复习 逆矩阵定义：AB=BA=E,A、B互为逆矩阵，B=A 逆矩阵性质： )A可逆 4唯一 2)(A1）1=A; 3)(kA)1= 二AK0方 4)(4B)1-B4 5)(4A01=(A9 a迪台M8田 推论：AnxaBn×mE→A,B可逆，且A-1=B,B-1=A 重要结论：A=AA;AM-AAAE B
逆矩阵定义:AB＝BA＝E,A、B互为逆矩阵. B=A-1 复 习 逆矩阵性质: 1) A可逆 A-1唯一； 2) (A-1 ) -1＝ 1 1 A k − 3) (kA) -1＝ 4) (AB) -1＝ 5) (AT ) -1= (A-1 ) T ; 6) 1 . A 1 A − = A； (k≠0); B-1A-1 ; 可逆的充要条件定理: A 0 1 1 A A A − = 重要结论: AA A A A E = = 1 A A A ; − = 推论:An×nBn×n =E A,B可逆,且A－1=B, B－1 =A − 1 A O O B − 1 O A B O An×n可逆 ,且 − − = 1 1 A O O B − − = 1 1 O B A O
2.5初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换： 1.初等行变换1)交换矩阵的两行 2)矩阵某行乘以非零数 3)矩阵某行k倍加至另一行 2.初等列变换1)交换矩阵的两列 2)矩阵某列乘以非零数 3)矩阵某列k倍加至另一列 记号与行列式性质记号类创 3.矩阵等 若干次 大①矩阵一[1②联结 若矩阵A初等变换B,则称A与B等价，记A≌B. 等价关系具有①反身性A≌A; ②对称性A≌B→B≌A街 ③传递性A≌B,B≌C→A≌C
1)交换矩阵的两行 2)矩阵某行乘以非零数 3)矩阵某行k倍加至另一行 一、矩阵的初等变换： 2.5 初等变换与初等矩阵 1.初等行变换 1)交换矩阵的两列 2)矩阵某列乘以非零数 3)矩阵某列k倍加至另一列 2.初等列变换 3.矩阵等价 若矩阵A B，则称A与B等价，记A≌B. 等价关系具有①反身性A≌A； ③传递性A≌B,B≌CA≌C. 若干次 初等变换 ②对称性A≌B B≌A； 记 号 与 行 列 式 性 质 记 号 类 似 ！ ①矩阵—[ ]②联结—
4.定理1 有限次 E A=(L月mxn初等变换 D 称D为A的 等价标准形. 3 3 12 A ① 3 0 -2 2 2 1 00-5 01 00 00 变换前后矩阵不同，故以箭头联结，那么两者能 否建立等式关系？为此引入
1 1 2 3 3 1 2 2 4 − − → − − 1 1 2 0 0 5 0 0 0 − − 变换前后矩阵不同，故以箭头联结，那么两者能 否建立等式关系？为此引入 4. 定理1 E O r D O O = 3 3 1 1 1 2 2 2 4 A − = − → − − 有限次 初等变换 A=(aij)m×n 1 0 0 0 0 5 0 0 0 → − → 1 0 0 0 1 0 000 ——称D为A的 等价标准形
二、初等矩阵概念 1.定义：三种初等变换<>三种初等矩阵 单位矩 阵经一次初等变换所得矩阵 ①初等对换矩阵E6,) E)= (交换，列同此)
二、初等矩阵概念 1.定义:三种初等变换 三种初等矩阵——单位矩 阵经一次初等变换所得矩阵. ①初等对换矩阵E(i,j) 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 (i) (i) (j) (j) (交换i,j列同此) E(i,j)= 1 1 0 0
②初等倍乘矩阵Ei(k) E)= (k0) 列k倍同此) ③初等倍加矩阵Ei,k) E(i,i(k= 注意：列k倍 加至列同此)
②初等倍乘矩阵E(i(k)) 1 1 1 1 1 (i列k倍同此) (i) ③初等倍加矩阵E(i, j(k)) 1 1 0 1 1 (i) (j) (注意：i列k倍 加至j列同此) (i) (i) (j) E(i(k))= k E (i, j(k))= k (k≠0)
2.初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵 E6,)1=E) E()=1= E,)-1=E,J(一) (可直接验证！) 三、初等矩阵与初等变换 1.定理2设A=()mx,则对A作一次初等行（列）变换， 相当于用一个相应的Rn)阶初等矩阵左（右）乘A. 证：仅证交换A的第列与第j列等于用E)右乘A. 其余变换类似可得 由前“分块矩阵”例A=(4A.A.A月 Aε，=A(j=1,2,n 五柜=Ae“8管)卢(M6“将产"园 =青4月)一4委换宁第渊
2. 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵 (可直接验证!) 三、初等矩阵与初等变换 1.定理2设A=(aij)m×n,则对A作一次初等行(列)变换, 相当于用一个相应的 阶初等矩阵左(右)乘A. 证:仅证交换A的第i列与第j列等于用En (i,j)右乘A. 其余变换类似可得. 由前“分块矩阵”例 A＝(A1 .Ai . Aj .An ) 1 ( , ) ( ) AE i j A n j i n = 1 ( ) A A A A j i n = (i) (j) (i) (i) (j) (j) m?(n) E(i,j)－1＝E(i,j) 1 k E(i(k))－1＝E(i( )) E(i, j(k))－1＝E(i, j(－k)) ( 1,2, , ) j j A = A j = n = (A1 . Aj . Ai .An )——A交换了第i、j列!
对行变换，验证： 1+2 A三 推论对任一矩阵A,存在可逆阵P,Q,使PAQ E 有限次 证：由定理1，A初等变换 E. D 由定理2，D=P,.P2PA2122.2,A,卫，Q可逆 .P、.P2P1=P,Q122.Q,=Q可逆 故命题成立 [注矩阵等价另一定义 A≌B→]可逆阵P,Q,使PAQ=B
7 对行变换，验证： 1 2 2 1 2 4 1 3 6 r r A + = − → 1 2 4 1 3 6 − ＝ 推论 对任一矩阵A,存在可逆阵P,Q,使PAQ= E O r O O 证：由定理1， 由定理2, ∵A, Pi , Qj可逆 ∴Ps . P2P1 ＝P, Q1Q2 . Qt ＝Q可逆 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E O r D O O = 有限次 A 初等变换 D=Ps . P2P1AQ1Q2 . Qt 故命题成立 9 0 4 1 3 6 − 2 [注]矩阵等价另一定义: d A≌B 可逆阵P,Q,使PAQ＝B
2.定理3阶可逆矩阵A的等价标准形D=E, 证：由定理1推论，PAQ=D E 00 且P,A,Q可逆 ∴D可逆 D≠0D=E 3.定理4A可逆→A可表示为一些初等矩阵的乘积 证：二显然 →由定理3，E,D=P,.P1AQ1.2, A=P1.P,E21.Q1=P11.P、21.Q1 而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵命题得证
2.定理3 n阶可逆矩阵A的等价标准形D=En ∴D可逆 D 0 3.定理4 A可逆 A可表示为一些初等矩阵的乘积 证: 显然. 由定理3， 证：由定理1推论，PAQ=D= 且P, A, Q可逆 E O r O O ∴D＝En En =D=Ps . P1AQ1 . Qt ∴A=P1 -1.Ps -1EnQt -1.Q1 -1=P1 -1.Ps -1Qt -1.Q1 -1 而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵 命题得证
四、用初等变换求逆矩阵 1.利用初等变换求A口 定理4 A可逆→I可逆AI=PPP→PPP4 意义：A背E 变换 E=PPPA 若用一系列初等行变换将A化为单位矩 A=PPPE 阵E,则对E施以同样的行变换即得A1 .(AE) 委(E码 A 同理， 列 E E 变换
若用一系列初等行变换将A化为单位矩 阵E, 则对E施以同样的行变换即得A -1 四、用初等变换求逆矩阵 同理, 1.利用初等变换求A =E －1 A可逆 A -1可逆 定理4 A -1=P1P2 .Pk A -1A=P1P2 .PkA (意义: A E ) 行 变换 A -1=P1P2 .PkE E = P1P2 .PkA ∴(A E ) (E A -1 ) 行 变换 A E 列 变换 E A -1
2 3 2 例2 A- 2 ,求A-1 -6 3 4 5 解： 2 3 2 3 (AE)= 2 2 1 3 4 0 3 -2 1 5 0 -51 0 =3 注]若左边子块某行元素全为0，则A不可逆
1 2 3 2 1 2 1 3 4 A = 例2 ,求A－1 解： ( ) 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 2 1 2 0 1 0 0 3 4 2 1 0 1 3 4 0 0 1 0 1 1 1 0 1 A E = → − − − − 1 2 3 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 3 4 2 1 0 → − −−− 1 0 1 3 0 2 0 1 1 1 0 1 0 0 1 5 1 3 − → − − − ( ) 1 1 0 0 2 1 1 1 0 0 2 1 1 0 1 0 6 1 4 0 1 0 6 1 4 0 0 1 5 1 3 0 0 1 5 1 3 E A− − − → − → − = − − − − 1 2 1 1 6 1 4 5 1 3 A − − = − − − [注]若左边子块某行元素全为0，则A不可逆