因式分解 授课教师包珏晔 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它是把一个多项式化为几个整式的积的形式它与整 式乘法是两个互逆的变形过程因式分解是分式通分和约分的必要知识,更是解一元二次方程、分式 方程、无理方程、特殊的高次方程的基础 因式分解的主要方法有:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法,另外还应了解求根 法及待定系数法 知识起点 在初中阶段我们已经学习了提取公因式法、公式法来分解因式在分解因式时应注意以下二点 1.分解因式的一步骤 (1)首先提取公因式 (2)接着尝试运用公式分解 (3)如果用上述方法都不能分解,那么可以尝试用分组分解法来分解 2.每个因式都要分解到不能再分解为止 知识升华 十字相乘法 1.x2+(p+q)x+p型的因式分解 在初中我们学习了关于x2+(p+q)x+p这类二次三项式的因式分解这类式子的特点是:二次项 系数为1常数项是两个因数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和 g)x+ pq=x+ px+x+ pq=x(x+p)+q(x+ p)=(x+p(x+q 因此 (p+g)x+ pq=(x+p(x+q 运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式. 例1把下列各式因式分解: (1)x2-7x+6 (2)x2+13x+36 说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的 符号相同 试一试1:把下列各式因式分解: (1)x2+5x-2
27 因式分解 授课教师 包珏晔 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它是把一个多项式化为几个整式的积的形式,它与整 式乘法是两个互逆的变形过程. 因式分解是分式通分和约分的必要知识,更是解一元二次方程、分式 方程、无理方程、特殊的高次方程的基础. 因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法,另外还应了解求根 法及待定系数法． 在初中阶段我们已经学习了提取公因式法、公式法来分解因式.在分解因式时应注意以下二点： 1. 分解因式的一步骤 (1)首先提取公因式； (2)接着尝试运用公式分解； (3)如果用上述方法都不能分解,那么可以尝试用分组分解法来分解. 2. 每个因式都要分解到不能再分解为止. 一．十字相乘法 1． 2 x ++ + ( ) p q x pq 型的因式分解 在初中我们学习了关于 x 2 +（p+q）x+pq 这类二次三项式的因式分解,这类式子的特点是：二次项 系数为 1,常数项是两个因数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和. 2 2 x ++ + = + ++ = ++ + =+ + ( ) ( ) ( ) ( )( ) p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q 因此， 2 x ++ + =+ + ( ) ( )( ) p q x pq x p x q 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式． 例 1 把下列各式因式分解： (1) 2 x x − + 7 6 (2) 2 x x +13 36 + 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的 符号相同． 试一试 1: 把下列各式因式分解： (1) 2 x x + − 5 24 (2) 2 2 x + − xy y 6
2.一般二次三项式ax2+bx+c型的因式分解 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢?下面我们就来讨论这个问题,即把某些形 如ax2+bx+c的二次三项式因式分解 例2把2x2-7x+3分解因式 般地对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积即a=a1a2 常数项c可以分解成两个因数之积即c=cc2,把a1a2c1c2排列如下 按斜线交叉相乘再相加得到a2c1+a1c2,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即 a2c1+a1c2=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式ax+c1与a2x+c2之积,即 x+bx+e= (ax+c,)(axx+c2) 像这种借助十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法通常叫做十字相 乘法 例3把6x2-7x-5分解因式 通过例2和例3可以看到运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往 要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式 对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式这时只需考虑如何把常数项 分解因数例如把x2+2x-15分解因式十字相乘法是 1×(-3)+1×5=2 所以x2+2x-15=(x-3)(x+5) 试一试2.用十字相乘法分解因式 (1)2x25x-12 (2)3y2-5y-2 (3)6x2-13x+5
28 2．一般二次三项式 2 ax bx c + + 型的因式分解 对于二次项系数不是 1 的二次三项式如何因式分解呢？下面我们就来讨论这个问题,即把某些形 如 ax 2 +bx+c 的二次三项式因式分解. 例 2 把 2 2 73 x − +x 分解因式. 一般地,对于二次三项式 ax 2 +bx+c（a≠0）,如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积,即 a=a1a2, 常数项 c 可以分解成两个因数之积,即 c =c1c2,把 a1,a2,c1,c2 排列如下： a1 c1 a2 × c2 a2c1 + a1c2 =b 按斜线交叉相乘,再相加,得到 a2c1 + a1c2 ,若它正好等于二次三项式 ax 2 +bx+c 的一次项系数 b,即 a2c1+a1c2 =b,那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1与 a2x+c2 之积,即 ax 2 +bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2） 像这种借助十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相 乘法. 例 3 把 6x 2 -7x -5 分解因式. 通过例 2 和例 3 可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1 的二次三项式因式分解,往往 要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是 1 的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项 分解因数.例如把 x 2 +2x-15 分解因式,十字相乘法是 1 -3 1 × 5 1×（-3）+ 1×5=2 所以 x 2 +2x-15=（x-3）（x+5）. 试一试 2．用十字相乘法分解因式： （1）2x 2 -5x-12； （2）3y 2 -5y-2； （3）6x 2 -13x+5；
例4把5x2+6xy-8y2分解因式 注意:原式分解为两个关于xy的一次式 试一试3.把下列各式分解因式 (1)18x2-21xy+5y (2)2(a+b)2+(a+b)(a-b)-6(ab) 二.分组分解法 在因式分解时,对于四项及以上的多项式,如ma+mb+na+mb,既没有公式可用,也没有因 式可提,此时要将多项式分组处理,使分组后用提取公因式法或能用公式法分解.这种利用分组来因 式分解的方法叫做分组分解法. 例5把2ax-10qy+5by-bx分解因式 说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本 题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学们不妨一试 试一试4.分解因式(1)a6-a+a2-1:(2)b2+c2+2ab+2ac+2bc 三.关于x的二次三项式ax2+bxt+c(a≠0)的分解因式 若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x、x2,则二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)就可分解为a(x-x)(x-x2) 例6把下列关于x的二次多项式分解因式: (1)x2+2x-1 (2)x2+4xy-4y
29 例 4 把 5x 2 +6xy - 8y 2 分解因式. 注意：原式分解为两个关于 x,y 的一次式. 试一试 3．把下列各式分解因式： （1）18x 2 -21xy+5y 2 ； （2）2（a+b）2 +（a+b）（a-b）-6（a-b）2 . 二．分组分解法 在因式分解时，对于四项及以上的多项式，如 ma mb na nb + + + ，既没有公式可用，也没有因 式可提，此时要将多项式分组处理,使分组后用提取公因式法或能用公式法分解.这种利用分组来因 式分解的方法叫做分组分解法. 例 5 把2 10 5 ax ay by bx − +− 分解因式． 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本 题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学们不妨一试． 试一试 4. 分解因式（1） 64 2 aa a −+ − 1； （2） 2 2 b c ab ac bc ++ + + 222 . 三．关于 x 的二次三项式 ax 2 +bx+c(a≠0)的分解因式 若关于 x 的方程 2 ax bx c a + += ≠ 0( 0) 的两个实数根是 1 x 、 2 x ,则二次三项式 2 ax bx c a ++ ≠ ( 0)就可分解为 1 2 ax x x x ( )( ) − − . 例 6 把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） 2 x + − 2 1 x ； （2） 2 2 x + − 4 4 xy y ．
试一试5.在实数范围内因式分解 四待定系数法分解因式 例7分解因式2x2+xy-3y2+x+14y-15 试一试6.分解因式2x2+xy-y2-4x+5y-6 自主捉高 多项式2x2-xy-15y2的一个因式为 (A)2x-5y(B)x-3y (C)x+3 (D)x-5y 2.分解多项式a2-b2-c2+2bc时,分组正确的是 ) (A)(a2-b2)-(c2-2bc) (B)(a2-b2-c2)+2bc (C)(a2-c2)-(b2-2bc) 若2x3+x2-12x+k有一个因式为2x+1,则k的值为 4.已知x-3y=2,x+y=5,则代数式x2-2xy-3y2= 5.若将(2x)-81分解后得(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n= 6.分解因式3x2+5xy +x+9y-4= 7.分解因式:(1)x2+6x+8 (2)8a3-b3 (3)x2-2x-1 (4)4(x-y+1)+y(y-2x) 8.在实数范围内分解因式: (1)3x2+4 (2)(x2-2x)2-7(x2-2x)+12
30 试一试 5. 在实数范围内因式分解： （1） 2 x − + 5 3 x ； （2） 2 x − 22 3 x − . 四.待定系数法分解因式 例 7 分解因式 2 2 2 3 14 15 x xy y x y + − ++ − . 试一试 6.分解因式 2 2 2 456 x +−−+− xy y x y . 1．多项式 2 2 2 15 x − − xy y 的一个因式为 （ ） （A） 2 5 x − y （B） x −3y （C） x + 3y （D） x −5y 2．分解多项式 a b c 2bc 2 2 2 − − + 时,分组正确的是 （ ） （A）（ ) ( 2 ) 2 2 2 a − b − c − bc （B）(a b c ) 2bc 2 2 2 − − + （C）( ) ( 2 ) 2 2 2 a − c − b − bc （D） ( 2 ) 2 2 2 a − b + c − bc 3．若 3 2 2 12 x +− + x xk 有一个因式为 2 1 x + ,则 k 的值为 （ ） (A) 0 (B) -6 (C) -1 (D) 6 4．已知 x y xy − = += 3 2, 5,则代数式 2 2 x − 2 3 xy y − = _________. 5．若将(2 ) 81 n x − 分解后得 2 (4 9) (2 3) (2 3) x xx + + − ,则n =__ ___. 6. 分解因式 2 2 3 5 2 94 x xy y x y + − ++ − =____ ___. 7．分解因式：（1） 2 x + + 6 8 x ； （2） 3 3 8 ; a b − （3） 2 x − − 2 1 x ； （4）4( 1) ( 2 ) x − y yy x ++ − ． 8．在实数范围内分解因式： （1） 2 2 3 4 x + − xy y ； （2） 222 ( 2 ) 7( 2 ) 12 xx xx − − −+ ．
元二次方程根与系数的关系 授课教师包珏晔 对于一元二次方程,我们已经学会了用合适的方法(配方法,公式法,因式分解法等)去解,但是 对于很多题目来说,仍然有很烦琐的计算.在解决一元二次方程中的字母系数、整数根、及根的分布 等问题时,直接运用根与系数的关系显得更加简洁有力 s知识起点 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当判别式△=b2-4a<0时,方程无实数根 当判别式△=62-4m0时,方程有两个实数眼x个b+√b2 -b-√b2-4ac ,于是导出 方程的两根之和与两根之积 b+√b2-4ac-b-√b2 b -b+√b2-4ac-b-√b2-4acb2-(b2-4ac)4acc x,x2 4a2 4a2 a 知识升华 、韦达定理 元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x+、b M,x2 这一关系也 被称为韦达定理 特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x,x2是其两根由韦达定理 可知x+x2=-P,x1·x2=q 2.若x,x2是方程x2+px+q=0的两根,则有P=-(x1+x2),q=x1·x2,于是原方程 可化为x2-(x+x2)x+x·x2=0.由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所 以,x,x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+xx2=0的两根因此,以两个数x,x2为根的一元二 次方程(二次项系数为1)是x2-(x+x2)x+x:x2=0 已典型冽题 例1已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值
31 一元二次方程根与系数的关系 授课教师 包珏晔 对于一元二次方程,我们已经学会了用合适的方法（配方法,公式法,因式分解法等）去解,但是 对于很多题目来说,仍然有很烦琐的计算.在解决一元二次方程中的字母系数、整数根、及根的分布 等问题时，直接运用根与系数的关系显得更加简洁有力. 一元二次方程 2 ax bx c a + += ≠ 0( 0) ,当判别式 2 Δ =− < b ac 4 0 时，方程无实数根. 当判别式 2 Δ= − ≥ b ac 4 0 时，方程有两个实数根 2 1 4 2 b b ac x a −+ − = , 2 2 4 2 b b ac x a −− − = ,于是导出 方程的两根之和与两根之积： 2 2 1 2 4 42 2 22 b b ac b b ac b b x x a a aa −+ − −− − − + = + = =− ； 2 2 22 1 2 2 2 4 4 ( 4) 4 2 2 44 b b ac b b ac b b ac ac c x x a a a aa −+ − −− − − − ⋅ = ⋅ = == ． 一、韦达定理 1. 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 2 ax bx c a + += ≠ 0( 0) 的两根分别是 1 x , 2 x ,那么 1 2 b x x a + = − , 1 2 c x x a ⋅ = .这一关系也 被称为韦达定理． 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 2 x px q + + = 0 ,若 1 x , 2 x 是其两根,由韦达定理 可知 1 2 x + =− x p , 1 2 x ⋅ = x q . 2. 若 1 x , 2 x 是方程 2 x px q + += 0 的两根,则有 1 2 p = − + ( ) x x , 1 2 q xx = ⋅ ,于是原方程 可化为 2 1 2 12 x x xx xx − + +⋅ = () 0 .由于 1 x , 2 x 是一元二次方程 2 x px q + + = 0 的两根,所 以, 1 x , 2 x 也是一元二次方程 2 1 2 12 x x xx xx − + +⋅ = () 0 的两根．因此,以两个数 1 x , 2 x 为根的一元二 次方程（二次项系数为 1）是 2 1 2 12 x x xx xx − + +⋅ = () 0 . 例 1 已知方程 2 5 60 x kx + − = 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值．
试一试1.m取何值时,关于x的方程(m-2)x2-2mx+m+1=0有实数根? 例2已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两 个根的积大21,求m的值 说明:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围,然后 再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值,取满足条件的m的值即可 (2)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式△是否大于等 于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根 试一试2.已知关于x的一元二次方程8x2+(m+1)x+m-7=0有两个负数根,求实数m的取 值范围. 例3已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数 试一试3.以一3和1为根的一元二次方程是
32 试一试 1. m 取何值时，关于 x 的方程 2 ( 2) 2 1 0 m x mx m − − + += 有实数根？ 例 2 已知关于 x 的方程 2 2 x m xm + − + += 2( 2) 4 0 有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两 个根的积大 21,求m 的值． 说明：（1）在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围,然后 再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的值即可． （2）在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式 Δ 是否大于等 于零．因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根． 试一试 2. 已知关于 x 的一元二次方程 2 8 ( 1) 7 0 x m xm + + + −= 有两个负数根，求实数 m 的取 值范围. 例 3 已知两个数的和为 4,积为－12,求这两个数． 试一试 3. 以－3 和 1 为根的一元二次方程是 ．
例4若x和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根 (1)求x-x|的值;(2)求2+一的值:(3)求x2+x2的值 说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这个量的问题, 为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律 设x和x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则 sb-√b2-4ac b+√b2-4ac-b-√b2-4ac2√b2-4ac √b2-4ac√A 于是有下面的结论: 若x和x分别是一元二次方程a2+b+c=00≠0)的两个根则x-x=△ (其中△=b2-4ac) 今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论
33 例 4 若 1 x 和 2 x 分别是一元二次方程 2 2 5 30 x x + − = 的两根． （1）求 1 2 x − x 的值； （2）求 2 2 1 2 1 1 x x + 的值； （3）求 3 3 1 2 x + x 的值． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这个量的问题, 为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律： 设 1 x 和 2 x 分别是一元二次方程 2 ax bx c a + += ≠ 0( 0) 的两个根,则 2 1 4 2 b b ac x a −+ − = , 2 2 4 2 b b ac x a −− − = , 2 22 1 2 4 424 2 22 b b ac b b ac b ac x x a aa −+ − −− − − ∴ −= − = 2 4 || || b ac a a − Δ = = ． 于是有下面的结论： 若 1 x 和 2 x 分别是一元二次方程 2 ax bx c a + += ≠ 0( 0) 的两个根则 1 2 | | x x a Δ − = （其中 Δ＝ 2 b ac − 4 ）． 今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论．
试一试5.关于x的方程x2+4x+m=0的两根为x,x2满足x-x1|=2,求实数m的值 知识升华 二、一元二次方程实根的分布 根据韦达定理 x1+x2 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二实根为x1、x2,则 根的判别式:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a40),根的判别式△=b2-4ac (1)当△>0时,方程有两个不相等的实数根 2≈b±√b2-4ac (2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根 b 2 (3)当Δ<0时,方程没有实数根 已典型冽题 例7当m取什么实数时,方程4x2+(m-2)x+(m5)=0分别有 ①两个正实根 ②一正根和一负根
34 试一试 5. 关于 x 的方程 2 x xm + += 4 0的两根为 1 x , 2 x 满足 1 2 x x − = 2 ,求实数m 的值． 二、一元二次方程实根的分布 根据韦达定理 方程 0 2 ax + bx + c = （ a ≠ 0 ）的二实根为 1 x 、 2 x ，则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = − a c x x a b x x 1 2 1 2 根的判别式：对于一元二次方程 ax 2 ＋bx＋c＝0（a≠0），根的判别式 Δ=b2 －4ac （1） 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝ 2 4 2 b b ac a −± − ； （2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 2 b a ； （3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． 例 7 当 m 取什么实数时，方程 4x 2 +(m-2)x+(m-5)=0 分别有: ①两个正实根； ②一正根和一负根；
试一试6. 当m取什么实数时,方程4x2+(m-2x+(m5=0分别有 (1)正根绝对值大于负根绝对值:(2)两根都大于1 自主捉高 1.已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根是 (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 2.下列四个说法 ①方程x2+2x-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7 ②方程x2-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7; ③方程3x2-7=0的两根之和为0,两根之积为 7 ④方程3x2+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0 其中正确说法的个数是 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3.关于x的方程x2-2(1-m)x+m2=0有两实数根a,B,则a+B的取值范围为 (A)a+B≥ (B)a+B≤ (C)a+B≥1 (D)a+B≤1 4.方程kx2+4x-1=0的两根之和为-2,则k 5.方程4x2-7x-3=0的两根为a,B,则、B+B 6.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x2-7x-1=0各根的相反数 7.已知关于x的方程x2-(m-2)x-m=0 (1)求证:无论m取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根 (2)若这个方程的两个实数根x,x2满足x2={x1+2,求m的值及相应的x,x2
35 试一试 6． 当 m 取什么实数时，方程 4x 2 +(m-2)x+(m-5)=0 分别有: （1）正根绝对值大于负根绝对值；（2）两根都大于 1． 1. 已知关于 x 的方程 2 x kx + −= 2 0 的一个根是 1,则它的另一个根是 （ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 2. 下列四个说法： ①方程 2 x x + −= 2 70的两根之和为－2,两根之积为－7； ②方程 2 x x − += 2 70的两根之和为－2,两根之积为 7； ③方程 2 3 70 x − = 的两根之和为 0,两根之积为 7 3 − ； ④方程 2 3 20 x x + = 的两根之和为－2,两根之积为 0． 其中正确说法的个数是 （ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 3. 关于 x 的方程 2 2 x mx m −− += 2(1 ) 0 有两实数根α , β ,则α + β 的取值范围为 （ ） （A）α＋β≥ 1 2 （B）α＋β≤ 1 2 （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 4. 方程 2 kx x + −= 4 10 的两根之和为－2,则k ＝ ． 5. 方程 2 4 7 30 x x − −= 的两根为α , β ,则 1 1 β α α β + + + ＝ ． 6. 求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 2 x x − 7 10 − = 各根的相反数． 7. 已知关于 x 的方程 2 2 ( 2) 0 4 m xmx −− − = ． （1）求证：无论 m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根； （2）若这个方程的两个实数根 1 x , 2 x 满足 2 1 x x = + 2 ,求m 的值及相应的 1 x , 2 x ．
§11.1集合的含义与表示 授课教师包珏晔 学习且标 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言 的意义和作用; 3.掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征 学习过程 课前准备 讨论:军训前学校通知:9月1日上午8点,高一年级在体育馆集合进行军训动员.试问这个通知的 对象是全体的高一学生还是个别学生? 引入:在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二 高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念—集合,即是一些研究 对象的总体 集合是近代数学最基本的内容之一,许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上,它还渗 透到自然科学的许多领域,其术语的科技文章和科普读物中比比皆是,学习它可为参阅一般科技读 物和以后学习数学知识准备必要的条件 二、新课导学 ※探囊新知 探究1:考察几组对象: ①1~20以内所有的质数 ②到定点的距离等于定长的所有点 ③所有的锐角三角形 ④,腿,5y23-x,x2 ⑤嘉兴一中实验学校高一年级全体学生 ⑥方程x2+3x=0的所有实数根 ⑦隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车; ⑧2008年8月,广东所有出生婴儿 试回答 各组对象分别是一些什么?有多少个对象 新知1:一般地,我们把研究对象统称为元素( element),把一些元素组成的总体叫做集合(set) 试试1:探究1中①~⑧都能组成集合吗,元素分别是什么? 探究2:“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合? 新知2:集合元素的特征 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,是互异的,是无序的,即集合元素三特征 确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是该集合的元素,两种情况 必有一种且只有一种成立 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素 无序性:集合中的元素没有顺序 只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两个集合 试试2:分析下列对象,能否构成集合,并指出元素 ①不等式x-3>0的解
36 §1.1.1 集合的含义与表示 授课教师 包珏晔 学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言 的意义和作用； 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程 一、课前准备 讨论：军训前学校通知：9 月 1 日上午 8 点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的 对象是全体的高一学生还是个别学生？ 引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、 高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究 对象的总体. 集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗 透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读 物和以后学习数学知识准备必要的条件. 二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1：考察几组对象： ① 1～20 以内所有的质数； ② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形； ④ , , 3 5y x − , 2 2 x + y ； ⑤ 嘉兴一中实验学校高一年级全体学生； ⑥ 方程 2 x x + = 3 0 的所有实数根； ⑦ 隆成日用品厂 2008 年 8 月生产的所有童车； ⑧ 2008 年 8 月，广东所有出生婴儿. 试回答： 各组对象分别是一些什么？有多少个对象？ 新知 1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）. 试试 1：探究 1 中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？ 探究 2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？ 新知 2：集合元素的特征 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征. 确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况 必有一种且只有一种成立. 互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序. 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 . 试试 2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素： ① 不等式 x − > 3 0的解；