第一章章末测试卷 选择题(每小题4分,共20分) 1.用反证法证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°” 时应假设(D) (A)三角形中有一个内角小于或等于60° (B)三角形中有两个内角小于或等于60° (C)三角形中有三个内角小于或等于60° (D)三角形中没有一个内角小于或等于6 2.在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么下列各边的比值中, 是这个直角三角形的三边之比的是(D) (A)2:3:4(B)5:12:13 (C)2:22:3(D)3:3:23 3.如图,已知△ABC,点D,E分别在边AC,AB上,∠ABD=∠ACE,下列条件 中,不能判定△ABC是等腰三角形的是(D (A) AE=AD (B)BD=CE (C)∠ECB=∠DBC (D)∠BEC=∠CDB 4.如图,△ABC中,AB=AC,以AB,AC为边在△ABC的外侧作两个等边三 角形△ABE和△ACD,若∠EDC=40°,则∠ABC的度数为(B
第一章 章末测试卷 一、选择题(每小题 4 分,共 20 分) 1.用反证法证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°” 时应假设( D ) (A)三角形中有一个内角小于或等于 60° (B)三角形中有两个内角小于或等于 60° (C)三角形中有三个内角小于或等于 60° (D)三角形中没有一个内角小于或等于 60° 2.在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么下列各边的比值中, 是这个直角三角形的三边之比的是( D ) (A)2∶3∶4 (B)5∶12∶13 (C) ∶2 ∶3 (D) ∶3∶2 3.如图,已知△ABC,点D,E分别在边AC,AB 上,∠ABD=∠ACE,下列条件 中,不能判定△ABC 是等腰三角形的是( D ) (A)AE=AD (B)BD=CE (C)∠ECB=∠DBC (D)∠BEC=∠CDB 4.如图,△ABC 中,AB=AC,以 AB,AC 为边在△ABC 的外侧作两个等边三 角形△ABE 和△ACD,若∠EDC=40°,则∠ABC 的度数为( B )
第4题图 (A)75°(B)80°(C)70°(D)85° 5.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,∠ABC的平分 线BE分别交CD,CA于点F,E,则下列结论正确的有(A) ①∠CFE=∠CEF;②∠FCB=∠FBC;③∠A=∠DCB;④∠CFE与∠CBF 互余 (A)①③④(B)②③④ (C)①②④(D)①②③ 第5题图 填空题(每小题4分,共20分) 6.将一副三角板按如图所示方式放置,则∠1与∠2的和是 45° 第6题图 7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E, 交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是2
第 4 题图 (A)75° (B)80° (C)70° (D)85° 5.如图,已知△ABC 中,∠ACB=90°,CD 为 AB 边上的高,∠ABC 的平分 线 BE 分别交 CD,CA 于点 F,E,则下列结论正确的有( A ) ①∠CFE=∠CEF;②∠FCB=∠FBC;③∠A=∠DCB;④∠CFE 与∠CBF 互余. (A)①③④ (B)②③④ (C)①②④ (D)①②③ 第 5 题图 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 6 .将一副三角板按如图所示方式放置, 则∠1 与∠2 的和是 45° . 第 6 题图 7.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 E, 交 BC 的延长线于 F,若∠F=30°,DE=1,则 BE 的长是 2
第7题图 8.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的三条内角平分线交于点 0,OM⊥AB于M,若OM=4,S△A=180,则△ABC的周长是90 9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于D,DE是AB 的垂直平分线,垂足为E,若BC=3,则DE的长为 第9题图 10.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高 得到下列四个结论 ①OA=0D;②AD⊥EF ③当∠BAC=90°时,AE=DE=DF=AF; ④AE+DF=AF+DE 其中正确的是②③④ 第10题图 三、解答题(共60分)
第 7 题图 8.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,△ABC 的三条内角平分线交于点 O,OM⊥AB 于 M,若 OM=4,S△ABC=180,则△ABC 的周长是 90 . 9.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠CAB 的平分线交 BC 于 D,DE 是 AB 的垂直平分线,垂足为 E,若 BC=3,则 DE 的长为 1 . 第 9 题图 10.如图,AD 是△ABC 的角平分线,DE,DF 分别是△ABD 和△ACD 的高, 得到下列四个结论: ①OA=OD;②AD⊥EF; ③当∠BAC=90°时,AE=DE=DF=AF; ④AE+DF=AF+DE. 其中正确的是 ②③④ . 第 10 题图 三、解答题(共 60 分)
11.(8分)如图,某学校(A点)与公路(直线1)的距离AB为300m,又与 公交车站①D点)的距离AD为500m,现要在公路上建一个小商店(C点), 使CA=CD,求商店与车站之间的距离CD的长 解:因为AB⊥直线1于B,AB=300m,AD=500m. 所以BD=AD2-AB=400m 设CD=CA=xm,则CB=(400-x)m, 在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=AB+BC, 则x2=300+(400x)2, 解得x=312.5. 答:商店与车站之间的距离为312.5m. 12.(10分)写出命题“等腰三角形两腰上的高长度相等”的逆命题, 判断这个命题的真假,并说明理由 解:命题“等腰三角形两腰上的高长度相等”的逆命题是“两边上的 高长度相等的三角形为等腰三角形”,此逆命题为真命题 理由:如图,在△ABC中,CD⊥AB,BE⊥AC, 所以∠BDC=∠CEB=90 因为CD=BE,BC=CB, 所以Rt△CBD≌Rt△BCE(H)
11.(8 分)如图,某学校(A 点)与公路(直线l)的距离AB 为 300 m,又与 公交车站(D点)的距离AD 为500 m,现要在公路上建一个小商店(C 点), 使 CA=CD,求商店与车站之间的距离 CD 的长. 解:因为 AB⊥直线 l 于 B,AB=300 m,AD=500 m. 所以 BD= =400 m. 设 CD=CA=x m,则 CB=(400-x)m, 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AC2 =AB2 +BC2 , 则 x 2 =3002 +(400-x) 2 , 解得 x=312.5. 答:商店与车站之间的距离为 312.5 m. 12.(10 分)写出命题“等腰三角形两腰上的高长度相等”的逆命题, 判断这个命题的真假,并说明理由. 解:命题“等腰三角形两腰上的高长度相等”的逆命题是“两边上的 高长度相等的三角形为等腰三角形”,此逆命题为真命题. 理由:如图,在△ABC 中,CD⊥AB,BE⊥AC, 所以∠BDC=∠CEB=90°, 因为 CD=BE,BC=CB, 所以 Rt△CBD≌Rt△BCE(HL)
所以∠DBC=∠ECB,AB=AC, 所以△ABC为等腰三角形 13.(10分)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,DE∥AB交BC于E,交AC 于F,∠CDE=∠ACB=30° (1)求证:△FCD是等腰三角形; (2)若BC=DE,求∠CAD的度数 (1)证明:因为∠B=90°,∠ACB=30°, 所以∠BAC=60 因为AB∥DE, 所以∠EFC=∠BAC=60° 因为∠CDE=30°, 所以∠FCD=∠EFC-∠CDE=60°-30°=30°, 所以∠FCD=∠FDC, 所以FD=FC, 即△FCD为等腰三角形. (2)解:因为DE∥AB, 所以∠DEC=∠B. ∠CDE=∠ACB, 在△DCE和△CAB中 DE= CB ∠DEC=∠B=90 所以△DCE≌△CAB(ASA)
所以∠DBC=∠ECB,AB=AC, 所以△ABC 为等腰三角形. 13.(10 分)如图,在四边形 ABCD 中,∠B=90°,DE∥AB 交BC 于E,交 AC 于 F,∠CDE=∠ACB=30°. (1)求证:△FCD 是等腰三角形; (2)若 BC=DE,求∠CAD 的度数. (1)证明:因为∠B=90°,∠ACB=30°, 所以∠BAC=60°. 因为 AB∥DE, 所以∠EFC=∠BAC=60°. 因为∠CDE=30°, 所以∠FCD=∠EFC-∠CDE=60°-30°=30°, 所以∠FCD=∠FDC, 所以 FD=FC, 即△FCD 为等腰三角形. (2)解:因为 DE∥AB, 所以∠DEC=∠B. 在△DCE 和△CAB 中, 所以△DCE≌△CAB(ASA)
所以CA=CD 所以∠CAD=∠ADC=030=75° 14.(10分)如图,已知锐角三角形ABC (1)在△ABC内部作一点P,使PB=PC,且点P到AB,BC的距离相等;(不 写作法,保留作图痕迹) (2)若∠A=60°,∠ACP=27°,求∠ABP 解:(1)如图所示,点P即为所求 (2)连接PC,因为PB=PC, 所以∠PBC=∠PCB 设∠ABP=x,由作图知∠ABP=∠PBC,则∠PBC=∠PCB=x, 因为∠A=60°,∠ACP=27° 所以∠A+∠ACP+3x=180°, 所以∠ABP=x=(180°-60°-27°)=31° 15.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向 AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高
所以 CA=CD, 所以∠CAD=∠ADC= =75°. 14.(10 分)如图,已知锐角三角形 ABC. (1)在△ABC 内部作一点P,使 PB=PC,且点 P 到AB,BC 的距离相等;(不 写作法,保留作图痕迹) (2)若∠A=60°,∠ACP=27°,求∠ABP. 解:(1)如图所示,点 P 即为所求. (2)连接 PC,因为 PB=PC, 所以∠PBC=∠PCB, 设∠ABP=x,由作图知∠ABP=∠PBC,则∠PBC=∠PCB=x, 因为∠A=60°,∠ACP=27°, 所以∠A+∠ACP+3x=180°, 所以∠ABP=x= (180°-60°-27°)=31°. 15.(10 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 上任意一点,过 D 分别向 AB,AC 引垂线,垂足分别为 E,F,CG 是 AB 边上的高
(1)当D点在BC的什么位置时,D=DF?并证明 2)求证:DE+DF=CG (1)解:当点D在BC的中点时,DE=DF 证明如下 因为D为BC中点, 所以BD=CD 因为AB=AC, 所以∠B=∠C, 因为DE⊥AB,DF⊥AC, 所以∠DEB=∠DFC=90° 所以△BED≌△CFD(AS), 所以DE=DF (2)证明:如图,连接AD, 则 S△AB+S△A, 即AB·CG=AB·DE+ AC·DF
(1)当 D 点在 BC 的什么位置时,DE=DF?并证明; (2)求证:DE+DF=CG. (1)解:当点 D 在 BC 的中点时,DE=DF. 证明如下: 因为 D 为 BC 中点, 所以 BD=CD, 因为 AB=AC, 所以∠B=∠C, 因为 DE⊥AB,DF⊥AC, 所以∠DEB=∠DFC=90°, 所以△BED≌△CFD(AAS), 所以 DE=DF. (2)证明:如图,连接 AD, 则 S△ABC=S△ABD+S△ACD, 即 AB·CG= AB·DE+ AC·DF
因为AB=AC, 所以DE+DF=CG 16.(12分)已知△ABC为等边三角形,点D为BC上的点,以AD为边, 作等边△ADE,连接CE (1)求证:BD=CE (2)猜想AB和CE有何位置关系,并加以证明 (1)证明:因为△ADE与△ABC都是等边三角形, 所以AC=AB,AE=AD,∠DAE=∠BAC=60 所以∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD, 即∠CAE=∠BAD, AC= AB ∠CAE=∠BAD 在△CAE与△BAD中, AE =AD 所以△CAE≌△BAD(SAS), 所以BD=CE (2)解:EC∥AB,证明如下 因为△CAE≌△BAD, 所以∠ACE=∠B=60 所以∠ACE=∠BAC=60° 所以EC∥AB
因为 AB=AC, 所以 DE+DF=CG. 16.(12 分)已知△ABC 为等边三角形,点 D 为 BC 上的点,以 AD 为边, 作等边△ADE,连接 CE. (1)求证:BD=CE; (2)猜想 AB 和 CE 有何位置关系,并加以证明. (1)证明:因为△ADE 与△ABC 都是等边三角形, 所以 AC=AB,AE=AD,∠DAE=∠BAC=60°, 所以∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD, 即∠CAE=∠BAD, 在△CAE 与△BAD 中, 所以△CAE≌△BAD(SAS), 所以 BD=CE. (2)解:EC∥AB,证明如下: 因为△CAE≌△BAD, 所以∠ACE=∠B=60°, 所以∠ACE=∠BAC=60°, 所以 EC∥AB