中考数学复习专用 第一章:实数 一、实数的分类: 正整数 整数{零 有理数 负整数有限小数或无限循环小数 实数 正分数 分数(负分数 无理数{正无理数}无限不循环小数 负无理数 有理数:任何一个有理数总可以写成的形式,其中p、 q是互质的整数,这是有理数的重要特征。 2、无理数:初中遇到的无理数有三种:开不尽的方根,如√2、 √4;特定结构的不限环无限小数,如 1.101001000100001……;特定意义的数,如π、sin45° 等 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉,往往要经 过整理化简后才下结论。 实数中的几个概念 1、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 (1)实数a的相反数是-a (2)a和b互为相反数a+b=0 2、倒数:(1)实数a(a≠0)的倒数是;(2)a和b互 为倒数φab=1;(3)注意0没有倒数 第1页共48页
第 1 页 共 48 页 中考数学复习专用 第一章：实数 一、实数的分类： 1、有理数：任何一个有理数总可以写成 q p 的形式，其中 p、 q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如 2 、 3 4 ； 特 定 结 构 的 不 限 环 无 限 小 数 ， 如 1.101001000100001……；特定意义的数，如π、sin 45° 等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经 过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数 a 的相反数是 -a； （2）a 和 b 互为相反数 a+b=0 2、倒数：（1）实数 a（a≠0）的倒数是 a 1 ；（2）a 和 b 互 为倒数 ab 1；（3）注意 0 没有倒数 正整数 整数 零 有理数 负整数 有限小数或无限循环小数 实数 正分数 分数 负分数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数
3、绝对值:(1)一个数a的绝对值有以下三种情况: a<0 (2)实数的绝对值是一个非负数从数轴上看,一个实数的绝 对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离 (3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的 实数进行数性(正、负)确认,再去掉绝对值符号 4、n次方根 (1)平方根,算术平方根:设a≥0,称±a叫a的平方根 √叫a的算术平方根 (2)正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是 0;负数没有平方根。 (3)立方根:a叫实数a的立方根。 (4)一个正数有一个正的立方根;0的立方根是0;一个负 数有一个负的立方根 三、实数与数轴 1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系:数轴上的每一个点都表 示一个实数,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点 来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 四、实数大小的比较 第2页共48页
第 2 页 共 48 页 3、绝对值：（1）一个数 a 的绝对值有以下三种情况： , 0 0, 0 , 0 a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝 对值,就是数轴上表示这个数的点到原点的距离 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的 实数进行数性（正、负）确认,再去掉绝对值符号 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设 a≥0，称 a 叫 a 的平方根， a 叫 a 的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。 （3）立方根：3 a 叫实数 a 的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0 的立方根是 0；一个负 数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表 示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点 来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 四、实数大小的比较
1、在数轴上表示两个数,右边的数总比左边的数大。 2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数 绝对值大的反而小。 五、实数的运算 1、加法:(1)同号两数相加,取原来的符号,并把它们的 绝对值相加; (2)异号两数相加取绝对值大的加数的符号,用较大的绝对 值减去较小的绝对值可用加法交换律、结合律 2、减法:减去一个数等于加上这个数的相反数 3、乘法:(1)两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对 值相乘。 (2)n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0;若n 个非0的实数相乘,积的符号由负因数的个数决 定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数为 奇数个时,积为负。 (3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法 分配律。 4、除法:(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对 值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。 (3)0除以任何数都等于0,0不能做被除数。 5、乘方与开方:乘方与开方互为逆运算 第3页共48页
第 3 页 共 48 页 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 2、正数大于 0；负数小于 0；正数大于一切负数；两个负数 绝对值大的反而小。 五、实数的运算 1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的 绝对值相加； （2）异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,用较大的绝对 值减去较小的绝对值.可用加法交换律、结合律 2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对 值相乘。 （2）n 个实数相乘，有一个因数为 0，积就为 0；若 n 个非 0 的实数相乘，积的符号由负因数的个数决 定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为 奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法 分配律。 4、除法：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对 值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。 （3）0 除以任何数都等于 0，0 不能做被除数。 5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算
6、实数的运算顺序:乘方、开方为三级运算,乘、除为二 级运算,加、减是一级运算,如果没有括号,在同一级运算 中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级的运算再 算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。无论何种运算, 都要注意先定符号后运算。 六、有效数字和科学记数法 1、科学记数法:设N>0,则N=a×10″(其中1≤a<10,n 为整数)。 2、有效数字:一个近似数,从左边第一个不是0的数,到 精确到的数位为止,所有的数字,叫做这个数的有效数字。 精确度的形式有两种:(1)精确到那一位;(2)保留几个 有效数字。 第二章:代数式 代数式 1、代数式:用运算符号把数或表示数的字母连结而成的 式子,叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数 式 代数式的值:用数值代替代数里的字母,计算后得 到的结果叫做代数式的值。 3、代数式的分类: 代数式{有理式/整式单项式 多项式 分式 无理式 第4页共48页
第 4 页 共 48 页 6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二 级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算 中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再 算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算， 都要注意先定符号后运算。 六、有效数字和科学记数法 1、科学记数法：设 N＞0，则 N= a× n 10 （其中 1≤a＜10，n 为整数）。 2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是 0 的数，到 精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。 精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个 有效数字。 第二章：代数式 一、代数式 1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的 式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数 式。 2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得 到的结果叫做代数式的值。 3、代数式的分类： 无理式 分式 多项式 单项式 整式 有理式 代数式
二、整式的有关概念及运算 概念 (1)单项式:像x、7、2xy,这种数与字母的积叫做 单项式。单独一个数或字母也是单项式。 单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数 叫做这个单项式的次数。 单项式的系数:单项式中的数字因数叫单项式的 系数。 (2)多项式:几个单项式的和叫做多项式 多项式的项:多项式中每一个单项式都叫多项式 的项。一个多项式含有几项,就叫几项式。 多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数, 就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。 升(降)幂排列:把一个多项式按某一个字母的指 数从小(大)到大(小的顺序排列起来,叫做把 多项式按这个字母升(降)幂排列。 (3)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也 参分别相同的项叫做同类项 2、运算 (1)整式的加减: 合并同类项:把同类项的系数相加,所得结果作为系数, 字母及字母的指数不变。 第5页共48页
第 5 页 共 48 页 二、整式的有关概念及运算 1、概念 （1）单项式：像 x、7、 x y 2 2 ，这种数与字母的积叫做 单项式。单独一个数或字母也是单项式。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数 叫做这个单项式的次数。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的 系数。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式 的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。 多项式的次数:多项式里，次数最高的项的次数， 就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。 升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指 数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把 多项式按这个字母升（降）幂排列。 （3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也 分别相同的项叫做同类项。 2、运算 （1）整式的加减： 合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数， 字母及字母的指数不变
去括号法则:括号前面是“+”号,把括号和它前面的 “+”号去掉,括号里各项都不变;括号前面是“” 号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里的各 项 都变号。 添括号法则:括号前面是“+”号,括到括号里的各项 都不变;括号前面是“-”号,括到括号里的各 项都变号。 整式的加减实际上就是合并同类项,在运算时,如果遇 到括号,先去括号,再合并同类项 (2)整式的乘除: 幂的运算法则:其中m、n都是正整数 同底数幂相乘:a,a"=am";同底数幂相除:a"÷a"=a""; 幂的乘方:(a)=am积的乘方:(ab)=a"b。 单项式乘以单项式:用它们系数的积作为积的系数,对 于相同的字母,用它们的指数的和作为这个字母的 指数;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同 它的指数作为积的一个因式。 单项式乘以多项式:就是用单项式去乘多项式的每一 项,再把所得的积相加。 多项式乘以多项式:先用一个多项式的每一项乘以另 个多项式的每一项,再把所得的积相加 单项除单项式:把系数,同底数幂分别相除,作为商的 第6页共48页
第 6 页 共 48 页 去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的 “+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–” 号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各 项都变号。 添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项 都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各 项都变号。 整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇 到括号，先去括号，再合并同类项。 （2）整式的乘除： 幂的运算法则：其中 m、n 都是正整数 同底数幂相乘： m n m n a a a ；同底数幂相除： m n m n a a a ； 幂的乘方： m n mn (a ) a 积的乘方： n n n (ab) a b 。 单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对 于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的 指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同 它的指数作为积的一个因式。 单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一 项，再把所得的积相加。 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一 个多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的
因式,对于只在被除式里含有字母,则连同它的 指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式:把这个多项式的每一项除以这个单 项,再把所得的商相加。 乘法公式: 平方差公式:(a+ba-b)=a2-b2; 完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2 、因式分解 1、因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的积的 形式,叫因式分解。 2、常用的因式分解方法: (1)提取公因式法:m+mb+me=m(a+b+c) (2)运用公式法: 平方差公式:a2-b2=(a+ba-b); 完全平方公式:a±2+62=(a+b (3)十字相乘法:x2+a+bx+ab=(x+ax+b) (4)分组分解法:将多项式的项适当分组后能提公因 式或运用公式分解 (5)运用求根公式法:若ax2+bx+c=0a≠0)的两个根是x、 则有: bx+c=a(x-x(x-x,) 3、因式分解的一般步骤: 第7页共48页
第 7 页 共 48 页 因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的 指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单 项，再把所得的商相加。 乘法公式： 平方差公式： 2 2 (a b)(a b) a b ； 完全平方公式： 2 2 2 (a b) a 2ab b ， 2 2 2 (a b) a 2ab b 三、因式分解 1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的 形式，叫因式分解。 2、常用的因式分解方法： （1）提取公因式法：ma mb mc m(a b c) （2）运用公式法： 平方差公式： ( )( ) 2 2 a b a b a b ； 完全平方公式： 2 2 2 a 2ab b (a b) （3）十字相乘法： ( ) ( )( ) 2 x a b x ab x a x b （4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因 式或运用公式分解。 （5）运用求根公式法：若 0( 0) 2 ax bx c a 的两个根是 1 x 、 2 x ，则有： ( )( ) 1 2 2 ax bx c a x x x x 3、因式分解的一般步骤：
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; (2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公 式或十字相乘法; (3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不 行的再用求根公式法。 (4)最后考虑用分组分解法。 四、分式 1、分式定义:形如4的式子叫分式,其中A、B是整式, 且B中含有字母。 (1)分式无意义:B=0时,分式无意义;B≠0时, 分式有意义。 (2)分式的值为0:A=0,B≠0时,分式的值等于0。 (3)分式的约分:把一个分式的分子与分母的公因式 约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式 分解,再约去公因式。 (4)最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式时, 叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式, 定要化为最简分式。 (5)通分:把几个异分母的分式分别化成与原来分式 相等的同分母分式的过程,叫做分式的通分。 (6)最简公分母:各分式的分母所有因式的最高次幂 的积。 第8页共48页
第 8 页 共 48 页 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公 式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不 行的再用求根公式法。 （4）最后考虑用分组分解法。 四、分式 1、分式定义：形如 B A 的式子叫分式，其中 A、B 是整式， 且 B 中含有字母。 （1）分式无意义：B=0 时，分式无意义； B≠0 时， 分式有意义。 （2）分式的值为 0：A=0，B≠0 时，分式的值等于 0。 （3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式 约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式 分解，再约去公因式。 （4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时， 叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一 定要化为最简分式。 （5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式 相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。 （6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂 的积
(7)有理式:整式和分式统称有理式。 2、分式的基本性质: (1)4=4M(M是≠0的整式);(2)4=4÷M(M是≠0的整式) BB·M BB÷M (3)分式的变号法则:分式的分子,分母与分式本身 的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。 分式的运算 (1)加、减:同分母的分式相加减,分母不变,分子 相加减;异分母的分式相加减,先把它们通分成同分母的分 式再相加减。 (2)乘:先对各分式的分子、分母因式分解,约分后 再分子乘以分子,分母乘以分母。 (3)除:除以一个分式等于乘上它的倒数式。 (4)乘方:分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。 五、二次根式 1、二次根式的概念:式子a(a≥0)叫做二次根式。 (1)最简二次根式:被开方数的因数是整数,因式是 整式,被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简 二次根式。 (2)同类二次根式:化为最简二次根式之后,被开方 数相同的二次根式,叫做同类二次根式。 (3)分母有理化:把分母中的根号化去叫做分母有理 化 第9页共48页
第 9 页 共 48 页 （7）有理式：整式和分式统称有理式。 2、分式的基本性质： （1） ( 是 0的整式) M B M A M B A ；（2） ( 是 0的整式) M B M A M B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身 的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算： （1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子 相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分 式再相加减。 （2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后 再分子乘以分子，分母乘以分母。 （3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。 （4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。 五、二次根式 1、二次根式的概念：式子 a(a 0)叫做二次根式。 （1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是 整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简 二次根式。 （2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方 数相同的二次根式，叫做同类二次根式。 （3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理 化
(4)有理化因式:把两个含有二次根式的代数式相乘, 如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为 有理化因式(常用的有理化因式有:a与√;a√b+c√a与 b-cvd) 2、二次根式的性质: (1)(a)2=a(a≥0); (2)a2 a= (a≥0) a(a<0) (3)√mb=a√b(a≥0,b≥0);(4)V0,b≥0) b 3、运算: (1)二次根式的加减:将各二次根式化为最简二次根 式后,合并同类二次根式。 (2)二次根式的乘法:a√b=√ab(a≥0,b≥0)。 (3)二次根式的除法:(2020 二次根式运算的最终结果如果是根式,要化成最简二次 根式。 第三章:方程和方程组 方程有关概念 方程:含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值 叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方 程的根 3、解方程:求方程的解或方判断方程无解的过程叫做 第10页共48页
第 10 页 共 48 页 （4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为 有理化因式（常用的有理化因式有： a 与 a ； a b c d 与 a b c d ） 2、二次根式的性质： （1）( ) ( 0) 2 a a a ； （2） ( 0 ) ( 0 ) 2 a a a a a a ； （3） ab a b（a≥0，b≥0）；（4） ( a 0 , b 0 ) b a b a 3、运算： （1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根 式后，合并同类二次根式。 （2）二次根式的乘法： a b ab （a≥0，b≥0）。 （3）二次根式的除法： ( a 0 , b 0 ) b a b a 二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次 根式。 第三章：方程和方程组 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值 叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方 程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做