11.2与三角形有关的角 1.21三角形的内角 教学目标一 解:在△DFB中,∵DF⊥AB,∴∠DFB =90°,∵∠D=50°,∠DFB+∠D∠B= 1.理解三角形内角和定理及其证明方180°,∴∠B=40°.在△ABC中,∵∠A 法.(难点) ∵.∠ACB=180°-∠A 2.能用三角形的内角和定理解决一 ∠B=94° 简单问题.(重点) 方法总结:求三角形的内角,必然和三 角形内角和定理有关,解决问题时要根据图 数学过程 情境导入 形特点,在不同的三角形中,灵活运用三角 多媒体展示:(三兄弟之争)在一个直角 三角形村庄里,住着三个内角,平时它们非形内角和定理求解 常团结,有一天,老三不高兴了,对老大说 【类型二】判断三角形的形状 凭什么你的度数最大,我也要和你一样 2一个三角形的三个内角的度数之 大!”老大说:“这是不可能的,否则我们比为1:2:3,这个三角形一定是( 这个家就要被拆散,围不起来了!”“为什 A.直角三角形B.锐角三角形 么呢?”老二、老三纳闷起来 C.钝角三角形D.无法判定 同学们,你们知道其中的道理吗? 二、合作探究 解析:设这个三角形的三个内角的度数 探究点一:三角形的内角和 【类型一】求三角形内角的度数 分别是x,2x,3x,根据三角形的内角和为 180°,得x+2x+3x=180°,解得x 这个三角形的三个内角的度数分别是30°, 1己知,如图,D是△ABC中BC边 0°,90°,即这个三角形是直角三角形.故 延长线上一点,DF⊥AB交AB于F,交AC于选A E,若∠A=46°,∠D=50°.求∠ACB的度 方法总结:在解决有关比例问题时,通 解析:在Rt△DFB中,根据三角形内角 常先设比例系数,然后列方程求解 和定理,求得∠B的度数,再在△ABC中求 【类型三】三角形的内角与角平分线、 高的综合运用 ∠ACB的度数即可
11．2 与三角形有关的角 11．2.1 三角形的内角 1．理解三角形内角和定理及其证明方 法．(难点) 2．能用三角形的内角和定理解决一些 简单问题．(重点) 一、情境导入 多媒体展示：(三兄弟之争)在一个直角 三角形村庄里，住着三个内角，平时它们非 常团结，有一天，老三不高兴了，对老大说： “凭什么你的度数最大，我也要和你一样 大！”老大说：“这是不可能的，否则我们 这个家就要被拆散，围不起来了！”“为什 么呢？”老二、老三纳闷起来…… 同学们，你们知道其中的道理吗？ 二、合作探究 探究点一：三角形的内角和 【类型一】 求三角形内角的度数 已知，如图，D 是△ABC 中 BC 边 延长线上一点，DF⊥AB 交 AB 于 F，交 AC 于 E，若∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB 的度 数． 解析：在 Rt△DFB 中，根据三角形内角 和定理，求得∠B 的度数，再在△ABC 中求 ∠ACB 的度数即可． 解：在△DFB 中，∵DF⊥AB，∴∠DFB ＝90°.∵∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝ 180°，∴∠B＝40°.在△ABC 中，∵∠A＝ 46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－ ∠B＝94°. 方法总结：求三角形的内角，必然和三 角形内角和定理有关，解决问题时要根据图 形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角 形内角和定理求解． 【类型二】 判断三角形的形状 一个三角形的三个内角的度数之 比为 1∶2∶3，这个三角形一定是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 解析：设这个三角形的三个内角的度数 分别是 x，2x，3x，根据三角形的内角和为 180°，得 x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°， ∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°， 60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故 选 A. 方法总结：在解决有关比例问题时，通 常先设比例系数，然后列方程求解． 【类型三】 三角形的内角与角平分线、 高的综合运用
计算即可求出∠EDF,再根据三角形的内角 和定理求出∠C+∠DBC=∠F+∠DEF,然后 圆3在△ABC中,∠A=∠B==∠ACB,求解即可 CD是△ABC的高,CE是∠ACB的角平分线 解:∵CE⊥AF,∴∠DEF=90°,∴∠ 求∠DE的度数 EDF=90°-∠F=90°-40°=50°.由 解析:根据已知条件用∠A表示出∠B角形的内角和定理得∠C+∠DBC+∠CDB= ∠H+∠DEF+∠EDF,∵30°+∠DBC=40 和∠ACB,利用三角形的内角和求出∠A,再+90°,∴∠DBC=100° 方法总结:本题主要利用了直角三角形 求出∠ACB,∠ACD,最后根据角平分线的定 两锐角互余的性质和三角形的内角和定理 义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数 熟记性质并准确识图是解题的关键 解:∵∠A=∠B==∠ACB,设∠A=x, 三、板书设计 ∴∠B=2x,∠ACB=3x.∵∠A+∠B+∠ACB 三角形的内角 180°,∴x+2x+3x=180°,解得x= 1.三角形的内角和定理:三角形的内 0°,∴∠A=30°,∠ACB=90°.∵CD是角和等于180° △ABC的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD= 2.三角形内角和定理的证明 180°-90°-30°=60°.∵CE是∠ACB的 3.直角三角形的性质:直角三角形两 锐角互余 角平分线,∴∠ACE=×90 DCE=∠AC∠ACE=60°-45°=15 教学反思 方法总结:本题是常见的几何计算题 本节课通过一段对话设置疑问,巧设悬 念,激发起学生获取知识的求知欲,充分调 动学生学习的积极性,使学生由被动接受知 解题的关键是利用三角形的内角和定理和识转为主动学习,从而提高学习效率.然后 角平分线的性质,找出角与角之间的关系并让学生自主探究,在教学过程中充分发挥学 教师通过必要的提示指明了学生思考问题 结合图形解答 的方向,在学生提出验证三角形内角和的不 探究点二:直角三角形的性质 同方法时,教师注意让学生上台演示自己的 【类型一】直角三角形性质的运用操作活动和说明自己的想法,这样更有助于 学生接受三角形的内角和是180°这一结 论 D 4如图,CE⊥AF,垂足为E,CE与 BF相交于点D,∠F=40 30°,求 ∠EDF、∠DBC的度数 解析:根据直角三角形两锐角互余列式
在△ABC 中，∠A＝ 1 2 ∠B＝ 1 3 ∠ACB， CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分线， 求∠DCE 的度数． 解析：根据已知条件用∠A 表示出∠B 和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再 求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定 义求出∠ACE 即可求得∠DCE 的度数． 解：∵∠A＝ 1 2 ∠B＝ 1 3 ∠ACB，设∠A＝x， ∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB ＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝ 30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD 是 △ABC 的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝ 180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的 角平分线，∴∠ACE＝ 1 2 ×90°＝45°，∴∠ DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°. 方法总结：本题是常见的几何计算题， 解题的关键是利用三角形的内角和定理和 角平分线的性质，找出角与角之间的关系并 结合图形解答． 探究点二：直角三角形的性质 【类型一】 直角三角形性质的运用 如图，CE⊥AF，垂足为 E，CE 与 BF 相交于点 D，∠F＝40°，∠C＝30°，求 ∠EDF、∠DBC 的度数． 解析：根据直角三角形两锐角互余列式 计算即可求出∠EDF，再根据三角形的内角 和定理求出∠C＋∠DBC＝∠F＋∠DEF，然后 求解即可． 解：∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，∴∠ EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.由三 角形的内角和定理得∠C＋∠DBC＋∠CDB＝ ∠F＋∠DEF＋∠EDF，∴30°＋∠DBC＝40° ＋90°，∴∠DBC＝100°. 方法总结：本题主要利用了直角三角形 两锐角互余的性质和三角形的内角和定理， 熟记性质并准确识图是解题的关键． 三、板书设计 三角形的内角 1．三角形的内角和定理：三角形的内 角和等于 180° 2．三角形内角和定理的证明 3．直角三角形的性质：直角三角形两 锐角互余 本节课通过一段对话设置疑问，巧设悬 念，激发起学生获取知识的求知欲，充分调 动学生学习的积极性，使学生由被动接受知 识转为主动学习，从而提高学习效率．然后 让学生自主探究，在教学过程中充分发挥学 生的主动性，让学生提出猜想．在教学中， 教师通过必要的提示指明了学生思考问题 的方向，在学生提出验证三角形内角和的不 同方法时，教师注意让学生上台演示自己的 操作活动和说明自己的想法，这样更有助于 学生接受三角形的内角和是 180°这一结 论．