复习：行列式定义 1 2 L21 a2 。 D ∑（)na4,.w. hinin ∑()n44,.4 从理论上说，利用定义可求任一行列式的值， 但对阶行列式，要作！一I次加减法，每项要作 n一1次乘法，总共作n.n-1)次乘法。 如n=5,需119次减法，480次乘法。故高于3阶 的行列式常利用性质转化为特殊行列式再计算
11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( 1) n n n n i i i j j j a a a i j i j i j + = − 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n j j j j j nj j j j a a a = − 复习：行列式定义 从理论上说，利用定义可求任一行列式的值, 但对n阶行列式，要作n!－1次加减法，每项要作 n－1次乘法，总共作n!(n－1)次乘法。 如n＝5，需119次减法，480次乘法。故高于3阶 的行列式常利用性质转化为特殊行列式再计算
1.2行列式的性质 2 21 2 a2n DT= 12 22 : A2n 称为D的转置行列式 T>turn D中的a在DI中的位置：行列 DYT=D 即：D与D互为转置行列式
1.2 行列式的性质 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 11 21 1 12 22 2 1 2 n T n n n nn a a a a a a D a a a = 称为D的转置行列式 T → turn D中的aij在DT中的位置: 即:D与DT互为转置行列式。 j行i列 (DT ) T＝D
性质：行列式与其转置行列式的值相等 12 1 L21 022 2 22 An2 即：D=DI L A2n n Ann 注：这里行列式的值相等；而(D)=D形式也相同. 该性质由行列式定义易理解、证明。 由此，行列式的行和列地位相同， 故对行成立的性质对列也成立
性质1: 行列式与其转置行列式的值相等. 即: 注:这里行列式的值相等; 而(DT ) T＝D形式也相同. 该性质由行列式定义易理解、证明。 由此，行列式的行和列地位相同， 故对行成立的性质对列也成立。 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a = D＝DT
性质2：互换行列式的两行（列，行列式变号. 011 12 n L12 行 414 l2 Cin 行 s行 0 ls2 n s行 0nln2·m an an2.ann 证：左一般项-)ia4,00 其个元素也是右行列式不同行不同列元素，符号： ()+i-水）=二()小方万
性质2: 互换行列式的两行(列),行列式变号. 证:左一般项 1 1 2 ( ) 1 2 ( 1) i s n i s n j j j j a a a a a j j ij sj nj − 其n个元素也是右行列式不同行不同列元素,符号: 1 1 (12 ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) i s n i s n s i n j j j j + j j j j − = − − 11 12 1 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n i i in s s sn s s sn i i in n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − i行 i行 s行 s行
注：常以表示行列式的第行row), 以c表示行列式的第列column). 记号：分 ,C;)C 推论：两行（列完全相同，行列式值为零'D=一D 性质3： 411 012 41 12 kai kai2 kain =k n 2 。 Anl 0n2 Ann Q n2 即：行列式任一行（列的公因子可提到行列式之外 或：用常数乘行列式任意一行（列的诸元素， 等于用k乘这个行列式.（由行列式定义易证）
性质3: 注: 常以ri表示行列式的第i行(row), 以ci表示行列式的第i列(column). i j r r i j 记号: c c 推论:两行(列)完全相同, 行列式值为零. 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka a a a 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a k a a a a a a = 即:行列式任一行(列)的公因子可提到行列式之外. 或：用常数k乘行列式任意一行(列)的诸元素, 等于用k乘这个行列式. (由行列式定义易证) ∵D＝－D
记号：×k(c,×k)÷k(c,÷k 推论：行列式中如果有两行（列元素成比例， 则此行列式等于零 性质4： 41 412 41 12 a1+b142+b2 n+bn=012 Anl A n2 a n2 1 412 即：行列式某行（列）所有元素均为 两数之和，则行列式可写为两行 ba b 列式之和.（由行列式定义易证） 注：性质3，性质4又称为线性性质
记号: ( ) i i r k c k ( ) i i r k c k 推论: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式等于零. 性质4: 11 12 1 1 1 2 2 1 2 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a + + + 11 12 1 1 2 n n n nn a a a a a a = 11 12 1 1 2 n n n nn a a a a a a + ai1 ai 2 ain i1 b bi 2 in b 注:性质3,性质4又称为线性性质 即:行列式某行(列)所有元素均为 两数之和，则行列式可写为两行 列式之和.(由行列式定义易证)
性质5：行列式中某行列元素的k倍加到另一行（列 的对应元素上去，行列式的值不变 1 l12 ain 41 2 W ·:! 0 di2 A in 00 00 ajz (in an+kan a2+kaiz .ain+kain 心n2 L n Aat Qn2 记号： 十kg ci+kci 性质4 (右性质3推论左) 该性质用得较多，它使行列式在等值 变形前提下出现零元素，便于计算
性质5:行列式中某行(列)元素的k倍加到另一行(列) 的对应元素上去，行列式的值不变. 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in j j jn n n nn a a a a a a a a a a a a 11 12 1 1 2 1 1 2 2 1 2 n i i in j i j i jn in n n nn a a a a a a a ka a ka a ka a a a = + + + 记号: j i r kr + j i c kc + (右 左) 该性质用得较多，它使行列式在等值 变形前提下出现零元素，便于计算。 性质4 性质3推论
例1 2 3 -2 0 -1 4 5 3 ←→4 -4 -5 3 3 3 3 -2 -2 2+4,3+3斯1 13 C2→C4 13 4+(-2)1 0 5 -1 -2 1 ] 4+2 -13 4+ 0 -13 0 0 5 -5 0 0 -5 5 =一40 0 0 2 0 0 0 8
2 3 1 1 4 5 1 3 3 1 5 3 1 2 0 1 D − − − = − − − − 2 1 3 1 4 1 4 , 3 ( 2) 1 2 0 1 0 13 1 1 0 5 5 0 0 7 1 1 r r r r r r + + + − − − − − − − − ==== 4 2 1 1 0 2 0 1 1 13 0 0 5 5 0 0 2 6 r r + − − − − == − − − 1 4 1 2 0 1 4 5 1 3 3 1 5 3 2 3 1 1 r r − − − − ===− − − − 例1 2 4 1 1 0 2 0 1 1 13 0 0 5 5 0 1 1 7 c c − − − − == − − 4 3 2 5 1 1 0 2 0 1 1 13 0 0 5 5 0 0 0 8 r r + − − − − == − − − ＝－40 ? ！
例2.解方程 凸 a, L (-1 n 4141+L2-x a, 。 On-1 n 41 2 4+a;-x Cn-1 n =0 41 4 a, 0m-2+0m-X n 41 2 43 An-1 a+an=x [分析n一1次方程！关键是计算左边的n阶行列式. 首行乘以一1加到下面各行，即化为上三角形， 注：该行列式第一列元素均相同，其第一个元 素没有遵循对角线上元素的规律)
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 2 2 3 1 1 2 3 2 1 1 2 3 1 1 0 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a x − − − − − − − + − + − = + − + − 例2. 解方程 [分析]n－1次方程!关键是计算左边的n阶行列式. (注：该行列式第一列元素均相同，其第一个元 素没有遵循对角线上元素的规律) 首行乘以-1加到下面各行，即化为上三角形
解a az 43 An-1 Wn 4141+02-x 43 An=1 Qn a Q L2+43-X On-1 n 1 a, 43 0m-2+0m-1-X n 41 a, a, On-1 an-1+an-x 41 2 as Cn-1 n 0 a-X 0 。0 0 0 +(-1) 0 0 4-x 0 0 i-2,n 0 0 0 m-2-X 0 0 0 0 0
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 2 2 3 1 1 2 3 2 1 1 2 3 1 1 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a x − − − − − − − + − + − + − + − 解 1 1 2 3 1 1 ( ) 2 2, , 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i n n r r i n n n a a a a a a x a x a x a x − + − = − − − − ==== − −