《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 控制系统的空间表达式 √1.1状态变量及状态空间表达式 √1.2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 √1.3状态变量及状态空间表达式的建立（一） √1.4状态变量及状态空间表达式的建立（二） √1.5状态矢量的线性变换（坐标变换） √1.6从状态空间表达式求传递函数阵 第 ×1.7离散时间系统的状态空间表达式 X1.8时变系统和非线性系统的状态空间表达式 章
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 控制系统状态空间表达式的解 √1.1 状态变量及状态空间表达式 √1.3 状态变量及状态空间表达式的建立(一) √1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 √1.5 状态矢量的线性变换(坐标变换) √1.4 状态变量及状态空间表达式的建立(二) ╳1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 √1.6 从状态空间表达式求传递函数阵 ╳1.7 离散时间系统的状态空间表达式
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解怎 控制系统状态空间表达式的解 V2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） V2.2 矩阵指数函数—状态转移矩阵 √2.3 线性定常系统非齐次方程的解 ×2.4 线性时变系统的解 ×2.5 离散时间系统状态方程的解 第二章 ×2.6 连续时间状态空间表达式的离散化
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 控制系统状态空间表达式的解 √ 2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) √ 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 √ 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 ╳ 2.4 线性时变系统的解 ╳ 2.5 离散时间系统状态方程的解 ╳ 2.6 连续时间状态空间表达式的离散化
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 第二章状态空间表达式的解 §2-1线性定常齐次状态方程的解 齐次状态方程=Ax() (2-1) 1.若初始时刻t=t,初始状态x(t)=x 则式2-1)有唯一确定解 x)=e4-x(6)t≥t (2-2) 2.若初始时刻t。=0,初始状态x(0)=x, 则其解为 x()=ex,t≥0 (2-3)
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 控制系统状态空间表达式的解 第二章 状态空间表达式的解 §2-1 线性定常齐次状态方程的解 齐次状态方程 x = Ax(t) (2 − 1) 0 0 0 1. 若初始时刻 t = t ,初始状态 x(t ) = x 则式(2-1)有唯一确定解 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) (2 2) At t xt e xt t t - − = ≥ 0 0 2. 若初始时刻 t = 0,初始状态 x(0) = x 则其解为 0 ( ) 0 (2 3) At xt e x t - = ≥
《现代控制理论》第章控利系统状态空间表达式的解怎 =Ax(t) (2-1) 证明假设式(2-1)的解x()为t的矢量幂级数形式， 即 x()=b+b,t+b,t2+.+bt+.(2-4) 带入式(2-1)得： b+2bt+3b,t2+.+kh,t-1+. =A(b。+b,t+b,t2+.+bt+.)(2-5) 既然式(2-4)是式(2-1)的解，则式(2-5)对任意时刻都 成立，故的同此幂项的系数应相等，有： 1 Dy Ab 21=246, b2 点=34孤，=0.么=k0 k-
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 证明 假设式(2-1)的解x(t)为t的矢量幂级数形式, 即 (t) (2 1) x Ax - = 2 01 2 ( ) (2 4) k k x t b bt bt bt - =+ + ++ + 带入式(2-1)得： 2 1 12 3 2 01 2 23 ( ) (2 5) k k k k b b t b t kb t Ab bt bt bt - − + + ++ + = + + ++ + 既然式(2-4)是式(2-1)的解,则式(2-5)对任意时刻t都 成立，故t的同此幂项的系数应相等，有： 2 1 0 2 1 0 3 k 3 2 0 k-1 0 1 1 2 2! 11 1 1 3 3! k ! k b Ab b Ab A b b Ab A b b Ab A b k = = = = = = =
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 x(t)=b。+b,t+b,2+.+btk+.(2-4 在式2-4中，令=0，可得： 4=246 b=x(0)=x 6346,. 将以上结果带入式(2-4)，故得： 0=(+A+A++A+x,(2-6 2 k!1 右边括号内展开式是n×n矩阵，记为矩阵指数函数e4t: e"=1+4+A?++4性+ (2-7) 2 k! 于是式(2-6)可表示为 x(t)=exo 解题思路 再用(t-t)代替(t-0),同样可证明式(2-2)的正确性
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 2 01 2 ( ) (2 4) k k x t b bt bt bt - =+ + ++ + 在式(2-4)中，令 t=0，可得： 0 0 bx x = = (0) 将以上结果带入式(2-4)，故得： 2 2 0 1 1 ( ) ( ) (2 6) 2! ! k k x t I At A t A t x - k =+ + ++ + 右边括号内展开式是n×n矩阵,记为矩阵指数函数eAt： 1 1 2 2 (2 7) 2! ! At k k e I At A t A t - k =+ + + + + 于是式(2-6)可表示为 0 ( ) At xt e x = 再用(t-t0)代替(t-0),同样可证明式(2-2)的正确性。 解题思路
《现代控制理论》第章控利系统状态空间表达式的解怎 齐次状态方程文=Ax() (2-1) 两边取拉氏变换得sX(s)-x(O)=AX(s) (sI-A)X(s)=x(0) 两边左乘(sI-A) 得X(s)=(sI-A)'x(0) 齐次方程的解为 x(t)=L[(sI-A)x(0) =e4x(0) 解题思路 矩阵指数函数 e"=L(SI-A)]
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 齐次状态方程 x = Ax(t) (2 − 1) 两边取拉氏变换得 s X(s)- x(0) = A X(s) (sI − A)X(s) = x(0) 1 ( ) − 两边左乘 sI − A -1 得 ( ) ( - ) (0) X s sI A x = 齐次方程的解为 1 1 ( ) [( - ) ] (0) (0) At x t L sI A x e x − − = = 1 1 ( ) At e L sI A − − = − 矩阵指数函数 解题思路
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 §2-2状态转移矩阵 一状态转移矩阵 齐次方程的自由解为 x(t)=ex。或x(t)=e4-x(t) 由解的表达式看出，系统自由运动的轨线趴 x(to)到x()的转移，其转移特性由ei或e) 决定，所以称e“为状态转移矩阵。 记为①()=e及D(t-tn)=et-to) 文=Ax(①的解为 x(t)=④(t)x(0)或x(t)=Φ(t-to)x(t)
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 §2-2 状态转移矩阵 一.状态转移矩阵 齐次方程的自由解为 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 x t e x x t e x t At A t−t = 或 = 决定 所以称 为状态转移矩阵。 到 的转移，其转移特性由 或 由解的表达式看出 系统自由运动的轨线是从 At At A t-t e x x e e , (t ) (t) , ( ) 0 0 (t-t ) 0 0 (t) (t -t ) At A 记为 Φ = e 及 Φ = e ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (t) 0 0 x t t x x t t t x t x Ax = Φ = Φ − = 或 的解为
《现代控制理论》第章控利系统状态空间表达式的解怎 几何意义 以二维状态矢量为例，可用图形表示，如图2.所示 从图可知，在t=0时，x(O) 10 X20 in=0 若以此为初始条件，且己 知④()，那么在t=时的状态将为 x(h) Φ()x(0)(8) x21 若已知④(2)，那么t=2时的状态将为 X12 图2.1状态转移轨线 x(2)= Φ(2)x(0)(9) X22 即状态从x(O)开始，将按④()或重(2)转移到x()或x(2),在状态空 间中描绘出一条运动轨线。 若以t=方作为初始时刻，则状态x()是初始状态从转移到2的状 态将为 x(2)=Φ(2-)x()(10)
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 几何意义
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 用式(8)的x()代入上式，可得 x() Φ()x(0)(8) x(2)=Φ(2-)Φ(i)x(0) (11) 21 式(11)表示从x(0)转移到x(),再由x()转移到x(2)的运动规律。 x(2】 =Φ(2-)x(t) 比较式（⑨）和式(11)，可知转移矩阵（或矩阵指数）有以下关系 x(2) 2 (2)x(0)(9) Φ(2-)Φ()=④(2) 22 或eA(2-)e=eA(12) 这种关系称为组合性质。 综上分析可以看出：利用状态转移矩阵，可以从任意指定的初 始时刻状态矢量x（。),求得任意时刻t的状态矢量x(t)。 换言之，矩阵微分方程的解，在时间上可以任意分段求取，这 是动态系统用状态空间表示法的又一优点。因为在经典控制理 论中，用高阶微分方程描述的系统，在求解时，对初始条件的 处理是很麻烦的，一般都假定初始时刻仁0时.初始条件也为 零，即从零初始条件出发，去计算系统的输出响应
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 综上分析可以看出：利用状态转移矩阵，可以从任意指定的初 始时刻状态矢量x（ t0），求得任意时刻t 的状态矢量x（ t ） 。 换言之，矩阵微分方程的解，在时间上可以任意分段求取，这 是动态系统用状态空间表示法的又一优点。因为在经典控制理 论中，用高阶微分方程描述的系统，在求解时，对初始条件的 处理是很麻烦的，一般都假定初始时刻t=0 时．初始条件也为 零，即从零初始条件出发，去计算系统的输出响应
《现代控制理论》第2章控制系统状态空间表达式的解 2.2.2 状态转移矩阵矩阵指数函数)的基本性质 1.性质一 Φ(t)Φ()=Φ(t+T) eA(r)elleAr 也称组合性质，意味着从转移到O,再从O转移到τ的组合。 2.性质二 Φ(t-t)=e4t-)=I 意味着状态从时刻t又转移到时刻t,显然状态矢量是不变的
《现代控制理论》第2章 控制系统状态空间表达式的解 2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 1．性质一 Φ Φ =Φ + () ( ) ( ) t t τ τ A t At A ( ) e ee +τ τ = 也称组合性质，意味着从τ转移到0，再从0转移到τ的组合。 2．性质二 ( ) ( ) At t tt e I − Φ− = = 意味着状态从时刻t又转移到时刻t，显然状态矢量是不变的