第4章稳定性与李雅普诺夫方法 现代控制理论的学习目的 通过学习本课程，能够： 正确建立各类典型系统的数学模型，特别是状 态空间模型，掌握分析各类系统模型的方法，并 且能够通过状态反馈、极点配置、系统解耦和构 造状态观测器等方法，进行复杂系统的综合与优 化设计，培养学生从事系统分析和研究的能力。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 通过学习本课程，能够： 正确建立各类典型系统的数学模型，特别是状 态空间模型，掌握分析各类系统模型的方法，并 且能够通过状态反馈、极点配置、系统解耦和构 造状态观测器等方法，进行复杂系统的综合与优 化设计，培养学生从事系统分析和研究的能力。 现代控制理论的学习目的
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 现代控制理论的主要内容 1、控制系统的状态空间表示法； 2、状态方程的解； 3、控制系统的能控性和能观测性； 4、控制系统的李雅普诺夫稳定性分析与应用； 5、线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计； 6、最优控制系统及其解法。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 现代控制理论的主要内容 1、控制系统的状态空间表示法； 2、状态方程的解； 3、控制系统的能控性和能观测性； 4、控制系统的李雅普诺夫稳定性分析与应用； 5、线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计； 6、最优控制系统及其解法
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 上=Ar+Bm 案例分析 y=C+D加 前情提要 现代控制理论 理论 绪论 定量 =Ax+Bu 第一章 建立 y=Cx+Du 控制系统状态空间表达式 建模 状态空间 表达式 变换 (+Bu()dr 第二章 控制系统状态空间表达式的解 求解 定性 M=[BAB4B.A 第三章 能控性 线性系统袖的能控性和能铜性 分析 控制 系统 能观性 Vx)>07x)<0 第四章 稳定性与李雅普诺夫方法 稳定性 综合 如何 第五章 线性定常系统轴的综合 状态反馈 应用 设计 应用 第六章 优化 最优控制 最优控制 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 第4章 稳定性与李雅普诺夫法 4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2李雅普诺夫第一法 4.3李雅普诺夫第二法 4.4李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 第4章 稳定性与李雅普诺夫法 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 研究的目的和意义：稳定性是自动控制系统正 常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被 打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平 衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。 冬实质：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方 程解的收敛性，与输入作用无关。稳定性是系统本 身的一种固有属性。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被 打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平 衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。 研究的目的和意义: 稳定性是自动控制系统正 常工作的必要条件，是一个重要特征。 实质：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方 程解的收敛性，与输入作用无关。稳定性是系统本 身的一种固有属性
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 经典控制理论 输出稳定 稳定性分析 现代控制理论 状态稳定 李雅普诺夫方法 ÷1892年，俄国学者李雅普诺夫提出了稳定性定理， 适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多 变量等系统。 李氏第一法（间接法）：求解系统微分方程， 据解的性质判断系统稳定性； 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造李氏函数，直接判断系统稳定性。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 稳定性分析 经典控制理论 现代控制理论 输出稳定 状态稳定 李雅普诺夫方法 李氏第一法（间接法）：求解系统微分方程， 据解的性质判断系统稳定性； 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造李氏函数，直接判断系统稳定性。 1892年，俄国学者李雅普诺夫提出了稳定性定理， 适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多 变量等系统
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义 从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只与系统的结构 和参数而与系统的初始条件以及外界扰动的大小无关。但非线 性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此 在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。 稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运 动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言 的。对于线性定常系统，由于通常只存在唯一的一个平衡状态， 所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整 个系统的稳定性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中 不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡状态 的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍 李雅普诺夫关于稳定性的定义。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运 动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言 的。对于线性定常系统，由于通常只存在唯一的一个平衡状态， 所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整 个系统的稳定性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中 不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡状态 的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍 李雅普诺夫关于稳定性的定义。 从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只与系统的结构 和参数而与系统的初始条件以及外界扰动的大小无关。但非线 性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此 在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 4.1李雅普诺夫意义关于稳定性的定义 4.1.1系统状态的运动及平衡状态 从xo出发的 1初始状态 运动轨线 设x(t)=f(,t)的解为x=D(t;o,t) 则x。=D(t;x,t)→初始状态 状态轨线或 2平衡状态 系统的运动 设系统(t)=f(x,t),若存在状态xe满足： 文。=f(x。,t)=0 xe→系统的平衡状态 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 4.1 李雅普诺夫意义关于稳定性的定义 4.1.1 系统状态的运动及平衡状态 1 初始状态 设 ( ) 的解为 ( ) 0 0 x( t ) = f x,t x =Φ t; x ,t 初始状态 2 平衡状态 xe → 系统的平衡状态 从x0出发的 运动轨线 设系统 x( t ) = f (x,t)，若存在状态xe满足： 状态轨线或 系统的运动
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 1)线性系统 文=Ax x∈Rnh 坐标原点是系统 的唯一的一个平 A非奇异尤。=Ax。≡0→X。=0 衡点。 A奇异 Axe=0→xe无穷多个 2)非线性系统 x。=f(xe,t)=0 xe→可能有多个平衡状态 由于存在坐标变换，今后只取坐标原点作为系统的平衡点。 April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 1) 线性系统 A非奇异 A奇异 无穷多个 2) 非线性系统 xe → 可能有多个平衡状态 坐标原点是系统 的唯一的一个平 衡点。 由于存在坐标变换，今后只取坐标原点作为系统的平衡点
第4章稳定性与李雅普诺夫方法 例4.1.1 X1=X1 心2=+x2-x3求系统平衡状态。 解：令xe=f(xet)=0 1e=0 '1e=0 x2e=0 x2e-xe=x2e(1+x2e)(1-x2e)=0 有三个平衡状态 ,0e2[9,% April 10,2020 返回上一页下一页
返回 上一页 下一页 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 April 10, 2020 x1e=0 x2e=0 ⇒ 有三个平衡状态