《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_2-2特殊、分块

2.2几种特殊的矩阵及其运算 1对角矩阵：方阵， 即：0，（店， 形如 j=1,2,n） b 4b1 ab, An nxn 结论：A,B同阶对角阵→A士B,kA,AB=BA为对角阵 AT=A 2.数量矩阵：对角阵， 对角线上元素相同， =aEn nxn

2.2 几种特殊的矩阵及其运算 1.对角矩阵:方阵, 1 2 n n n a a a              即: 1 1 2 2 n n n n n n a b a b a b                           结论:A,B同阶对角阵  A±B,kA,AB=BA为对角阵 2.数量矩阵：对角阵， 对角线上元素相同， n n a a a              形如 aij=0, i≠j (i, j=1,2,. ,n) AT=A = aEn 1 1 2 2 n n n n a b a b a b        =      

3.单位矩阵：数量矩阵E, 对角线上元素为1 nxn 结论：EnAAmxnAmxn AmxnEn (aEm)Amx n-aAmx n-Amxn(aEn) 4.上（下)三角形 12 Cin 矩阵：方阵，形如 L22 a2n L21 L22 a0,>j(u-0,ij） An2 结论：数乘三角形矩阵及同阶同结构三角形矩阵 之和、积仍为同结构三角形矩阵

3. 单位矩阵：数量矩阵， 对角线上元素为1 1 1 1 n n n E        =       结论: 4.上(下)三角形 矩阵：方阵, 形如 11 12 1 22 2 ; n n nn a a a a a a             11 21 22 n n nn 1 2 a a a a a a             结论：数乘三角形矩阵及同阶同结构三角形矩阵 之和、积仍为同结构三角形矩阵. EmAm×n =Am×n =Am×nEn (aEm)Am×n =aAm×n =Am×n (aEn ) aij=0, i>j(aij=0, i<j)

5对称矩阵：= A为对称矩阵长→A=A 反对称矩阵：-→a0 A反对称台AT-一A 结论：①A、B同阶对称（反对称）矩阵，则kA、A+B 仍为对称（反对称）矩阵，但AB未必为对称（反对称） 矩阵例 -1-1 00 ②A、B均为n阶对称（反对称）矩阵，则 AB对称（反对称）→AB=BA(AB=一BA) 证②“反对称”：由已知4-一A,B=一B 必要性（→)，'(AB)T=一AB AB=-(AB)T=-BTAT=(B)(A)=-BA 充分性《仁），AB=一BA ,'.（AB)T=BAT=(一B)(一A0=BA=-AB

5. 对称矩阵:aij ＝aji  反对称矩阵:aij =-aji A反对称 结论:①A、B同阶对称(反对称)矩阵, 则kA、A+B 仍为对称(反对称)矩阵，但AB未必为对称(反对称) 矩阵。例: 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0       − − −        =       − ②A、B均为n阶对称(反对称)矩阵，则 AB对称(反对称)  AB＝BA(AB＝－BA) 证②“反对称”：由已知 ，必要性( )  充分性( )  A为对称矩阵 AT=A  AT a =－A  ii=0 AT=－A， BT=－B ∵(AB) T＝－AB ∴ AB＝－(AB) T＝ ∵AB＝－BA ∴ (AB) T＝BTAT＝ －BTAT＝－(－B)(－A)＝－BA (－B)(－A)＝BA＝－AB

结论：③任一阶方阵均可表示为一个对称矩阵与二 个反对称矩阵之科 A=AT B对称， A =B+CC反对称. 2 2 ④对任意矩阵A,ATA与AAT均为对称矩阵 '(☑nXmAmx)r=AA0T=AA 00考研：A国 0 ,n为正整数，则 -1 aE =(AA")"= [2(a=2"] 技巧： (AA2=A(ATA)(ATA)AT.AAT 0 )n- =2日1AAW -2-1

结论:③任一n阶方阵均可表示为一个对称矩阵与一 个反对称矩阵之和： 2 2 T T A A A A A + − = + B对称; C反对称. ④对任意矩阵A, ATA与AAT均为对称矩阵. 00考研: ，n为正整数, 则 1 0 1 A     =     −  ( ) T n aE AA − = 1 1 1 1 1 2 0 2 2 0 0 0 2 0 2 n n n T n n AA − − − − −   −   = =     −  技巧： ∵(AT n×mAm×n ) T ＝AT (AT ) T＝ AT A (AAT ) n =A(ATA)(ATA)AT.AAT [a 2 (a－2 n )] ＝B＋C

2.4分块矩阵 针对：行数，列数较高的矩阵（大型矩阵），采用分块法， 目的：大矩阵运算转化为若干特殊的小矩阵运算，使 运算更简单 例如： 1.概念：例 子块：用纵、横线分 011412 3 4 成的若干个小矩阵 A L22 3 L24 分块矩阵：以子 L32 33 34 块为元素的矩阵

针对:行数,列数较高的矩阵(大型矩阵),采用分块法. 目的:大矩阵运算转化为若干特殊的小矩阵运算,使 运算更简单. 1 0 0 0 2 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 0 0 0 4 1 0 0 0 1 4 A     −   =   −           =     1 2 E A O A 例如: 1.概念:例 11 12 13 14 11 12 21 22 23 24 21 22 31 32 33 34 a a a a A A A a a a a A A a a a a       = =           子块:用纵、横线分 成的若干个小矩阵 分块矩阵：以子 块为元素的矩阵 2.4 分块矩阵

个矩阵可根据需要把它写成不同的分块矩阵如： L12 3 L34 a g金信nas■at:■naa■：■aa金■ 月12 A- L21 l22 023 L24 A三 & A22 31 32 33 34 A=（BE2阝阝 2.分块矩阵的运算 )加法：A、B同型，且以同样方式分块，则 A士B=对应子块相加减 2)数乘：k4=数k乘以各个子块 3)乘法：A列数=B行数，A列的分法与B行的分法相同， 则AB=以子块为元素，矩阵相乘 4)转置：分块矩阵行列互换且各子块都转置

一个矩阵可根据需要把它写成不同的分块矩阵.如: 11 12 13 14 11 12 21 22 23 24 21 22 31 32 33 34 ; a a a a A A A a a a a A A a a a a       = =           1 2 3 A ;        =       A= (    1 2 3 4 ) 2.分块矩阵的运算 1)加法:A、B同型，且以同样方式分块，则 A±B＝对应子块相加减. 2)数乘：kA＝数k乘以各个子块. 3)乘法:A列数=B行数,A列的分法与B行的分法相同, 则AB＝以子块为元素，矩阵相乘. 4)转置:分块矩阵行列互换,且各子块都转置

1 0 3 12 0 0 01 例1.设A 2 4 20 00 g层00县g0a▣00g票g ,B= t 求AB 0 0 -20 6 3 0 解 00 0 -2 0 =2 0 设A= E A2 ,B= B 0 -2E B2 E 3 B+A2B2 14 2 AB= 2B21 -2E 12 0 Bu+A12B2 入

1 0 1 3 1 2 0 0 0 1 2 4 2 0 0 0 , 0 0 2 0 6 3 1 0 0 0 0 2 0 2 0 1 A B             = =     −         − − 例1. 设 , 求AB     = =       −   12 11 21 , 2 E A B O A B O E B E 解 11 12 21 12 2 2 21 B A B A B E   +   =   − − 7 1 1 3 14 2 2 4 12 6 2 0 0 4 0 2   −   −     − − −     − AB ＝ 1 2 1 3 6 3 2 0 2 4 0 2           + =      − B11＋ A12 B21 ＝ 7 1 14 2   −     − 设

例2 100 0 2 0E0 A= 00 用分块矩阵乘法求A2 解 EA十AA, 0 2 10 A+AA,= 2 -14 0 5 -1

1 0 0 0 2 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 0 0 0 4 1 0 0 0 1 4 A     −   =   −         例2 E O A1 A2 用分块矩阵乘法求A2    =       2 1 1 2 2 E A E A A O A O A   + =     1 1 2 2 2 E A A A O A 1 1 2 0 2 0 2 4 1 1 3 1 3 1 4 1 0 1 0 A A A          + = − + −           − −     2 10 2 14 5 1     = −     − −   解

17 8 8 17 A= E A+AA A2= 2 10 A1十A1A2 2 10 2 14 2 -14 1 -5 -1 17 8 8 7

22 4 1 4 1 1 4 1 4 A    = =       17 8 8 17       1 0 0 0 2 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 0 0 0 4 1 0 0 0 1 4 A     −   =   −         EO A 1 A 2   +     1 1 2 22 E A A A O A 1 0 0 2 10 0 1 0 2 14 0 0 1 5 1 0 0 0 17 8 0 0 0 8 17     −   =   − −       A2＝ 2 10 2 14 5 1     = −     − −   A 1 ＋ A 1A 2

l12 n 0 例3.设 21 2 0 A三 0 0 : L 2 由分块矩阵耒法运算得： 三 AE=A(8 E2 En 另一方面， 2 n AEA= L21 l22 ④ .An) 行向量 A的第行 .Aε，=Aj=1,n) 同理A三A,(=1,.,m) [注]Ams KA(BB22,B=(AB AB2,ABD A列不分块，B行不分块)

行向量 A的第i行 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a A a a a       =       例3. 设 1 0 0 0 1 0 0 0 1 En     =         由分块矩阵乘法运算得： = (   1 2 n ) AE A n n = (   1 2 ) 另一方面, 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a             ( 1, , ) j j  = A A  = j n [注]Am×sBs×n ＝A(B1 ,B2 ,.,Bn ) = ( A A A    1 2 n ) ＝(AB1 , AB2 , ., ABn ) (A列不分块, B行不分块) AEn ＝A＝ ＝(A1 A2 . An ) ( 1, , ) T i i 同理 A A = i m =