《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能观性 §3-8线性系统的结构分解 如果一个系统是不完全能控（或不完全能观）的， 可通过坐标变换的方法对状态空间进行分解，将系 统分解成能控部分与不能控部分，或能观部分与不 能观测部分。系统的结构分解在理论上它揭示了状 态空间的本质特征，为最小实现问题的提出提供了 理论依据。 一按能控性分解 x=Ax+Bu 设线性定常系统 (3-101) y=Cx 是状态不完全能控， rankM rank[B 4B .A"-Bl=n<n
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 §3-8 线性系统的结构分解 如果一个系统是不完全能控(或不完全能观)的, 可通过坐标变换的方法对状态空间进行分解,将系 统分解成能控部分与不能控部分,或能观部分与不 能观测部分。系统的结构分解在理论上它揭示了状 态空间的本质特征，为最小实现问题的提出提供了 理论依据。 一.按能控性分解 设线性定常系统 是状态不完全能控, 1 1 rank rank[ ] n M B AB A B n n − = = < y Cx x Ax Bu = = + (3-101)
《现代控理论》第3章线性控制系统的能控性与能现性 作非奇异变换 x=R (3-102) 将式3-101)变换为 天=A舵+Bu y=C說 (3-103) 其中 尤= 2(n-m) 式中文∈R",u∈R',y∈R"m
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 作非奇异变换 x = R x ˆ (3 − 102) c 将式(3-101)变换为 ˆ (3 103) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = − = + y Cx x Ax Bu 其中 1 1 2 ( ) 1 ˆ ˆ ˆ n n n x x x − = n r m 式中 x ˆ ∈ R ,u ∈ R , y ∈ R
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能现性 文=Ax+Bu x=R +Bu y=Cx y-C 「A A=RAR= (3-104) (n-n) n (n-n1） B=RB= (3-105) e=cR.-le:c]m (3-106) n (n-n) A1一1×n1;A2-,×(n-n)方A2一(n-n1)×(n-n1)5 B,一m1×r;C1一mXn1;C2一mx(n-n)
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 (3 105) 0 ˆ ˆ 1 1 − = = − B B Rc B (n-n1) n1 r n1 (n-n1) [ ] (3 106) ˆ ˆ ˆ C = CRc = C1 C2 m − (3 104) ˆ 0 ˆ ˆ ˆ 22 11 12 1 − = = − A A A A Rc ARc n1 (n-n1) n1 (n-n1) ( ) ˆ ; ˆ ; ˆ ( ) ( ); ˆ ( ); ˆ ; ˆ 1 1 1 1 2 1 11 1 1 12 1 1 22 1 1 B n r C m n C m n n A n n A n n n A n n n n × × × − × × − − × − — — — — — —
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能观性 非奇异变换阵 R=RR.Rm R+1 (3-107) M中的n,个线 确保R为非奇异 性无关的列 条件下的任意值
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 非奇异变换阵 1 1 1 2 1 (3 107) R RR R R R c nn n + = − M中的n1个线 性无关的列 确保Rc为非奇异 条件下的任意值
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能现性 [][][ [L]-c 状态空间被分解成两部分 (仙)能控子系统，=A,+Bu+A2, y=C (2)不能控子系统，=A, y=C
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 u B x x A A A x x + = 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 1 22 11 12 2 1 [ ] = 2 1 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ x x C C y y 状态空间被分解成两部分 1 1 1 1 11 1 1 12 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1) ˆ y C x x A x B u A x = = + + 能控子系统 2 2 2 2 22 2 ˆ ˆ ˆ ˆ (2) ˆ y C x x A x = = 不能控子系统
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能观性 (①)能控子系统=A民+Bu+A12天2 1=C, (2)不能控子系统2=A22 可不写 y2=C22 A如 y() 能控部分 不能控部分
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 能控部分 不能控部分 1 1 1 1 11 1 1 12 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (1) ˆ y C x x A x B u A x = = + + 能控子系统 2 2 2 2 22 2 ˆ ˆ ˆ ˆ (2) ˆ y C x x A x = = 不能控子系统 ∫ 2 C ˆ 22 A ˆ 11 A ˆ 12 A ˆ 1 C ˆ 1 B ˆ u y(t) (t) y1 y2 1 x ˆ 2 ∫ x ˆ 可不写
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能现性 例3-15将下列系统按能控性进行分解 0。-[ =10-3x+1uy=01-2 01-30 解1)判能控性 a46 rankM=2<3=n系统是不完全能控的， (2)构造R。 R。=[RR2R]
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 例3-15 将下列系统按能控性进行分解 x x u y [0 1 2]x 0 1 1 0 1 3 1 0 3 0 0 1 = − + − − − = 解(1)判能控性 [ ] − − − = = 0 1 2 1 1 3 1 0 1 2 M b Ab A b rankM = 2 < 3 = n 系统是不完全能控的。 (2)构造Rc [ ] Rc = R1 R2 R3 = = = = = 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 R2 Ab R3 取 R b
《现代控理论》第3章线性控制系统的能控性与能现性 即 (3)油式3-104)一3-106)求ABC阵 w w周 c=CR=l,c2]=1-1-2]
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 = 0 1 1 1 1 0 1 0 0 即 Rc (3)由式(3 - 104) — (3 - 106)求A ˆ B ˆ C ˆ 阵 − − − − − = = = − 0 0 1 1 2 2 0 1 1 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ 22 1 11 12 A A A A Rc ARc = = = − 0 0 1 0 ˆ ˆ 1 B1 B Rc b [ ] [1 1 2] ˆ ˆ ˆ C = CRc = C1 C2 = − −
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能现性 (4)按能控分解后 0-1-1 = -。 y=l-1-2]e 二维能控子系统 日+-b-服， 满amn6A小a[0门-2是能控的 一维不能控子系统2=-2y2=-2龙2
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 (4)按能控分解后 x x u y [1 1 2] xˆ 0 0 1 ˆ 0 0 1 1 2 2 0 1 1 ˆ = − − + − − − − − = 二维能控子系统 [ ] 1 1 1 1 1 1 ˆ 0 1 ˆ 1 2 0 1 x ˆ x u y = − x + − − = 满足 [ ] 2 是能控的 0 1 1 0 rank ˆ ˆ ˆ rank 1 11 1 = b A b = 一维不能控子系统 2 2 2 2 x ˆ = − x ˆ y = −2x ˆ
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能观性 在构造变换阵R时，其中(n-n1)列的选取，是在保证R。 为非奇异的条件下任选的。另选R3=[1,0,1T,则 于是 0-101 ，y=[1-1-2]e 比较以上两种表达式，其二维能控子系统的 表达式是相同的，均属能控标准Ⅱ型。 日日⅓-k
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 在构造变换阵Rc时,其中(n-n1)列的选取,是在保证Rc 为非奇异的条件下任选的。另选 R3=[1, 0, 1]T ,则 101 110 011 R c = 于是 比较以上两种表达式，其二维能控子系统的 表达式是相同的，均属能控标准Ⅱ型。 [ ] 1 1 1 1 1 1 ˆ 0 1 ˆ 1 2 0 1 x ˆ x u y = − x + − − = x x u, y [1 1 2]xˆ 0 0 1 ˆ 0 0 1 1 2 2 0 1 0 ˆ = − − + − − − − =