2020年中考数学专题：方程（组）的解法及应用

2020年中考数学专题:方程(组)的解法及应用 2020中考数学基础专题:方程(组)的解法及应用 【例题1】我市某校组织爱心捐书活动,准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区,其中 每包书的数目相等.第一次他们领来这批书的,结果打了16个包还多40本;第二次 他们把剩下的书全部取来,连同第一次打包剩下的书一起,刚好又打了9个包,那么这 批书共有多少本? 【分析】设这批书共有3x本,根据每包书的数目相等.即可得出关于x的一元一次方 程,解之即可得出结论 【解答】解:设这批书共有3x本, 根据题意得:2x-40x+40 解得: 3x=1500 答:这批书共有500本 【例题2】(2017毕节)某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学,在市场上 了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元,且用30元买这种本子的数量与用50元 买这种笔的数量相同 (1)求这种笔和本子的单价; (2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子,计划100元刚好用完,并 且笔和本子都买,请列出所有购买方案 【分析】(1)首先设这种笔单价为x元,则本子单价为(x-4)元,根据题意可得等量 关系:30元买这种本子的数量:50元买这种笔的数量,由等量关系可得方程 再解方程可得答案 (2)设恰好用完100元,可购买这种笔m支和购买本子n本,根据题意可得这种笔的 单价×这种笔的支数m+本子的单价X本子的本数n=1000,再求出整数解即可 【解答】解:(1)设这种笔单价为x元,则本子单价为(x-4)元,由题意得: 3050

2020 年中考数学专题：方程（组）的解法及应用

解得:x=10, 经检验:x=-10是原分式方程的解 则 答:这种笔单价为10元,则本子单价为6元 (2)设恰好用完100元,可购买这种笔m支和购买本子n本, 由题意得:10m+6n=100, 整理得:m=10-÷n ∵m、n都是正整数, ∴①n=5时,m=7,②n=10时,m=4,③n=15,m=1; 有三种方案: ①购买这种笔7支,购买本子5本 ②购买这种笔4支,购买本子10本; ③购买这种笔1支,购买本子15本 【例题3】小明作业本中有一页被显水污染了,已知他所列的方程组是正确的.写出题 中被墨水污染的条件,并求解这道应用题. 应用题:小东在某商场看中的一台电视和一台空词在“五一”前共需要5500元,由于 该商场开展“五一促的活动,同样的电视打八折销售 于是 小东在促的期间购买了同样的电视一台,空调两台,共花费7200元,求“五一”前同样的电 视和空调每台各多少元? 洋的电视每台x元,空调每台y元,根据题意,得 【考点】9A:二元一次方程组的应用 【专题】12:应用题 【分析】被污染的条件为:同样的空调每台优惠400元,设“五一”前同样的电视每台x 元,空调每台y元,根据题意列出方程组,求出方程组的解即可得到結果 【解答】解:被污染的条件为:同样的空调每台优惠400元

设“五一”前同样的电视每台x元,空调每台y元 根据题意得:{x+y=50 10.8x+2(y-400720 解得:{x2500 y=3000 则“五一”前同样的电视每台2500元,空调每台3000元 【例题4】某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线轨道交通线由线路敷设 搬迁安置、辅助配套三项工程组成,从2015年开始,市政府在每年年初分别对三项工 程进行不同数额的投资 2015年年初,对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两 年,线路敷设投资每年都增加b亿元,预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如 期完工;搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减,依此规律,在2017年 年初只需投资5亿元,即可顺利如期完工;辅助配套工程在2016年年初的投资在前一 年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的15倍,2017年年初的投资比该项 工程前两年投资的总和还多4亿元,若这样,辅助配套工程也可以如期完工,经测算 这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3:2. (1)这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元? (2)市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元? (3)求搬迁安置投资逐年递减的百分数 【分析】(1)由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的 总投资资金之比达到3:2,可得答案 (2)设2015年年初,对辅助配套的投资为x亿元,则线路敷设的投资为2x亿元,撒 迁安置的投资是4x亿元,根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投 资为36亿元”列方程组,解之求得x、b的值可得答案 (3)由x=5得出2015年初撤迁安置的投资为20亿元,设从2016年初开始,撒迁安置 投资逐年递减的百分数为y根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得 【解答】解:(1)三年用于辅助配套的投资将达到5×35(亿元) (2)设2015年年初,对辅助配套的投资为x亿元,则线路敷设的投资为2x亿元,撒

迁安置的投资是4x亿元 2x+2x+b+2x+2b=54 根据题意,得 (1+-)x+x+(1+ 1.5b)x+4=36 解得 ∴市政府205年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元 (3)由x=5得,2015年初搬迁安置的投资为20亿元, 设从2016年初开始,搬迁安置投资逐年递减的百分数为 由题意,得:20(1-y)2=5, 解得:y2=0.5,y2=1.5(舍) 答:搬迁安置投资逐年递减的百分数为50% 巩固练习 、选择题: 1.一球鞋厂,现打折促销卖出33双球鞋,比上个月多卖10%,设上个月卖出x双,列 出方程() A.10%x=330B.(1-10%)x=330C.(1-10%)2x=330D.(1+10%)x=30 【分析】设上个月卖出x双,等量关系是:上个月卖出的双数×(1+10%)=现在卖出的 双数,依此列出方程即可 【解答】解:设上个月卖出x双,根据题意得 (1+10%)x=33 2某车间有27名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母16 个或螺栓22个,若分配x名工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺 栓和螺母配套,则下面所列方程中正确的是( A.22x=16(27-x)B.16×=22(27-X)C.2×16x=22(27-x)D.2×22x=16 (27-x) 【分析】设分配x名工人生产螺栓,则(27-x)名生产螺母,根据每天生产的螺栓和螺 母按1:2配套,可得出方程 【解答】解:设分配x名工人生产螺栓,则(27-x)名生产螺母 ∵一个螺栓两个螺母,每人每天生产螺母16个或螺栓22个 可得2×22×=16(27-x) 故选D

3.“双11促销活动中,小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120 元的两种商品,则可供小芳妈妈选择的购买方案有() A.4种B.5种C.6种D.7种 【分析】设购买80元的商品数量为x,购买120元的商品数量为y,根据总费用是1000 元列出方程,求得正整数x、y的值即可 【解答】解:设购买80元的商品数量为x,购买120元的商品数量为y 依题意得:800100 整理,得 25-2x 因为x是正整数 所以当x=2时,y=7. 当x=5时,y=5 当x=8时,y=3. 当x=11时,y=1 即有4种购买方案 故选:A. 4已知关于x,y的二元一次方程组 ax+y1解为/1 则a-2b的值是() A.-2B.2C.3D.-3 【考点】97:二元一次方程组的解 【分析】把/1 y=1代入方程组,得出关于、b的方程组,求出方程组的解即可

【解答】解:把叫1代入方程组{2+13得:(2+ ax-byal a+b=1 得: 所以a- 5.如图,某小区计划在一块长为32m,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路 剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm,则下面所列方程 正确的是() A.(32-2X)(20-x)=570B.32x+2×20x=32×20-570 C.(32-x)(20-x)=32×20-570D.32×+2×20x-2x2=570 【分析六块矩形空地正好能拼成一个矩形,设道路的宽为xm,根据草坪的面积是570m2, 即可列出方程 【解答】解:设道路的宽为xm,根据题意得:(32-2x)(20-x)=570, 二、填空题 6.一件衣服售价为200元,六折销售,仍可获利20%,则这件衣服的进价是100元 【分析】此题的等量关系:实际售价=标价的六折=进价×(1+获利率),设未知数,列方 程求解即可 【解答】解:设进价是x元,则(1+20%)x=200×06, 解得:x=100 则这件衬衣的进价是100元

故答案为100 7.“六一”前夕,市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套,已知1套文具和3套 图书需104元,3套文具和2套图书需116元,则1套文具和1套图书需48元 【分析】设1套文具的价格为x元,一套图书的价格为y元,根据“1套文具和3套图书 需104元,3套文具和2套图书需116元”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解 之即可得出x、y的值,将其代入x+y中,即可得出结论 【解答】解:设1套文具的价格为x元,一套图书的价格为y 根据题意得:{+310 3x+2y=116 解得 x+y=20+28=48 故答案为: 8原价100元的某商品,连续两次降价后售价为81元,若每次降低的百分率相同,则降 低的百分率为109 【分析】先设平均每次降价的百分率为x,得出第一次降价后的售价是原来的(1-x), 第二次降价后的售价是原来的(1-x)2,再根据题意列出方程解答即可 【解答】解:设这两次的百分率是x,根据题意列方程得 解得x1=0.1=109,x=1.9(不符合题意,舍去) 答:这两次的百分率是109% 故答案为:10 9在△ABC中BC=2,AB=2V3,AC=b,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根 则AC边上的中线长为2 【分析】由根的判别式求出AC=b=4,由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形,再 由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论 【解答】解:∵关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根

∴△=16-4b=0 AC=b=4 BC=2,AB=2√3 ∴BC2+AB2=AC2, △ABC是直角三角形,AC是斜边, ∴AC边上的中线长=1AC=2 故答案为:2 10若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是k≤5且 【考点】AA:根的判别式 【分析】根据一元二次方程有实数根可得k-1≠0,且b2-4ac=16-4(k-1)≥0,解 之即可 【解答】解:∵一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根 ∴k-1≠0,且b2-4ac=16-4(k-1)≥0 解得:k≤5且k≠1, 故答案为:k≤5且k≠1 三、解答题: 1某次篮球联赛初赛阶段,每队有10场比赛,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2 分,负一场得1分,积分超过15分才能获得参赛资格 (1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分,求甲队初赛阶段胜、负各多少场; (2)如果乙队要获得参加决赛资格,那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场? 【分析】(1)设甲队胜了x场,则负了(10-x)场,根据每队胜一场得2分,负一场得 1分,利用甲队在初赛阶段的积分为18分,进而得出等式求出答案; (2)设乙队在初赛阶段胜a场,根据积分超过15分才能获得参赛资格,进而得出答案 【解答】解:(1)设甲队胜了x场,则负了(10-x)场,根据题意可得 2x+10-X=18

解得:x=8 则10-x=2 答:甲队胜了8场,则负了2场 (2)设乙队在初赛阶段胜a场,根据题意可得 2a+(10-a)≥15, 解得:a≥5 答:乙队在初赛阶段至少要胜5场 2丽商场销售A,B两种商品,售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元, 售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元 (1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元 (2)由于需求量大,A、B两种商品很快售完,或丽商场决定再一次购进A、B两种商 品共34件,如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元,那么威丽商场至 少需购进多少件A种商品? 【分析】(1)设A种商品售出后所得利润为x元,B种商品售出后所得利润为y元,由 售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元,售出3件A种商品和5件B种 商品所得利润为1100元建立两个方程,构成方程组求出其解就可以 (2)设购进A种商品a件,则购进B种商品(34-a)件,根据获得的利润不低于4000 元,建立不等式求出其解就可以了 【解答】解:(1)设A种商品售出后所得利润为x元,B种商品售出后所得利润为y元,由 题意,得 x+4y=600 3x+5y=1100 解得,=20 答:A种商品售出后所得利润为200元,B种商品售出后所得利润为100元 (2)设购进A种商品a件,则购进B种商品(34-a)件.由题意,得 200a+100(34-a)≥4000, 解得:a≥6

答:威丽商场至少需购进6件A种商品 3东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生 产76件,每件利润10元,调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润 增加2元 (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品 (2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的 某档次产品一天的总利润为180元,该烘焙店生产的是第几档次的产品? 【分析】(1)根据生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元,即可求出 每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品 (2)设烘焙店生产的是第x档次的产品,根据单件利润X销售数量=总利润,即可得出 关于x的一元二次方程,解之即可得出结论 【解答】解:(1)(14-10)÷2+1=3(档次) 答:此批次蛋糕属第3档次产品 (2)设烘熔店生产的是第x档次的产品 根据题意得:(2x+8)×(76+4-4x)=1080, 整理得:x2-16x+55=0 解得:x1=5,x2=11 答:该烘焙店生产的是第5档次或第11档次的产品 4某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模,今年受气候、雨水等因素的影响 樱桃较去年有小幅度的减产,而枇杷有所增产 (1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克,其中枇杷的产量不超过樱桃产量的 7倍,求该果农今年收获樱桃至少多少千克? (2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售,该果农去年樱桃 的市场销售量为100千克,销售均价为30元/千克,今年樱桃的市场销售量比去年减少 了m%,销售均价与去年相同,该果农去年枇杷的市场销售量为200千克,销售均价为 20元/千克,今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%,但销售均价比去年减少了m%, 该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市 场销售总金额相同,求m的值