复习 ,x)=4+22+.+41nx da 0j 十02X2X1+022X2+.+42mX2式m X= tanxx+anxaux X =XAX d 标准形： d, f=(y1y2"n) =Y'DY
2 1 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 ( , , ) n n n n n f x x a x a x x a x x a x x a x a x x = + + + + + + + 1 n x X x = + 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x T = X AX ij ji a a = 复习 标准形: 1 1 2 2 1 2 ( , , ) n n n d y d y f y y y d y = T = Y DY
线性替换：X=CY.可逆线性替换；正交替换 acan.c.oc.co 2)C1、C2为正交阵→CC2为正交阵 原二次型 X=C卫，新二次型 B与A关系？ f(X)=XTAX C0 (Y)=YTBY B=CTAC一A与B合同（反身、对称、传递性，秩相等） 化二次型为标准形给定对称矩阵4，求可逆矩 阵C,使CAC=D(对角阵) 1.正交替换法（定理1） 2.配方法 3.初等变换法
线性替换: X＝CY. 可逆线性替换； 正交替换 1 2 C C 0, 0 X＝C1U，U＝C2Y 1 2 C C 0 C1、C2为正交阵 (1) (2) C1C2为正交阵 X＝(C1C2 )Y 原二次型 f ( X )＝X TA X X＝CY C 0 新二次型 f ( Y )＝Y TB Y B与A关系? B＝C TAC—A与B合同(反身、对称、传递性，秩相等) 化二次型为标准形 给定对称矩阵A，求可逆矩 阵C, 使CTAC＝D (对角阵) 1.正交替换法 2.配方法 (定理1) 3.初等变换法
二、配方法 定理2数域F上的任意一个二次型均可经过可逆线 性替换化为标准形， 证明略。后面以例说明。 先给出定理的等价命题 用“矩阵合同”概念 表述定理： 定理3数域F上任一对称矩阵都与一个对角阵合同. A￥DK D 定理2 个 二次型XAX 标准形YDY =CY,C≠0 5.1定理D=CAC
二、配方法 定理2 数域F上的任意一个二次型均可经过可逆线 性替换化为标准形. 证明略。后面以例说明. 定理3 数域F上任一对称矩阵都与一个对角阵合同. A 二次型XTAX X CY , C = 0 定理2 标准形YTDY D 5.1定理D=CTAC ⎯⎯→ A D ⎯⎯ 先给出定理的等价命题——用“矩阵合同”概念 表述定理:
例2.用配方法化二次型 f=x2+2x号+3x了-4xx2-4x2x 为标准形，并求出所用的非退化线性替换， f=(c1-2x2)'-2x2+3x-4x& =(x1-2x2)}-2(x2+x3)+5x写 =-2号+5 y1=x1-22 y2=x2十X3 x1=y+2y2-2y y3三X3 即x2=y2 2 x3=y3 X=0 1 -1 0 0 1
例2. 用配方法化二次型 为标准形，并求出所用的非退化线性替换. 2 1 2 f x x = − ( 2 ) 222 1 2 3 = − + yyy 2 5 1 1 2 3 2 2 3 3 3 x y y y 2 2 x y y x y = − = − = ＋ 即： 1 2 2 0 1 1 0 0 1 X Y − = − 222 1 2 3 1 2 2 3 f x x x x x x x = + + − − 2 3 4 4 2 2 1 2 2 3 = − − + ( 2 ) 2( ) x x x x y1 ＝x1－2x2 y2 ＝x2＋x3 y3 ＝x3 2 2 − + − 2 3 4 x x x x 2 3 2 3 2 +5x3
注：用正交替换法化该二次型为标准形 -2 0￥ 1=1-1=(2,2,10 A= -22 -2 22=2一2=(2,1，-2)1 0 -2 3 九3=5=a%=(1,-2,2)月 2-3 -1 3 3 QAQ=Q'AQ=Λ= 2 ,= 2-3 1 2 3 3 5 1 2 2 正交替换X=QY,原二次型化为： 3 3 f=-y+2吃+5y3 与配方法结果不同，二次型的标准形不唯一
注：用正交替换法化该二次型为标准形 与配方法结果不同，二次型的标准形不唯一. 1 2 0 2 2 2 0 2 3 A − = − − − 1 1 (2,2,1)T = − = — 1 2 2 (2, 1, 2)T = = − − — 2 3 5 (1, 2,2)T = = − — 3 1 2 2 1 3 3 3 1 2 1 2 2 , 333 5 1 2 2 3 3 3 T Q AQ Q AQ Q − − = = = = − − − 正交替换X＝QY，原二次型化为： 2 2 2 f y y y = − + + 1 2 3 2 5
例3.用配方法化二次型 f=2x+5x2+5x3+4xx2-4x3-8x2x3 为标准形，并求出所用的非退化线性替换 f=2(x1+x2-)+3+3x-4赵& 2 5 =2(,+x,-x)}'+3 + 》1=X1+2-X3 2 y2= 3 X= y3三 X3 」=+3±
222 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x = + + + − − 2 5 5 4 4 8 ( ) 2 1 2 3 f x x x = + − 2 例3. 用配方法化二次型 为标准形,并求出所用的非退化线性替换. 2 3 5 3 + x 1 1 2 3 2 2 3 3 3 2 3 y x x x y x x y x = + − = − = 2 2 2 1 2 3 5 2 3 3 f y y y = + + 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 0 1 0 1 3 3 0 0 1 0 0 1 X Y Y − − − = − = 2 2 + + − 3 3 4 x x x x 2 3 2 3 ( ) 2 2 1 2 3 2 3 2 2 3 3 x x x x x = + − + −
例4.用配方法化二次型∫=2x飞2+2x飞3-6x2X3 为标准形，并求出所用的非退化线性替换. 解：二次型中不含平方项，无法配方，由于含交叉项 XX2,故先作非退化线性替换： x1=y十y2 得： f=2-2y2-4yy3+8y2y X2=y1-y2 再配方，得 X3=y3 f=2(0y-y)}20y2-2y)'+6房 =y1一 》1=31+3 即 二次型化为 32=》2-2y y2=2+2z3 标准形： 3=y y3=3 f =2z-2z+6z
例4. 用配方法化二次型 为标准形,并求出所用的非退化线性替换. 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x = + − 2 2 6 解: 二次型中不含平方项, 无法配方. 由于含交叉项 1 2 x x 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y = = − = , 故先作非退化线性替换： ＋ 得： 2 2 1 2 1 3 2 3 f y y y y y y = − − + 2 2 4 8 再配方，得 2 2 2 1 3 2 3 3 f y y y y y = − − − + 2( ) 2( 2 ) 6 1 1 3 2 2 3 3 3 2 z y y z y y z y = − = − = 令 1 1 3 2 2 3 3 3 2 y z z y z z y z = + = + = 即 二次型化为 标准形： 222 1 2 3 f z z z = − + 226
X=y十y2 y1=1+33 X2=y1-2 y2=32+27 X3=y3 》3=3 三次型化为标准形：∫-2z-2z+6z 所作非退化线性替换为：X=CZ,其中 C=1 0 思考：用可逆线性替换将下列二次型化为标准形 f(x1,x2,3)=(2x1+x2+x3}'+(1-2x2+x)}+(化1+x2-2x)}
1 1 2 2 1 2 3 3 x y y ＋ x y y x y = = − = 1 1 3 2 2 3 3 3 2 y z z y z z y z = + = + = 二次型化为标准形： 222 1 2 3 f z z z = − + 226 所作非退化线性替换为：X＝CZ，其中 1 1 0 1 0 1 1 1 3 1 1 0 0 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 C = − = − − 思考：用可逆线性替换将下列二次型化为标准形 222 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 f x x x x x x x x x x x x ( , , ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) = − + + + − + + + −
三、初等变换法 化二次型为标准形→给定对称矩阵4，求可逆矩 阵C,使CAC=D对角阵) C可逆→C=PP.P→C=PPP CYAC=D即：PPTP TAP PP=D PATPTP TAP P>P=D EP PP=C 若对A施以初等行变换的同时施以相寇的初等列变换，将 A化为对角矩阵D,则对E仅施以上述一系列列变换即得C 行变换 E 相应列变换 9
9 三、初等变换法 若对A施以初等行变换的同时施以相应的初等列变换，将 A化为对角矩阵D, 则对E仅施以上述一系列列变换即得C C可逆 C=P1P2 .Pk EP1P2 .Pk ＝C Pk T .P2 TP1 TAP1P2 .Pk ＝D 化二次型为标准形 给定对称矩阵A，求可逆矩 阵C, 使CTAC＝D (对角阵) CT=Pk T .P2 TP1 T CTAC＝D即: Pk T .P2 TP1 TAP1P2 .Pk ＝D A E 行 变换 D C 相应列变换
例5用初等变换法化f=2x1飞2+2x1飞3+2x2x3为标准形. 5.1例0 解 020 r1十F2 c+c2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 22 2 22c1 X= 0 0 2 0 g C3-C1 2 2 f=2-2y 0 0
1 2 1 3 2 3 例5 用初等变换法化 f x x x x x x = + + 222 为标准形. 解 ? 0 1 1 ！ 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A E = 1 1 2 1 0 1 1 1 0 100 0 1 0 001 2 1 2 1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 c1+c2 r1+r2 2 1 2 1 0 0 2 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 − − r2 - r1 1 2 r3 - r1 (5.1例1) 2 0 0 1 0 0 2 0 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 1 − − − − − c2 - c1 1 2 c3 - c1 1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 1 X Y − − = − 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 f y y y = − −