7.勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之 间的关系的证明问题在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了 解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾殷定理进行计算,应设法 添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解 8勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形 是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进

行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结 论 9勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中是密不可分的一 个整体,通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求 出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形: 10、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设这样的两个命题叫 做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它 逆命题。 经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例1在△ABC中,∠C=90° (1)已知AC=6,BC=8,求AB的长 (2)已知AB=17,AC=15,求BC的长分析:直接应用勾股定理a2+b2=c2 解:(1)AB=√AC+BC=10 (2)BC=√AB-AC=8

题型二:利用勾股定理测量长度 例题1如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可 以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模 型后,已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用 勾股定理! 根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152所以AC2=144所以AC=12 例题2如图(8),水池中离岸边D点15米的C处,直立长着一根芦苇,出 水部分BC的长是05米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水 池的深度AC. 解析:同例题1—样,先将实物模型转化为教学模型,如图2.由题意可知≌AC D中∠ACD=90°在 RtACD中只知道CD=1.5这是典型的利用勾股定理“知 二求一”的类型。标准解题步骤如下(仅供参考): 解:如图2,根据勾股定理,AC2+CD2=AD2 设水深AC=X米,那么AD=AB=AC+CB=X+0.5 x2+152=(x+05) 解之得X=2 故水深为2米

题型三:勾股定理和逆定理并用一 例题3如图3,正方形ABCD中,E是BC边上的中点,F是AB上一点,且 FB=1AB那么→DEF是直角三角形吗?为什么? 解析:这道题把很多条件都隐藏了,乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以 发现规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由FB=AB可以设AB=4a 那么BE=CE=2aAF=3a,BF=a,那么在 Rt-AFD、RtBE F和Rt△CDE中,分别利用勾股定理求出DFEF和DE的长 反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角 形。 详细解题步骤如下 解:设正方形ABCD的边长为4a则BE=CE=2a,AF=3aBF=a 在 RtA CDE中,DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2 同理E2=5a2,DF2=25a2 在DEF中,EF2+DE=5a2+20a2=25a2=DF2 4DEF是直角三角形,且∠DEF=90 注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题 题型四:利用勾股定理求线段长度 例题4如图4已知长方形ABCD中AB=8cmBC=10cm在边CD上取一点E 将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长 解析:解题之前先弄淸楚折叠中的不变量。合理设元是关键

详细解题过程如下: 解:根据题意得 RtADE≌ RtAAEF ∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE 设CE=Xcm, 则DE=EF=CD-CE=8-X 在 RtAABF中由勾股定理得 AB2+BF2=AF2,即82+BF2=102, BF=6cm CF=BC-BF=10-6=4(cm) 在Rt△ECF中由勾股定理可得 EF2=CE2+CF2,即(8-x)2=x2+42 16x+X2=2+16 X=3(cm),即CE=3cm 注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积 题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直 例题5如图5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边, 他测得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与AB边垂直吗?怎样去 验证AD边与CD边是否垂直 解析:由于实物一般比较大,长度不容易用直尺来方便测量。我 们通常截取部分长度来验证。如图4,矩形ABCD表示桌面形状 在AB上截取AM=12cm在AD上截取AN=9cm(想想为什么要

设为这两个长度?),连结MN,测量MN的长度 ①如果M=15则AM2+AN=MN所以AD边与AB边垂直 ②如果MN=a≠15则92+12=81+144=225a2≠225即92+12≠a2,所以∠ A不是直角。利用勾股定理解决实际问题 例题6有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4. 5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开, 一个身高15米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打 开? 解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米,可想 而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型,如图6所示,A点表示控制灯, BM表示人的高度, BC II MN BC⊥AN当头(B点)距离A有5米时,求BC的 长度。已知AN=45米所以AC=3米,由勾股定理,可计算BC=4米即使要走 到离门4米的时候灯刚好打开。 题型六:旋转问题 例1、如图,ABC是直角三角形,BC是斜边,将4ABP绕点A逆时针旋转后,能与ACP 重合,若AP=3,求PP的长 变式1:如图,P是等边三角形ABC内一点,PA=2PB=23,PC=4求AE 分析:利用旋转变换,将△BPA绕点B逆时针选择60°,将三条线段集中到同 形中,根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形

变式2、如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E、F是BC上的点,且∠ EAF=45°,试探究BE2、CF2、EF间的关系,并说明理由 题型七:关于翻折问题 例1、如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将 矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长 变式:如图,AD是4ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿直线AD翻 C落在点C′的位置,BC=4求BC的长 题型八:关于勾股定理在实际中的应用 例1、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有 一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米 假使拖拉机行驶时,周围100米以內会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影晌,已知拖拉机的速度是 18千米小时,那么学校受到景响的时间为多少? 题型九:关于最短性问题 例5、如右图1-19,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的

下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫 便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是 绕着油,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击,结果,壁虎 的偷袭得到成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?(T取 314,结果保留1位小数,可以用计算器计算)变式:如图为一棱长为3cm的正方体, 把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从 下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟?