电气与电子工程学院 《线性代数》 补充知识 主讲人：张厚升
《线性代数》 补充知识 主讲人： 张厚升 电气与电子工程学院
第0章预备知识 以状态空间描述为基础的现代控制理论，其各章节内容多涉及矩 阵、线性代数相关的基本概念和运算。本章主要介绍矩阵相关的 一些基本概念和定义，矩阵的运算，特征值和特征向量
以状态空间描述为基础的现代控制理论，其各章节内容多涉及矩 阵、线性代数相关的基本概念和运算。本章主要介绍矩阵相关的 一些基本概念和定义，矩阵的运算，特征值和特征向量 第0章 预备知识
第0章预备知识 2.1基本概念和定义 矩阵常用来简化复杂的数学表达式。例如：个联立代数方程组 a11x+a12X2+.+41nxn=b a2x +a22x2+.+aznxn=b2 amx+an2x2+.+amxn =b 可用矩阵方程表示 AX=B
2.1 基本概念和定义 矩阵常用来简化复杂的数学表达式。例如：n 个联立代数方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 n n n n n n nn n n ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b + ++ = + ++ = + ++ = 可用矩阵方程表示 AX B= 第0章 预备知识
第0章预备知识 矩阵定义：矩阵是按矩形阵列排列的若干个元素的集合，或者由m×n个元素有次 序地排列成m行n列的表，叫做m×n阶矩阵。 如m×n阶矩阵表示为 C12 a22 am2 即 A=[a,] 71×1 式中，叫做矩阵的第行第列元素。 方阵：行数和列数相同的矩阵叫做方阵 值得注意的是，方阵与行列式是两个不同的概念。n阶方阵只是由2个元素排列成 的一个正方形的表，而阶行列式却是由n个数按一定规律进行运算，最后得到一 个唯一的数值，即行列式表示一个数值
矩阵定义：矩阵是按矩形阵列排列的若干个元素的集合，或者由m×n个元素有次 序地排列成m行n列的表，叫做m×n阶矩阵。 如m×n阶矩阵表示为 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn aa a aa a aa a = A 即 m n aij × = A 式中，aij叫做矩阵的第i行第j列元素。 方阵：行数和列数相同的矩阵叫做方阵。 值得注意的是，方阵与行列式是两个不同的概念。n阶方阵只是由n2个元素排列成 的一个正方形的表，而n阶行列式却是由n2个数按一定规律进行运算，最后得到一 个唯一的数值，即行列式表示一个数值。 第0章 预备知识
第0章预备知识 列矩阵：只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 n×1阶矩阵又称为n维列向量，如 a A= az an 行矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵，又称为行向量。 1×m阶矩阵又称为m维行向量，如 x=[x2.xm]
列矩阵：只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。 n×1阶矩阵又称为n维列向量，如 1 2 n a a a = A 行矩阵：只有一行的矩阵称为行矩阵，又称为行向量。 1×m阶矩阵又称为m维行向量，如 x = [ xx x 1 2 m ] 第0章 预备知识
第0章预备知识 矩阵可看成是由列向量或行向量所组成的，如 a12 a21 A= d22 a2n =[a1a2.an] am am2 amn 式中，a表示m维列向量 4,= a
矩阵可看成是由列向量或行向量所组成的，如 [ ] 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 n n n m m mn aa a aa a aa a = = A aa a 式中，ai 表示m维列向量 1 2 i i i mi a a a = a 第0章 预备知识
第0章预备知识 或者 a a12 A= a21 d22 am2 amn 式中，a表示维行向量 aj=an .dm 对角矩阵：若一个阶方阵A除主对角线元素外，其余的元素都是零， 就称A为对角矩阵，记为
或者 * 11 12 1 1 * 21 22 2 2 * 1 2 n n m m mn m aa a aa a aa a = = a a A a 式中，a * j 表示n维行向量 * j j j aa a 1 2 jn = a 对角矩阵：若一个n阶方阵A除主对角线元素外，其余的元素都是零， 就称A为对角矩阵，记为 11 22 nn a a a = A 第0章 预备知识
第0章预备知识 单位阵或么阵：在对角矩阵中，当主对角线上的元素全为1时，则此 对角矩阵称为单位阵或么阵，记为 =diag(l,1,.,1) 零件：指所有元素全等丁零的如昨，例如0日08 矩阵相等：两个矩阵4和B只有在满足条件：)行数和列数分别相等； b)对应的元素都相等时，才是彼此相等的，记为 A-B
单位阵或幺阵：在对角矩阵中，当主对角线上的元素全为1时，则此 对角矩阵称为单位阵或幺阵，记为 1 1 1 diag(1,1, ,1) 1 = = I 零阵：指所有元素全等于零的矩阵，例如 000 000 = O 矩阵相等：两个矩阵A和B只有在满足条件：a)行数和列数分别相等； b)对应的元素都相等时，才是彼此相等的，记为 A B= 第0章 预备知识
第0章预备知识 对称矩阵：如果方阵A对于所有的元素满足条件a,=ai, 那么方阵A称为对称矩阵。 6 5 例如 50 和[为对称矩阵 10 转置矩阵：如果n×m阶矩阵的行、列互换，那么由此而得的m×n阶矩阵叫 做A的转置矩阵。以A'(或A)表示，如 「3 0 3 2 1 A=0 -1 5 1 5 共轭矩阵：如果矩阵A的复数元素分别用它们各自的共轭复数来替换，那么 由此得到的矩阵叫做A的共轭矩阵。用A表示，如 0 0 -1+j -3-3j -1+4j 则 A= -1-j -3+3j -1-47 -1+方 -1 -2+4j -1-j -1 -2-4j
对称矩阵：如果方阵A对于所有的元素满足条件 ， 那么方阵A称为对称矩阵。 例如 和 为对称矩阵。 651 5 0 10 1 10 1 − 1 4 4 1 − − 转置矩阵：如果 n×m阶矩阵 的行、列互换，那么由此而得的 m×n阶矩阵叫 做A的转置矩阵 。以 （或A’）表示，如 ， T A 321 0 15 = − A T 3 0 2 1 1 5 = − A 共轭矩阵：如果矩阵A的复数元素分别用它们各自的共轭复数来替换，那么 由此得到的矩阵叫做A的共轭矩阵。用 A 表示，如 010 1 33 14 1 1 24 j jj j j = −+ −− −+ −+ − −+ A 第0章 预备知识 则 010 1 33 14 1 1 24 j jj j j = −− −+ −− −− − −− A a a i j ji =
第0章预备知识 逆阵：设有一个方阵A,若存在另一个方阵B满足关系式 AB=BA=I 则把方阵B叫做A的逆矩阵，记为 A-1=B 奇异矩阵：如果方阵所对应的行列式为零，则把该方阵称为奇异矩阵。 非奇异矩阵（满秩矩阵)：如果方阵所对应的行列式不为零，称之为非奇 异矩阵
逆阵：设有一个方阵A，若存在另一个方阵B满足关系式 AB BA I = = 则把方阵B叫做A的逆矩阵，记为 −1 A B= 奇异矩阵：如果方阵所对应的行列式为零，则把该方阵称为奇异矩阵。 非奇异矩阵（满秩矩阵）：如果方阵所对应的行列式不为零，称之为非奇 异矩阵。 第0章 预备知识