1.3行列式的展开定理 设D 一、行列式按某行（列展开 1.两个概念 (元素a,的余子式：在D4,中划去元素a,所在 的第行和第列元素，得到的1阶行列式。记M (2)元素a的代数余子式：A,=(一)M 例 13 014 012014 M21 (L23 l24 A232+3M23=431 l32 34 41 L43 44 41 042 L44
1.3 行列式的展开定理 ij n 设 D a = 一、行列式按某行(列)展开 1. 两个概念 (1)元素aij的余子式：在 中划去元素aij所在 的第i行和第j列元素，得到的n-1阶行列式。记Mij ij n D a = (2)元素aij的代数余子式： 11 12 14 31 32 34 41 42 44 a a a a a a a a a − 11 13 14 21 23 24 41 43 44 a a a a a a a a a 4 : ij 例 a M32 ＝ Aij ＝(－1)i+jMij A23 =(-1)2+3M23 =
2.行列式按某行（列展开定理 第i行 D 展开 14t242+.+n4n∑0,4yi=l,2,.,m i=] 第j列 是元04++0w4n4,4j=l,2,n 展开 证明思路：先证特殊情形再证一般情形； 般情形的证明通过转化为特殊情形完成. 证①先证 012 n-1 W 2 l2n-1 a2n nn n-11 n-12 On-In-1 On-In
2. 行列式按某行(列)展开定理 按第 行 展开 i D ==== 1 ( 1,2, , ) n ij ij j a A i n = = = 按第 列 展开 j ==== 1 ( 1,2, , ) n ij ij i a A j n = = = 证明思路:先证特殊情形再证一般情形； 一般情形的证明通过转化为特殊情形完成. 证①先证 11 12 1 1 1 21 22 2 1 2 11 12 1 1 1 0 0 0 n n n n nn nn n n n n n nn n a a a a a a a a D a A a a a a a − − − − − − − = = ai1Ai1+ai2Ai2+.+ainAin a1jA1j+a2jA2j+.+anjAnj
定义 D ∑(ha凸.0 hzin ∑(lha4,.0n.,=nMnm=0mAm jj2jn-同 1 12 j ②次证 D 0 0 j 0 =4 An2 可 行逐一向下交换经n一次至末行 列逐一向右交换经n一次至末列
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 定义 ( ) 1 2 1 ( ) 1 2 1 ( 1) ( 1) n n n n n n j j j n j j n j nn j j j n j j j nn j j n j nn nn nn nn j j j D a a a a a a a a a M a A − − − − − − − − == − = − = = ②次证 11 12 1 1 1 2 0 0 0 j n ij ij n n nj nn ij a a a a D a A a a a a a = = i行逐一向下交换经n－i次至末行 j列逐一向右交换经n－j次至末列 D
0 Cj- j 。●。 j 011 4i 1A1 4i-j Ci-In Ai-1j ("4n- Ci+11 +1j-1 L+1j+1 Cirin dixj l可- Cnjri （ln 可 0 0 0 0 -Lyitidg Mm=(-1)iagMy=arAg
11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 ( 1) 0 n j j n j i i j i j i n i j i i j i j i n i j n nj nj nn nj ij i n j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − − − − + − − + + − + + + + − + − + − − ＝(－1)i＋j ＝ aij Mij ＝aijAij (－1)i＋j aij Mnn 由①
③最后 011 12 D= ai ai2 0:+0+.+00+42+.+0.0+0+.+0m An2 0 .0+002 .0+.+00 由② m4m+2d2++0mAm证毕 5
5 ③最后 11 12 1 1 2 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 n i i in n n i i in nn a a a D a a a a a a a a a = = + + + + + + + + + = + + + a a a i i in 1 2 0 0 0 0 0 0 ＝ai1Ai1+ai2Ai2+.+ainAin 证毕 由②
典型例题：计算方法 -12 化上（下）三角形法； 1 降阶法 例1.计算D 2 6 解：法1（化上三角形法） 1 11 -1 2 2+ 0 -5 3 0 5-2☑ 2分 D 0 2 -4 3 4- 0 5 0 0 2 1 2 5 01 5 5-2 01 5 0 4 14 00-14 -3 =57 00 -14 3 57 00 5 3 00 14
典型例题: 例1.计算 1 1 1 2 1 1 4 1 2 4 6 1 1 2 4 2 D − −−− = − 解:法1 (化上三角形法) 计算方法—— 1 1 1 2 0 0 5 3 0 2 4 3 0 1 5 0 − − − − 2 1 3 1 2 r r r r + − 2 4 r r 1 1 1 2 0 1 5 0 0 2 4 3 0 0 5 3 − − − − 3 2 r r − 2 1 1 1 2 0 1 5 0 0 0 14 3 0 0 5 3 − − − − − 4 3 5 14 r r − 1 1 1 2 0 1 5 1 0 0 14 3 57 0 0 0 14 − − − − D － ＝57 化上(下)三角形法; 降阶法. 4 1 r r − ? ！
法2（降阶法 1 2 2+ -1 -1 -4 53-2 -5 D 2 4 -6 4- 2 -4 =3 1 2 4 2 5 0 0 -53 -5 3 2 -3 2-2 14 -3 5 5 -5 =(13+州 +3 19 57 14 14
法2(降阶法) 1 1 1 2 0 0 5 3 0 2 4 3 0 1 5 0 − − − − 0 5 3 243 1 5 0 − − − r r 2 3 − 2 0 5 3 0 14 3 1 5 0 − − − 5 3 14 3 − − − 1 2 r r + 19 0 14 3 − − − 1 1 1 2 1 1 4 1 2 4 6 1 1 2 4 2 D − −−− = D − 2 1 3 1 2 r r r r + − 4 1 r r − ＝57 = (-1)1+1 = (-1)3+1
利用行列式按行（列）展开定理计算行列式时，三 般利用有较多0的行（列）展开，对一般的数字行列 式，可将某行（列）化到只剩一非零元时降阶处理 例： 14-1 4 -4 -7 -17 -8 2 1 4 3 D 53-2 2 4 2 3 11 0 5 3 0 9 2 3 1 -17 -8 -7-25 8 -7 -25 0 5 =5X(102+3 3 11 3 9 2 11 三 10
8 1 4 1 4 2 1 4 3 4 2 3 11 3 0 9 2 D − = 1 2 3 2 4 2 r r r r − − 7 0 17 8 2 1 4 3 0 0 5 5 3 0 9 2 − − − − 7 25 3 11 − − 利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一 般利用有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列 式,可将某行(列)化到只剩一非零元时降阶处理. 例： = 10 = (-1)2+2 7 17 8 0 5 5 3 9 2 − − − − =5×(-1)2+3 7 25 8 0 0 5 3 11 2 − − − =
23 4 n 2 3 n-1 例2计算行列式 2 n-2 D 。 n-3 2 XX火 [分析]首列元素全是1，第一行乘以（一1）加到下面 各行只能使下面元素变为，其它元素却没有规律 利用相邻两行元素较接近的特点：从首行起，每行 加其下行的（一1）倍，按首列展开后再使用该手法
1 2 3 4 1 1 2 3 1 1 1 2 2 1 1 3 1 2 1 1 n n x n D x x n xxx xxx − − = − 例2 计算行列式 首列元素全是1,第一行乘以(－1)加到下面 各行只能使下面元素变为0,其它元素却没有规律 [分析] 利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行 加其下行的(－1)倍,按首列展开后再使用该手法
解： 0 1-22-3, 1-x1 n-2-n1,n-1-n 0 0 X 1-x 。 （0"+型 0 一X .1-X1 n-1
1 2 2 3, 2 1 1 , , , 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 n n n n r r r r r r r r x x D x x x x x − − − − − − − − − ======== − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 n n x x x + − − = − − − 解：