11.2与三角形有关的角 11.21三角形的内角 学习目标: 经历实验活动的过程,得出三角形的内角和定理,能用平行线的性质推出这一定理 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 学习重点 三角形内角和定理 学习难点 三角形内角和定理的推理的过程 课前预习 预习课本P11-14及课后练习(课前完成) 三角的内角和多少?直角三角形两个锐和为多少? 课内探究 让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出∠BCD 的度数,可得到∠4+∠B+∠ACB=180 (图3) 2、剪下∠A,按图(2)拼在一起,从而还可得到∠4+∠B+∠ACB=180 3、把∠B和∠C剪下按图(3)拼在一起,用量角器量一量∠MAN的度数,会得到什 么结果 4、如果我们不用剪、拼的办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确 性呢?已知△ABC,说明∠A+∠B+∠C=180,结合图(1)、图(2)、图(3)能不能 用图(4)也可以说明这个结论成立。你还有几种方法? 【拓展延伸】 2019-2020学年
2019-2020 学年 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 学习目标： 1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 学习重点： 三角形内角和定理。 学习难点: 三角形内角和定理的推理的过程 课前预习 预习课本 P11-14 及课后练习（课前完成） 三角的内角和多少？直角三角形两个锐和为多少？ 课内探究 让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出 的度数，可得到 2、剪下 ，按图（2）拼在一起，从而还可得到 3、把 和 剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量 的度数，会得到什 么结果。 4、如果我们不用剪、拼的办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确 性呢？已知 ，说明 ，结合图（1）、图（2）、图（3）能不能 用图（4）也可以说明这个结论成立。你还有几种方法？ 【拓展延伸】
1、如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BOC=120°,则∠A 2、如图,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线,∠B=58°,∠C=36°,∠EAD 3、如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°,则∠EDF 4、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 当堂检测 、∠ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点0 (1)若∠ABC=40°,∠ACB=50°,则∠BOC (2)若∠ABC+∠ACB=116°,则∠BOC (3)若∠A=76°,则∠BOC (4)若∠BOC=120°,则∠A= (5)你能找出∠A与∠BOC之间的数量关系吗 2、如图,∠ABC中,∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE 则∠CDF 3、如图,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交 AC于E,∠A=35°,∠D=42°,求∠ACD的度数. 第3题图 课后反思 192020学年
2019-2020 学年 1、如图，在△ ABC 中，∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，∠ BOC=120°，则∠ A= . 2、如图，AD、AE 分别是△ ABC 的高和角平分线，∠ B =58°，∠ C=36°，∠ EAD= . 3、如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度. 4、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 当 堂检测 1、⊿ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 O。 （1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BOC = 。 （2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BOC = 。 （3）若∠A = 76°，则∠BOC = 。 （4）若∠BOC = 120°，则∠A = 。 （5）你能找出∠A 与∠BOC 之间的数量关系吗？ 2、如图，⊿ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB，CD⊥AB 于 D，DF⊥CE， 则∠CDF = 度。 3、如图,已知 D 为△ABC 边 BC 延长线上一点,DF⊥AB 于 F 交 AC 于 E,∠A=35°,∠D=42°,求∠ACD 的度数. 课后反思 F B C D E A 第 3 题图 F E B D C A
课后训练 1、下列说法正确的是() A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60° 2、(2012广东省梅州市)如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D E分别是边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与 A'重合,若∠A=75,则∠1+∠2=() (A)150 (B)210c)105(D) 3、一个三角形的三个内角的度数之比为2:3:7,则这个三角形一定是() (A)等腰三角形B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形 4、(2012云南省昆明市)如图,在△ABC中,∠B=67,∠C=33,AD是 △ABC的角平分线,则∠CAD的度数为() (A)40° (B)45° (C)50° (D)55° 5、(2012福建省漳州市)将一副直角三角板,按如图所示叠 放在一起,则图中∠的度数是() B)60° (C)75°(D)90° 6.(2012四川省绵阳市)如图,将等腰直角三角形沿虚线裁去型 顶角后,∠1+∠2=(). A、225°B、235°C、270°D、与虚线的位置有关 7.(2012广西来宾市)如图,在△ABC中,已知∠A=80°,∠B=60°,DE∥BC,那 么∠CED的大小是 E 8.(2012山东省聊城市)将一副三角板按如图所示摆放,图B∠ C 中∠的度数是( (A)75° (B)90° (C)105° (D)120° 9.如图, ABCDE是封闭折线,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E为() 度 192020学年
2019-2020 学年 课后训练 1、下列说法正确的是( ) A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于 60° 2、(2012 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张 △ABC 纸片，点 D 、 E 分别是边 AB 、AC 上，将 △ABC 沿着 DE 折叠压平， A 与 A 重合，若 ∠A = 75 ，则 ∠1+∠2 = （ ） （A） 150 （B） 210 （C） 105 （D） 75 3、一个三角形的三个内角的度数之比为 ∶3 7 ∶ ，则这个三角形一定是（ ） （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）钝角三角形 4、 (2012 云南省昆明市) 如图，在 △ABC 中， ∠B C = = 67 33 ° ，∠ ° ， AD 是 △ABC 的角平分线，则 ∠CAD 的度数为（ ）． （A） 40° （B） 45° （C） 50° （D） 55° 5、 (2012 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠 放在一起，则图中∠ 的度数是（ ） （A）45o （B）60o （C）75o （D）90o 6. (2012 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去 顶角后，∠1 +∠2 =（ ）． A、225 B、235 C、270 D、与虚线的位置有关 7. (2012 广西来宾市) 如图，在△ABC 中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那 么∠CED 的大小是 （ ） A、40° B、60° C、120° D、140° 8. (2012 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图 中 的度数是（ ） （A） 75° （B） 90° （C） 105° （D） 120° 9.如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为（ ） 度． 1 2
A、180B、270C、360D、540 10、直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于() A、100°B、120°C、135°D、150° 11、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处 折痕为CD,则∠A′DB=() A、40°B、30°C、20°D、10° 12、具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( A、∠A-∠B=∠CB、∠A=3∠C, C、∠A=∠B=2∠CD、∠A=∠B=∠C 13、如图,在三角形ABC中,已知∠ABC=70°,∠ACB=60°,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,H是 BE和CF的交点,则∠EHF=() A.100°B.110°C.120°D.130° 14、如图所示,把一个三角形纸片ABC顶角向内折叠3次之后,3个顶点不重合,那么 图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是( D、无法确 11.2.2三角形的外角 学习目标: 1、使学生在操作活动中,探索并了解三角形的外角的两条性质 2、利用学过的定理论证这些性质 3能利用三角形的外角性质解决实际问题 学习重点 1、三角形的外角的性质 2、三角形外角和定理。 192020学年
2019-2020 学年 A、180 B、270 C、360 D、540 10、直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（ ） A、100° B、120° C、135° D、150° 11、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处， 折痕为CD，则∠A′DB=（ ） A、40°B、30°C、20°D、10° 12、具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A、∠A-∠B=∠C B、∠A=3∠C，∠B=2∠C C、∠A=∠B=2∠C D、∠A=∠B= 2 1 ∠ C 13、如图，在三角形 ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE⊥AC 于 E,CF⊥AB 于 F,H 是 BE 和 CF 的交点，则∠EHF=( ) A. 100º B. 110º C. 120º D.130º 14、如图所示，把一个三角形纸片 ABC 顶角向内折叠 3 次之后，3 个顶点不重合，那么 图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度数和是（ ） A、180° B、270° C、360° D、无法确 11.2.2 三角形的外角 学习目标： 1、使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质。 2、利用学过的定理论证这些性质 3 能利用三角形的外角性质解决实际问题 学习重点： 1、三角形的外角的性质； 2、三角形外角和定理
学习难点 三角形外角的定义及定理的论证过程 课前预习 预习课本P14-15及课后练习(课前完成) 1、什么叫三角形的外角?三角形外角和是多少?三角形的外角 等于什么?是怎样得到的? 2、三角形的三个外角都大于和它相邻的内角,则这个三角形 三角形 课内探究 1、把△ABC的一边AB延长到D,得∠ACD,它不是三角形的内角,那它是三角形的 什么角 它是三角形的外角 定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角 想一想:三角形的外角有几个?每个顶点处有两个外角,但这两个是对顶角 2、∠ACD与△ABC的内角有什么关系? (1)∠ACD=∠A+∠B(2)∠ACD>∠A,∠ACD>∠B 3、再画三角形ABC的外角试一试,还会得到这个性质吗?同学用几何语言叙述这个性质: 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和 4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。你能用学过的定理说明这些定 理的成立吗? 已知:∠ACD是△ABC的外角说明:(1)∠ACD=∠A+∠B(2)∠ACD>∠A ∠CD>∠B结合右边的图形给予说明 【拓展延伸】 下面是有关三角形内外角平分线的探究,阅读后按要求作答: 2019-2020学年
2019-2020 学年 学习难点: 三角形外角的定义及定理的论证过程 课前预习 预习课本 P14-15 及课后练习（课前完成） 1、什么叫三角形的外角？三角形外角和是多少？三角形的外角 等于什么？是怎样得到的？ 2、三角形的三个外角都大于和它相邻的内角，则这个三角形 为 _____ 三角形 课内探究 1、把 的一边 AB 延长到 D，得 ，它不是三角形的内角，那它是三角形的 什么角？ 它是三角形的外角。 定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 想一想：三角形的外角有几个？每个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角 2、 与 的内角有什么关系？ （1） （2） ， 3、再画三角形ABC的外角试一试，还会得到这个性质吗？同学用几何语言叙述这个性质： 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和； 4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。你能用学过的定理说明这些定 理的成立吗？ 已知： 是 的外角 说明：（1） （2） ， 结合右边的图形给予说明 【拓展延伸】 下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：
探究1:如图(1),在△ABC中,0是∠ABC与∠ACB的平分线BO和C0的交点 通过分析发现:∠B0C=90°+∠A(不要求证明) 探究2:如图(2)中,0是∠ABC与外角∠ACD的平分线B0和CO的交点,试分 析∠BOC与∠A有怎样的数量关系?请说明理由 探究3:如图(3)中,0是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和C0的交点, 则∠B0C与∠A有怎样的数量关系?(只写结论,不需证明).结论: B D E (3) 当堂检测 是三角形ABC的不同顶点三个外角,则∠1+∠2+∠3= 2、三角形的三个外角中最多有锐角,最多有个钝角,最多有个直角。 3、的两个内角的一平分线交于点E,∠A=52,则∠BC= n△ABC的∠B,∠C的外角平分线交于点D,∠A=40°,那么∠D= 如图,∠BDC是 外角,∠BDC ∠EFC是外角, ∠EFC= 是外角,∠BFC ∠BF ∠BFC 6在△ABC中∠A等于和它相邻的外角的四分之一,这个外角等于∠B的两倍,那么 课后反思 2019-2020学年
2019-2020 学年 探究 1：如图（1），在△ ABC 中，O 是∠ ABC 与∠ ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点， 通过分析发现：∠ BOC=90°+ 2 1 ∠ A（不要求证明）． 探究 2：如图（2）中，O 是∠ ABC 与外角∠ ACD 的平分线 B O 和 CO 的交点，试分 析∠ BOC 与∠ A 有怎样的数量关系？请说明理由． 探究 3：如图（3）中，O 是外角∠ DBC 与外角∠ E CB 的平分线 BO 和 CO 的交点， 则∠ BOC 与∠ A 有怎样的数量关系？（只写结论，不需证明）．结论： . ， 当 堂检测 1、 是三角形 ABC 的不同顶点三个外角，则 2、三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角。 3、的两个内角的一平分线交于点 E， ，则 4、已知 的 的外角平分线交于点 D， ，那么 = 5 如图， 是 外角， + ， 是 外角， = + ， 是 外角， = + ， > , > 6 在 中 等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于 的两倍，那么 ， ， 课后反思
课后训练 基础知识 1、(2013·襄阳)如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点 ∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A等于() B、70°C、80°D、90 2、(2013·湘西州)如图,一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板,拼成如下图形 其中∠C=90°,∠B=45°,∠E=30°,则∠BFD的度数是() B、25°C、30°D 3、设a,B,Y是某三角形的三个内角,则a+β,B+y,a+y中( A.有两个锐角、一个钝角B.有两个钝角、一个锐角B C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角 4、(2012江苏省南通市)如图,△ABC中,∠C=70°,若沿 图中虚线截去∠C,则∠1+∠2等于() A、360°B、250° C、180°D、140° 5、已知△ABC,(1)如图1,若P点是∠ABC和∠ACB的C 角平分线的交点,则∠P=90°,1 2∠A:(2)如图2,若P点是 ∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点,则∠P=90°-∠A:(3) 如图3,若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点,则 ∠P=90°、1 上述说法正确的个数是( D A、0个B、1个C、2个D、3个 图2 6、(2012·漳州)将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中∠a的度数是() A、45°B、60°C、75°D、90° 7.如图,∠BDC=98°,∠C=38°,∠B=23°,∠A的度数是() A、6 C、3 192020学年
2019-2020 学年 课后训练 基础知识 1、（2013•襄阳）如图，在△ABC 中，D 是 BC 延长线上一点， ∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A 等于（ ） A、60° B、70° C、80° D、90° 2、（2013•湘西州）如图，一副分别含有 30°和 45°角的两个直角三角板，拼成如下图形， 其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是（ ） A、15° B、25° C、30° D、10° 3、设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( ) A.有两个锐角、一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角 C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角 4、 (2012 江苏省南通市) 如图，△ABC 中，∠C＝70°，若沿 图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2 等于 （ ） A、360° B、250° C、1 80° D、140° 5、已知△ ABC，（1）如图 1，若 P 点是∠ ABC 和∠ ACB 的 角平分线的交点，则∠ P=90°+ 2 1 ∠ A；（2）如图 2，若 P 点是 ∠ ABC 和外角∠ ACE 的角平分线的交点，则∠ P=90°-∠ A；（3） 如图 3，若 P 点 是外角∠ CBF 和∠ BC E 的角平分线 的交点，则 ∠ P=90°- 2 1 ∠A、 上述说法正确的个数是（ ） A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个 6、（2012•漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ） A、45° B、60° C、75° D、90° 7.如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A 的度数是（ ） A、61° B、60° C、37° D、39° C A B 1 2
8.如图,在Rt△ADB中,∠D=90°,C为AD上一点,则x可能是 9、如图,∠A=34°,∠B=45°,∠C=36°,则∠DFE的度数为( A、120°B、115°C、110°D、105° 10、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为() A、180°B、360°C、540°D、720° 12、如图,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=() 192020学年
2019-2020 学年 8.如图，在 Rt△ADB 中，∠D=90°，C 为 AD 上一点，则 x 可能是（ ） A、10° B、20° C、30° D、40° 9、如图，∠A=34°，∠B=45°，∠C=36°，则∠DFE 的度数为（ ） A、120° B、115° C、110° D、105° 10、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为（ ） A、180° B、360° C、540° D、720° 12、如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（ ） A、90 B 、 180 C 、 200 D 、 360