11.2.2三角形的外角性质 的三角板的一条直角边和含45°角的 学校 三角板的一条直角边放在同一条直线 姓名: 上,则∠a的度数是( 班级 选择题(共15小题) 1.(2018·聊城)如图,将一张三角 形纸片ABC的一角折叠,使点A落在 △ABC外的A’处,折痕为DE.如果∠ A.45°B.60°C.75° A=a,∠CEA′=B,∠BDA=Y,那么 4.(2018·安次区一模)下列图形中, 下列式子中正确的是() 能确定∠1>∠2的是( A. D A. y=2a+p b. y=a+ B 5.(2018·宿迁)如图,点D在△ABC C. y=a+B D. y=180 边AB的延长线上,DE∥BC.若∠ A=35°,∠C=24°,则∠D的度数是 2.(2018·广西)如图,∠ACD是△ ABC的外角,CE平分∠ACD,若∠ A=60°,∠B=40°,则∠ECD等于 () 6.(2018平顶山三模)一副三角板 有两个三角形,如图叠放在一起,则 A.40°B.45°C.50°D.55° 3.(2018·眉山)将一副直角三角板 ∠a的度数是() 按如图所示的位置放置,使含30°角
11.2.2 三角形的外角性质 学校：___________姓名：___________ 班级：___________ 一．选择题（共 15 小题） 1．（2018•聊城）如图，将一张三角 形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在 △ABC 外的 A'处，折痕为 DE．如果∠ A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么 下列式子中正确的是（ ） A．γ=2α+β B ． γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣ β 2．（2018•广西）如图，∠ACD 是△ ABC 的外角，CE 平分∠ACD，若∠ A=60°，∠B=40°，则∠ECD 等于 （ ） A．40° B．45° C．50° D．55° 3．（2018•眉山）将一副直角三角板 按如图所示的位置放置，使含 30°角 的三角板的一条直角边和含 45°角的 三角板的一条直角边放在同一条直线 上，则∠α 的度数是（ ） A．45° B．60° C．75° D．85° 4．（2018•安次区一模）下列图形中， 能确定∠1＞∠2 的是（ ） A． B ． C． D． 5．（2018•宿迁）如图，点 D 在△ABC 边 AB 的延长线上，DE∥BC．若∠ A=35°，∠C=24°，则∠D 的度数是 （ ） A．24° B．59° C．60° D．69° 6．（2018•平顶山三模）一副三角板 有两个三角形，如图叠放在一起，则 ∠α 的度数是（ ）
A B.100° A.120 D.140° D.165° 10.(2018·保定一模)下列图形中 7.(2018·柳江区二模)一副三角板 能肯定∠2≤∠1的是() 如图放置,若∠1=90°,则∠2的度 数为() A. B A.45°B.60°C.75°D 11.(2018春·槐荫区期末)如果将 8.(2018·大祥区模拟)下列说法正 副三角板按如图方式叠放,那么∠1 确的是 等于() A.按角分类,三角形可以分为钝角三 角形、锐角三角形和等腰直角三角形 按边分类,三角形可分为等腰三角 形、不等边三角形和等边三角形 4 C.三角形的外角大于任何一个内角 A.120° D.一个三角形中至少有一个内角不大 D.45° 于60 12.(2017秋·太原期末)如图,在 9.(2018·河南模拟)如图所示,∠ Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55° A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠ 点D是AB延长线上的一点.∠CBD的 BCD的度数为() 度数是()
A．120° B．135° C．150° D．165° 7．（2018•柳江区二模）一副三角板 如图放置，若∠1=90°，则∠2 的度 数为（ ） A．45° B．60° C．75° D．90° 8．（2018•大祥区模拟）下列说法正 确的是（ ） A．按角分类，三角形可以分为钝角三 角形、锐角三角形和等腰直角三角形 B．按边分类，三角形可分为等腰三角 形、不等边三角形和等边三角形 C．三角形的外角大于任何一个内角 D．一个三角形中至少有一个内角不大 于 60° 9．（2018•河南模拟）如图所示，∠ A=50°，∠B=20°，∠D=30°，则∠ BCD 的度数为（ ） A．80° B．100° C ． 120° D．140° 10．（2018•保定一模）下列图形中， 能肯定∠2＜∠1 的是（ ） A． B ． C． D． 11．（2018 春•槐荫区期末）如果将 一副三角板按如图方式叠放，那么∠1 等于（ ） A．120° B．105° C ． 60° D．45° 12．（2017 秋•太原期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=55°， 点 D 是 AB 延长线上的一点．∠CBD 的 度数是（ ）
角∠ACF.以下结论: ①AD∥BC:②∠ACB=2∠ADB;③∠ ADC=90°-∠ABD:④BD平分∠ADC; A.125° B.135° C.145° ⑤2∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有 D.155° () 13.(2017秋·滁州期末)把一副三 角板按如图叠放在一起,则∠a的度 数是() A.①②④B.①③④⑤C.①②③ ⑤D.①②③④⑤ A.165° B.160°C.155° D.150° 填空题(共5小题 14.(2017秋·宁城县期末)将一副 16.(2018·雁江区模拟)在三角形的 直角三角板如图放置,使含30°角的 三个外角中,锐角最多有 个 三角板的一条直角边和45°角的三角 17.(2018·瓯海区一模)如图,∠ACD 板的一条直角边重合,则∠1的度数 是△ABC的外角,若∠B=50° 为() ACD=120 18.(2018·肥城市三模)小明把一副 含45°,30°的直角三角板如图摆放, A.45°B.60°C.75°D.85° 15.(2017秋·惠山区期末)如图, 其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠ ∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分 30°,则∠a+∠B等于 △ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外
A．125° B．135° C．145° D．155° 13．（2017 秋•滁州期末）把一副三 角板按如图叠放在一起，则∠α 的度 数是（ ） A．165° B．160° C．155° D．150° 14．（2017 秋•宁城县期末）将一副 直角三角板如图放置，使含 30°角的 三角板的一条直角边和 45°角的三角 板的一条直角边重合，则∠1 的度数 为（ ） A．45° B．60° C．75° D．85° 15．（2017 秋•惠山区期末）如图， ∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD 分别平分 △ABC 的外角∠EAC、内角∠ABC、外 角∠ACF．以下结论： ①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ ADC=90°﹣∠ABD；④BD 平分∠ADC； ⑤2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有 （ ） A．①②④ B．①③④⑤ C．①②③ ⑤ D．①②③④⑤ 二．填空题（共 5 小题） 16．（2018•雁江区模拟）在三角形的 三个外角中，锐角最多有 个． 17．（2018•瓯海区一模）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，若∠B=50°，∠ ACD=120°，∠A= ． 18．（2018•肥城市三模）小明把一副 含 45°，30°的直角三角板如图摆放， 其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠ D=30°，则∠α+∠β 等于 ．
19.(2018·武汉模拟)一副三角板如 图所示摆放,含45°的三角板的斜边 22.(2017秋·埇桥区期末)已知: 与含30°的三角板的较长直角边重 如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分 合,AE⊥CD于点E,则∠ABE的度数 外角∠EAC.求证:AD∥BC 是 20.(2017秋·宜城市期末)在△ABC 23.(2017秋·建平县期末)已知: 中,∠A=35°,∠B=72°,则与∠C 如图,点D、E分别在AB、AC上,DE 相邻的外角为 ∥BC,F是AD上一点,E的延长线交 BC的延长线于点G.求证 三.解答题(共3小题) (1)∠EGH>∠ADE 21.(2018·宜昌)如图,在Rt△ABC (2)∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF 中,∠ACB=90°,∠A=40° 的外角∠CBD的平分线BE交AC的延 长线于点E (1)求∠CBE的度数 (2)过点D作DF∥BE,交AC的延长 线于点F,求∠F的度数
19．（2018•武汉模拟）一副三角板如 图所示摆放，含 45°的三角板的斜边 与含 30°的三角板的较长直角边重 合，AE⊥CD 于点 E，则∠ABE 的度数 是 °． 20．（2017 秋•宜城市期末）在△ABC 中，∠A=35°，∠B=72°，则与∠C 相邻的外角为 ． 三．解答题（共 3 小题） 21．（2018•宜昌）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延 长线于点 E． （1）求∠CBE 的度数； （2）过点 D 作 DF∥BE，交 AC 的延长 线于点 F，求∠F 的度数． 22．（2017 秋•埇桥区期末）已知： 如图，在△ABC 中，∠B=∠C，AD 平分 外角∠EAC．求证：AD∥BC． 23．（2017 秋•建平县期末）已知： 如图，点 D、E 分别在 AB、AC 上，DE ∥BC，F 是 AD 上一点，FE 的延长线交 BC 的延长线于点 G．求证： （1）∠EGH＞∠ADE； （2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF．
参考答案与试题解析 选择题(共15小题) 解:由折叠得:∠A=∠A ∵∠ACD=90 ∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A+ ∴∠CGF=∠DGB=45 ∠CEA, ∠A=a,∠CEA′=B,∠BDA=Y 则∠a=∠D+∠DGB=30°+45°=75°, ∠BDA'=y=a+a+B=2a+B, 故选:A A识 ∴∠1与∠2是对顶角,∴∠ 故本选项错误 B、若两条直线平行,则∠1=∠2,若 所截两条直线不平行,则∠1与∠2无 法进行判断,故本选项正确; C、∵∠1是∠2所在三角形的一个外 角,∴∠1>∠2,故本选项正确 D、∵已知三角形是直角三角形,∴由 解:∵∠A=60°,∠B=40°, 直角三角形两锐角互余可判断出∠1= ∴∠ACD=∠A+∠B=100 CE平分∠ACD 故选:C ∠ECD==∠ACD=50 故选:C A=35°,∠C=24°, ∴∠DBC=∠A+∠C=59° 解:如图 E∥BC, ∴∠D=∠DBC=59
参考答案与试题解析 一．选择题（共 15 小题） 1． 解：由折叠得：∠A=∠A'， ∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+ ∠CEA'， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ， ∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β， 故选：A． 2． 解：∵∠A=60°，∠B=40°， ∴∠ACD=∠A+∠B=100°， ∵CE 平分∠ACD， ∴∠ECD= ∠ACD=50°， 故选：C． 3． 解：如图， ∵∠ACD=90°、∠F=45°， ∴∠CGF=∠DGB=45°， 则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°， 故选：C． 4． 解：A、∵∠1 与∠2 是对顶角，∴∠ 1=∠2，故本选项错误； B、若两条直线平行，则∠1=∠2，若 所截两条直线不平行，则∠1 与∠2 无 法进行判断，故本选项正确； C、∵∠1 是∠2 所在三角形的一个外 角，∴∠1＞∠2，故本选项正确； D、∵已知三角形是直角三角形，∴由 直角三角形两锐角互余可判断出∠1= ∠2． 故选：C． 5． 解：∵∠A=35°，∠C=24°， ∴∠DBC=∠A+∠C=59°， ∵DE∥BC， ∴∠D=∠DBC=59°
故选:B. C、三角形的外角大于任何一个与它不 相邻内角,所以C错误; D、因为三角形的内角和等于180°, 解:如图,由三角形的外角性质得, 所以一个三角形中至少有一个内角不 ∠1=45°+90°=135°, 大于60°,所以D正确 a=∠1+30°=135°+30°=165° 故选:D 解:如图所示,延长BC交AD于点E, A=50°,∠B=2 ∵∠CED=∠A+∠B=50°+20°=70° 解:如图,∵∠1=90° 故选:B ∠3=90°-45°=45° ∠2=45°+30°=75° 故选:C 解:A、由圆周角定理得,∠2=∠1 B、由三角形的外角的性质可知,∠2 <∠1 C、根据对顶角的性质可知,∠2=∠1: 解:A、按角分类,三角形可以分为钝 D、∠2与∠1的关系不确定, 角三角形、锐角三角形和直角三角形, 故选:B 所以A错误; B、按边分类,三角形可分为等腰三角 形、不等边三角形,所以B错误;
故选：B． 6． 解：如图，由三角形的外角性质得， ∠1=45°+90°=135°， ∠α=∠1+30°=135°+30°=165°． 故选：D． 7． 解：如图，∵∠1=90°， ∴∠3=90°﹣45°=45°， ∴∠2=45°+30°=75°． 故选：C． 8． 解：A、按角分类，三角形可以分为钝 角三角形、锐角三角形和直角三角形， 所以 A 错误； B、按边分类，三角形可分为等腰三角 形、不等边三角形，所以 B 错误； C、三角形的外角大于任何一个与它不 相邻内角，所以 C 错误； D、因为三角形的内角和等于 180°， 所以一个三角形中至少有一个内角不 大于 60°，所以 D 正确． 故选：D． 9． 解：如图所示，延长 BC 交 AD 于点 E， ∵∠A=50°，∠B=20°， ∴∠CED=∠A+∠B=50°+20°=70°， ∴ ∠ BCD= ∠ CED+ ∠ D=70°+30°=100°． 故选：B． 10． 解：A、由圆周角定理得，∠2=∠1； B、由三角形的外角的性质可知，∠2 ＜∠1； C、根据对顶角的性质可知，∠2=∠1； D、∠2 与∠1 的关系不确定， 故选：B． 11．
解:如图,∠2=90°-45°=45°, 由三角形的外角性质得,∠1=∠ 2+60° 解:由题意可得:∠2=60°,∠5=45° 45°+60° ∠2=60 ∴∠3=180°-90°-60°=30 故选:B ∴∠4=30° ∵.∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°, 故选:C 解:∵∠CBD是△ABC的外角, ∠CBD=∠A+∠ACB ∵∠A=55°,∠ACB=90°, 解:∵AD平分∠EAC, ∠CBD=55°+90°=145° ∴∠EAC=2∠EAD, 故选:C ∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB, ∴∠EAD=∠ABC ∴AD∥BC,∴①正确 解:如图 ∵AD∥BC C ∴∠ADB=∠DBC, BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB, ∠ABC=∠ACB=2∠DBC, ∴∠ACB=2∠ADB,∴②正确 ∠1=∠D+∠C=45°+90°=135°, 在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ ∠a=∠1+∠B=135°+30°=16 ACD=180 故选:A ∵CD平分△ABC的外角∠ACF
解：如图，∠2=90°﹣45°=45°， 由三角 形的外 角性 质得， ∠1=∠ 2+60°， =45°+60°， =105°． 故选：B． 12． 解：∵∠CBD 是△ABC 的外角， ∴∠CBD=∠A+∠ACB， ∵∠A=55°，∠ACB=90°， ∴∠CBD=55°+90°=145°， 故选：C． 13． 解：如图， ∠1=∠D+∠C=45°+90°=135°， ∠α=∠1+∠B=135°+30°=165°． 故选：A． 14． 解：由题意可得：∠2=60°，∠5=45°， ∵∠2=60°， ∴∠3=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴∠4=30°， ∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°， 故选：C． 15． 解：∵AD 平分∠EAC， ∴∠EAC=2∠EAD， ∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB， ∴∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC，∴①正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD 平分∠ABC，∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC， ∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确； 在 △ ADC 中 ， ∠ ADC+ ∠ CAD+ ∠ ACD=180°， ∵CD 平分△ABC 的外角∠ACF
∴∠ACD=∠DCF 故答案为:1 AD∥ ∠ADC=∠DCF,∠ADB=∠DBC,∠CAD= ∠ACB 解:由三角形的外角的性质可知,∠ ∵∠ACD=∠ADC,∠CAD=∠ACB=∠ ABC=2∠ABD, 故答案为:70 ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180 ∠ADC+∠ABD=90° 解:∵∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠ ∠ADC=90°-∠ABD,∴③正确 D=30° ∴BD平分∠ABC, ∴∠B=45°,∠E=60° ∠ABD=∠DBC, ∴∠2+∠3=120° ∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90°-÷∠ ∠a+∠B=∠A+∠1+∠4+∠B=∠A+ ∠B+∠2+∠3=90°+120°=210° ∴∠ADB不等于∠CDB,∴④错误 故答案为:210° ∵∠ACF=2∠DCF,∠ACF=∠BAC+ ABC,∠ABC=2∠DBC,∠DCF=∠DBC+ ∠BDC, ∠BAC=2∠BDC,∴⑤正确 即正确的有4个, 故选:C 解:由题意知,∠ABD=90°, ∵AE⊥CD, 二.填空题(共5小题) ∠ABD=∠AED=90 解:∵三角形的内角最多有1个钝角, 点A,B,E,D是以AD为直径的圆 三角形的三个外角中,锐角最多有 ∠DBE=∠DAE, 1个 在Rt△ADE中,∠ADE=∠ADB+∠
∴∠ACD=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD= ∠ACB ∴∠ACD= ∠ADC， ∠CAD= ∠ACB=∠ ABC=2∠ABD， ∴ ∠ ADC+ ∠ CAD+ ∠ ACD=∠ ADC+2 ∠ ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°， ∴∠ADC+∠ABD=90° ∴∠ADC=90°﹣∠ABD，∴③正确； ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°﹣ ∠ ABC， ∴∠ADB 不等于∠CDB，∴④错误； ∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+ ∠BDC， ∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤正确； 即正确的有 4 个， 故选：C． 二．填空题（共 5 小题） 16． 解：∵三角形的内角最多有 1 个钝角， ∴三角形的三个外角中，锐角最多有 1 个． 故答案为：1． 17． 解：由三角形的外角的性质可知，∠ A=∠ACD﹣∠B=70°， 故答案为：70°． 18． 解：∵∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠ D=30°， ∴∠B=45°，∠E=60°， ∴∠2+∠3=120°， ∴∠α+∠β=∠A+∠1+∠4+∠B=∠A+ ∠B+∠2+∠3=90°+120°=210°， 故答案为：210°． 19． 解：由题意知，∠ABD=90°， ∵AE⊥CD， ∴∠ABD=∠AED=90°， ∴点 A，B，E，D 是以 AD 为直径的圆 上， ∴∠DBE=∠DAE， 在 Rt△ADE 中， ∠ADE= ∠ADB+∠
BDC=30°+45°=75°, ∠DAE=9 ∠DBE=15°, 证明:由三角形的外角性质得,∠EAC ∴∠ABE=∠ABD+∠DBE=105° ∠B+∠C, 故答案为105 ∵∠B=∠C ∴∠EAC=2∠B ∵AD平分外角∠EAC, 解:如图: ∴∠EAC=2∠EAD ∠1=∠A+∠B,∠A=35°,∠B=72 ∴∠B=∠EAD, ∠1=35°+72°=107°, AD∥BC 故答案为:107° 证明:(1)∵∠EGH是△FBG的外角, ∴∠EGH>∠B, DE∥BC, 三.解答题(共3小题) ∴∠B=∠ADE.(两直线平行,同位角 相等), 解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90 ∴∠EGH>∠ADE; ∠A=40 ∠ABC=90°-∠A=50° 2)∵∠BFE是△AFE的外角, ∴∠CBD=130° ∠BFE=∠A+∠AEF, BE是∠CBD的平分线 ∵∠EGH是△BFG的外角, ∠CBE=∠CBD=65° ∴∠EGH=∠B+∠BFE ∠EGH=∠B+∠A+∠AEF, (2)∵∠ACB=90°,∠CBE=65°, 又∵DE∥BC ∴∠CEB=90°-65°=25° ∠B=∠ADE(两直线平行,同位角相 ∴DF∥BE, ∠F=∠CEB=25° ∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF
BDC=30°+45°=75°， ∴∠DAE=90°﹣75°=15°， ∴∠DBE=15°， ∴∠ABE=∠ABD+∠DBE=105°， 故答案为 105． 20． 解：如图： ∵∠1=∠A+∠B，∠A=35°，∠B=72°， ∴∠1=35°+72°=107°， 故答案为：107°． 三．解答题（共 3 小题） 21． 解：（1）∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∠A=40°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°， ∴∠CBD=130°． ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE= ∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE， ∴∠F=∠CEB=25°． 22． 证明：由三角形的外角性质得，∠EAC= ∠B+∠C， ∵∠B=∠C， ∴∠EAC=2∠B， ∵AD 平分外角∠EAC， ∴∠EAC=2∠EAD， ∴∠B=∠EAD， ∴AD∥BC． 23． 证明：（1）∵∠EGH 是△FBG 的外角， ∴∠EGH＞∠B， 又∵DE∥BC， ∴∠B=∠ADE．（两直线平行，同位角 相等）， ∴∠EGH＞∠ADE； （2）∵∠BFE 是△AFE 的外角， ∴∠BFE=∠A+∠AEF， ∵∠EGH 是△BFG 的外角， ∴∠EGH=∠B+∠BFE． ∴∠EGH=∠B+∠A+∠AEF， 又∵DE∥BC， ∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相 等）， ∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF．
