线性控制系统的能控性和能观性 3.1能控性的定义 3.2线性定常系统的能控性判别 3.3线性连续定常系统的能观性 3.4离散时间系统的能控性与能观性 3.5时变系统的能控性与能观性 3.6能控性与能观性的对偶关系 3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8线性系统的结构分解 3.9传递函数阵的实现问题 第三章 3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 性之间的关系
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 性之间的关系
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能现性 第三章能控性和能观性 在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要 的概念，它是卡尔曼Kalman)在1960年提出的，是最 优控制和最优估计的设计基础。 能观性针对的是系统状态空间模型中的状态的能 观测性，它反映系统的内部状态x(通常是不可以 直接测量的)被系统的输出量)（通常是可以直 接测量的)所反映的能力。 能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入（①） 对系统内部状态x()的控制能力，另一种是控制输 入（①对系统输出）的控制能力。但是一般没有 特别指明时，指的都是状态x的能控性
第三章能控性和能观性 在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要 的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最 优控制和最优估计的设计基础。 能观性针对的是系统状态空间模型中的状态x的能 观测性，它反映系统的内部状态x（通常是不可以 直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直 接测量的）所反映的能力。 能控性严格上说有两种，一种是系统控制输入u(t) 对系统内部状态x(t)的控制能力，另一种是控制输 入u(t)对系统输出y(t)的控制能力。但是一般没有 特别指明时，指的都是状态x的能控性。 《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能现性 §3-1能控性的定义 X21 x(t) 线性连续定常系统的能控性定义 X3 在有限时间段，内，通过改变，若能使x, 由任意初态x()转移到终态x()=0,则称系统 状态完全能控。反之，只要有一个状态不能控， 就称系统不能控。 若在有限时间o,内，通过改变，能使x,由初 态x()=0转移到终态x()为任意值，则称系统状 态完全能达。 t x(to)
§3-1 能控性的定义 线性连续定常系统的能控性定义 在有限时间段[t0, tf ]内,通过改变u，若能使x, 由任意初态 x(t0)转移到终态x(tf )＝0，则称系统 状态完全能控。反之，只要有一个状态不能控， 就称系统不能控。 若在有限时间[t0, tf ]内,通过改变u，能使x,由初 态 x(t0)＝0转移到终态x(tf )为任意值，则称系统状 态完全能达。 x3 x1 x2 0 x(t0) x(tf ) x3 x1 x2 0 x(t0) x(tf ) 《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能现生 §3-2线性定常系统的能控性判别 一.约旦标准型判据 文=x+Bu b11 b12 b 2 入n b 判据1A为对角型（特征值互异），状态能控的充 要条件是B阵每行的元素不全为零。 若系统矩阵A的特征值互异，则式x=Ax+Bu可变换为式之=Az+T-Bu 此时系统能控性充分必要条件是控制矩阵T-B的各行元素没有全为0的
§3-2 线性定常系统的能控性判别 一.约旦标准型判据 + = = Λ + n n nr r r r n u u u b b b b b b b b b x x x Bu 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 λ λ λ 判据1 A为对角型(特征值互异),状态能控的充 要条件是B阵每行的元素不全为零。 《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能观性 例判断系统状态能控性 [][6 y-a c 解展开 x1=九X x2=2X2+b2W “回令 因b1=0,x1不受u()控制，称状态不完全能控
11 1 2 22 2 1 1 2 2 0 0 0 x x u x xb x ycc x λ λ = + = 解 展开 x x b u x x 2 2 2 2 1 1 1 = + = λ λ 因 b1=0, x1不受u(t)控制,称状态不完全能控。 例 判断系统状态能控性 u y + + ∫ λ1 1 c + 1 x 1 x ∫ λ 2 2 c + 2 x 2 x 2 b 《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性
《现代控制理论》第3章线性控系统的能控性与能现性 【例】 试考察下列系统的状态能控性 0 2 () 0 -5 0 0 0 X; 9 -7 0 0 (2) 0 -5 0 0 0 5u, 解(1)是状态不完全能控的，因b,为零行。 (2)B阵无全零行，状态完全能控
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 解 （1）是状态不完全能控的，因b2为零行。 u x x x x x x + − − − = 9 0 2 0 0 1 0 5 0 7 0 0 (1) 3 2 1 3 2 1 + − − − = 2 1 3 2 1 3 2 1 7 5 4 0 0 1 0 0 1 0 5 0 7 0 0 (2) u u x x x x x x 【例】 试考察下列系统的状态能控性 （2）B阵无全零行，状态完全能控
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能观性 A为约旦型 x=Jx+Bu 0 b b? b1. 1 2 ×3 b31 b34 b3 bn2 判据2A为约旦型（相同特征值分布在一个约旦块中），状态能控的充要条件 是 (1)输入矩阵B中对应于互异特征值的各行，没有一行的元素全为零。 (2)输入矩阵B中与每个约旦块最后一行相应的各行，没有一行的元素全为零。 文=Ax+Bu 交=Az+T-Bu 若系统矩阵A的特征值有相同的，系统能控性的充分必要条件是： ①在T-B中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一行相对应的一行的 元素没有全为0的。 ②T-B中对于互异特征值部分，它的各行元素没有全为0的
A为约旦型 x = Jx + Bu + = r n n nr r r r n n n u u u b b b b b b b b b b b b x x x x x x x x 2 1 1 2 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 2 1 3 1 1 3 2 1 0 1 λ λ λ λ 0 0 判据2 A为约旦型(相同特征值分布在一个约旦 块中),状态能控的充要条件 是 (1) 输入矩阵B中对应于互异特征值的各行，没有一行的元素全为零。 (2)输入矩阵B中与每个约旦块最后一行相应的各行，没有一行的元素全为零。 《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能现生 例=x+Bu= (≠0) 解展开 1=2x1+X2 元2=2x2+b2w 因b20,系统状态完全能控。 若B [a] (b≠0) 2.1 状态不完全能控
《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性 解 展开 1 11 2 2 12 2 x xx x x bu λ λ = + = + 因 b2≠0, 系统状态完全能控。 ∫ λ1 + 1 x 1 x u ∫ λ1 + 2 x 2 x 2 b ( 0) 0 0 1 2 1 2 1 ≠ + = + = u b b x Jx Bu x λ λ 例 若 （ 0） 0 1 1 ≠ = b b B 状态不完全能控。 ∫ λ1 + 1 x 1 x u ∫ λ1 + 2 x 2 x 1 b y y
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能现性 【例3-1】判断下列系统的能控性 1110Tx1 0 (1) 0父 系统能控的条件：b2≠0，b3≠0 1 0 0 1 0 1 0 (2) 0 0二0= 马一 0 0 -1 2」 0 o 系统状态不完全能控
【例3-1】判断下列系统的能控性 u b b x x x x x x + = 3 2 3 2 1 3 1 1 3 2 1 0 0 0 0 0 1 0 (1) λ λ λ 系统能控的条件: b2 ≠ 0 , b3 ≠ 0 + = 2 1 5 4 3 2 1 4 4 1 1 1 5 4 3 2 1 0 0 0 2 3 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 (2) u u x x x x x x x x x x λ λ λ λ λ 0 0 系统状态不完全能控 《现代控制理论》第3章 线性控制系统的能控性与能观性
《现代控制理论》第3章线性控制系统的能控性与能现生 【例31】 判断下列系统的能控性： (1) 0 0 0 0 入3八 0 0 0 1 . 0 七2 0 0 (2) 0 0 入 3 0 花4 入4 XA 0 0 0 入4 八x5 2 家\ 1 0 br (3) 1 0 0 X2 + 0 0 0 入3八x3 入1 1 0 0 A 1 b 0 2 0 0 (4) 元3 X3 元4 0 0 0 入
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