《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_3-1解的存在

第3章向量与线性方程组 为敏述方便，车章所付论的古程组给予固定偏号： 01X1+412x2+.+01n水n=b 非齐次 0211+422X2++2n式m=b2 amk1+m2水2+.+mnXw=bnm 41X1+412式2+.+41mXn=0 齐欢 021X1+22X2++42mXn=0 m1+0m2比2+.+0mnn=0

为叙述方便，本章所讨论的方程组给予固定编号: n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 非齐次 齐次 (1) (2) 第3章 向量与线性方程组

、消元法 3.1线性方程组解的存在性 x1十3x2一2x3=4 3 -2 3x1+6x2一2x3=11 A 对应 2x1十2十3=3 x1+3x2-2x3=4 3x2+4x3=-1 消 =5x2+5x3=-5 5 x1十3x2=2x3=4 3x2十4k3=一1 元 X2二X3=1 换、昌 返回

2 返回 (2)－(1)×3; (3)－(1)×2得 3.1 线性方程组解的存在性 一、消元法 一一 对应 消 元   −   = −       1 3 2 4 3 6 2 11 2 1 1 3 A   −   → − −     − −   1 3 2 4 0 3 4 1 0 5 5 5   −   → − −       − 1 3 2 4 0 3 4 1 0 1 1 1 3x1＋6x2－2x3 ＝11 x1＋3x2－2x3 ＝4 2x1＋ x2 ＋ x3 ＝ 3 －3x2＋4x3 ＝－1 －5x2＋5x3 ＝－5 －3x2＋4x3 ＝－1 x1＋3x2－2x3 ＝4 x2－x3 ＝1 x1＋3x2－2x3 ＝4 换2、3

X1十3x2-2x3=4 3 -2 2=X3=1 消 一3x2+4x3=一1 出十3x2-2x3=4 X2X3=1 元 X3=2 返回 阶梯形方程组 行阶梯形矩阵 线性方程组的初等变换 一矩阵的初等行变换： 1.交换两方程 *1.交换矩阵的两行 2.某方程两边同乘以非零数一2.矩阵某行乘以非零数 3.某方程k倍加至另一方程一3矩阵某行k倍加至另一行 返回

3 线性方程组的初等变换 矩阵的初等行变换: 消 元   −   → −       − − 1 3 2 4 0 1 1 1 0 3 4 1   −   → −       1 3 2 4 0 1 1 1 0 0 1 2 阶梯形方程组 行阶梯形矩阵 1.交换两方程 1.交换矩阵的两行 2.某方程两边同乘以非零数 2.矩阵某行乘以非零数 3.某方程k倍加至另一方程 3.矩阵某行k倍加至另一行 －3x2＋4x3 ＝－1 x1＋3x2－2x3 ＝4 x2－x3 ＝1 x3 ＝ 2 返回 x1＋3x2－2x3 ＝4 x2－x3 ＝ 1 返回

x1+3x2 =8 X2 三3 回 X3=2 三一1 ×2 三3 代 0 3三2 结论：对线性方程组的增广矩阵施以初等行变换， 所得矩阵对应的新方程组与原方程组同解 系数矩阵：A(mxn矩阵)；增广矩阵：A(mX(n+1)矩阵) 返回

返回     →       1 3 8 0 1 3 0 0 1 2 0 0 结论：对线性方程组的增广矩阵施以初等行变换, 所得矩阵对应的新方程组与原方程组同解. A 回 代 系数矩阵:A(m×n矩阵);   −   →       1 1 0 1 3 0 0 1 2 0 0 0 x3 ＝2 x1＋3x2 ＝8 x2 ＝3 x3 ＝2 x1 ＝－1 x2 ＝3 增广矩阵: (m×(n+1)矩阵)

2x1-X2-x3=1 2x1+4x2+3+x4=5 例23x1-2x2=2 例3 -x1-2x2-2x3+x4-4 2x1+X3=5 x1+2x2-飞3+2x4=1 3x1-2x2+2x3=2 解2 2 -1 A= 3 -2 3 2 2 0 5 5 3 -2 2 2 3 2 2 0=-2为矛盾方程， 5 故原方程组无解 -2 5 返回

5   − − −   − − →         1 1 1 1 0 1 3 1 0 0 5 5 0 0 2 0   − − −   − − →     −     − − 1 1 1 1 0 1 3 1 0 2 1 3 0 1 1 1   − − −   − →         − 1 1 1 1 3 2 0 2 2015 3 2 2 2 x x x x x x x x x x  − − =   − =  + =    − + = 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 2 1 3 2 2 2 5 3 2 2 2 A   − −   −   =       − 2 1 1 1 3 2 0 2 2 0 1 5 3 2 2 2 x x x x x x x x x x x x  + + + =   − − − + = −  + − + =  1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 5 2 2 4 2 2 1 例2 解2 0=-2为矛盾方程, 故原方程组无解. 例3   − − −   − − →         − 1 1 1 1 0 1 3 1 0 0 1 1 0 0 0 2 返回

解3 24115 1-2-2 1-4 1 -2 ① 2-1 2:1 2 121 2 12 2 00-3 3 3 00 00 00 3 -3 000 00 000 0 x1=2-2X2=X4 取 2= 得方程组全部解： x3=1十x4 X4=k2 任取x2、x的值，均可确 x1=2-2k1=k 定x、x的对应值，从而 x2=k1 得一组解（有无穷多组解） (k1、k2为 x3=1+k3 任意常数) x2x称为自由未知量. x4=k2 返回

6   −   → −       1 2 1 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0   −   → − −     −   1 2 1 2 1 0 0 3 3 3 0 0 3 3 3   −   → − − − −       1 2 1 2 1 1 2 2 1 4 2 4 1 1 5 A     = − − − −     −   2 4 1 1 5 1 2 2 1 4 1 2 1 2 1 解3 任取 x4的值, 可确 定 x3的对应值,     → −       1 2 1 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 x3 ＝1＋x4 x1 ＝2－2x2－x4 取 得方程组全部解: x4 ＝k2 x2 ＝k1 x3 ＝1＋k2 x1 ＝2－2k1－k2 x2 ＝k1 x4 ＝k2 (k1、k2为 任意常数) ∴ x2、 均 x1、 从而 得一组解(有无穷多组解) x2、x4称为自由未知量. 返回

解的存在性消元法解线性方程组一般步骤 ①用初等行变换化方程组的增广矩阵为行阶梯形 L12 b 022 ●● ami Am2 Ci2 CIr Ciril d 0 C2, C2r+1 d Ci0 d (=1,2,.,） rn 0 (必要时可重 P+] 。 0 新安排未知 量的顺序) 0 0 0 返回

7 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b       =       11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ①用初等行变换化方程组的增广矩阵为行阶梯形 消元法解线性方程组一般步骤: r r n r r n rr rr rn r r c c c c c d c c c c d c c c d d + + + +     →   11 12 1 1 1 1 1 22 2 2 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (必要时可重 新安排未知 量的顺序) . cii≠0 (i=1,2,.,r) 二、解的存在性 返回

原方程组)的同解方程组为： C11+C12X2++C1式，+C+,+十.+C1n水m=d Cxcc+cnn=d2 . Cmx,+Cm比，H十+CnXn=d, 0=d,1 0=0 0=0 显然，末尾的“0=0”是多余方程（原方程组中的相 应方程可由其它方程经初等变换得到，去掉. 返回

返回 原方程组(1)的同解方程组为： + + + + + + +  + + + + + + =  + + + + + =     + + + =  =   =     = 11 1 12 2 1 1 1 1 1 1 22 2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 1 0 0 0 0 r r r r n n r r r r n n rr r rr r rn n r r c x c x c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x d d 显然，末尾的“0＝0”是多余方程(原方程组中的相 应方程可由其它方程经初等变换得到), 去掉

②方程组解的判定： 1若d+10,则原方程组无解0=d0是矛盾方程) 2若d1=0,则原方程组有解： 当=n时，有唯一解；当r<n时，有无穷多解 定理1设非齐次方程组4mxX=b,则 )(A≠（①，原方程组无解 (2)r(A)=r(A)=n,原方程组有唯一解 (2)r(A)=r(A)<n,原方程组有无穷多组解 ③有解时回代求出解回代过程全在矩阵上进行！ 用初等行变换化行阶梯形矩阵为简化行阶梯形 返回

②方程组解的判定： 1 o若dr+1≠0, 则原方程组无解(0=dr+1≠0是矛盾方程) 2 o若dr+1 ＝0 ，则原方程组有解： ③有解时回代求出解(回代过程全在矩阵上进行!) 当r=n时，有唯一解；当r<n时，有无穷多解. 定理1 设非齐次方程组Am×nX＝b，则 (1) r(A)≠r( A )，原方程组无解 (2) r(A)＝r( A )＝n，原方程组有唯一解 (2) r(A)＝r( A )< n，原方程组有无穷多组解 用初等行变换化行阶梯形矩阵为简化行阶梯形! 返回

0 Cu Cin 0 ca : A>> 0 rr+1 m 0 有要 0 0 0 r=n时，唯一解为：x=(=1,2,n) 心时，将x1,x2,x,用n-r个自由未知量x+,X+2,写 xw表示，令xH1k1,x42=k2,",knk1,k,kn为 任意常数)，得无穷多个解的一般形式. X1=d1'-C1'H心+1-C1'42X42-一C1''ni 返回

+ + +           → →      1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 r n r n rr rn r c c d c c d A c c d r＝n时， r<n时, 将x1 , x2 ,., xr用n-r个自由未知量xr+1, xr+2,., xn表示， x1 ＝ 令xr+1 =k1 , xr+2 =k2 ,., xn =kn-r (k1 , k2 ,., kn-r为 任意常数),得无穷多个解的一般形式. 如 唯一解为：xi ＝di (i＝1,2,.,n). d1 －c1  r+1xr+1－c1  r+2xr+2－.－c1  nxn ; 返回 + + +       1 1 1 2 1 2 1 r n r n rr rn c c c c c c